文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
10.3 抛物线的标准方程和准线（讲义）
目录
1
知识点01 抛物线的定义............................................................................2
2
知识点02 抛物线的标准方程与准线........................................................2
3
知识点03 抛物线的焦半径........................................................................3
4
题型一、抛物线的标准方程与准线.........................................................3
5
题型二、抛物线的焦半径.......................................................................14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
1 知识点01 抛物线的定义
1、定义：把平面内到定点F 的距离等于到定直线l(l 不经过点F)的距离点
的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
2、符号表示：|MF|=d ,d 为点M 到准线l 的距离．
2 知识点02 抛物线的标准方程与准线
1、抛物线四种标准方程
标准方程
图形
范围
对称轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径
2、对标准方程的理解
（1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另
一个变量的一次单项式．
（2）抛物线标准方程中参数p 的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离
（焦准距），所以p 的值恒大于0．
（3）焦点的非零坐标是p
4 ．
（4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称．
（5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的
符号决定抛物线的开口方向．p 的值决定开口大小，p 越大，则抛物线开口越大；
p 越小，则抛物线开口越小．
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
3 知识点03 抛物线的焦半径
1、焦半径的定义
设抛物线
上一点
，焦点为
，准线为，则线段
叫做抛物线的焦半径，过点
作准线的垂线段
，由抛物线的定
义可知，
．
2、用坐标表示焦半径公式
（1）抛物线
，
．
（2）抛物线
，
．
（3）抛物线
，
．
（4）抛物线
，
．
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不
同的标准方程对应于不同的焦半径公式．
4 题型一、抛物线的标准方程与准线
一、单选题
1．以椭圆
的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方
程是（ ）．
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【分析】由椭圆的方程得出椭圆的焦点坐标，然后可得答案.
【详解】因为椭圆
的对称中心为原点，焦点为
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以抛物线的方程为
或
故选：D
2．已知双曲线
的离心率为
，抛物线
的焦点为
，
则实数
的值为（ ）
A．4
B．
C．8
D．
【答案】D
【分析】求出双曲线的离心率，再由焦点坐标求出
值.
【详解】双曲线
的离心率
，
抛物线
，即
的焦点坐标为
，依题意，
，
所以
.
故选：D
3．已知抛物线
的准线方程为
，则p 的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】由抛物线的准线方程为
可得结果.
【详解】由题意得，抛物线的准线方程为
，
∴
，解得
.
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故选：B.
4．若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则抛物线
上的点
到其焦点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用椭圆方程可求得右焦点坐标，即抛物线的焦点，从而求得抛
物线方程，进而利用抛物线的焦半径公式即可得解.
【详解】对于椭圆
，
，
则
，则椭圆的右焦点为
，
即抛物线
的焦点为
，故
，
所以抛物线上的点
到其焦点的距离为
.
故选：C.
5．顶点在原点，焦点是
的抛物线的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由焦点坐标得到
，得到抛物线方程.
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】由题意知抛物线开口向上，
，故抛物线的标准方程
是：
．
故选：B
6．若抛物线
的焦点坐标为
，则抛物线C 的准线
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由抛物线方程及焦点坐标直接求出准线方程.
【详解】因为抛物线
的焦点坐标为
，
所以抛物线方程为
，
准线方程为
.
故选：D
7．已知抛物线C 关于y 轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线
上，则抛物线C 的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出直线与y 轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线
的标准方程．
【详解】直线
与y 轴的交点为
，
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以抛物线C 的焦点为
，故
，解得
，
所以抛物线C 的标准方程为
．
故选：D．
8．抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则
抛物线准线方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求
的值，再根
据抛物线方程求其准线方程.
【详解】对于双曲线：因为
，
，所以
，所
以
.
所以双曲线的右焦点坐标为：
.
对于抛物线
，因为焦点为
，即
.
所以其准线方程为：
.
故选：B
9．已知抛物线的准线方程为
，则该抛物线的标准方程为（ ）
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由准线方程可设抛物线方程为：
，据此可得答
案.
【详解】因抛物线的准线方程为
，则设抛物线方程为：
，
则
，则抛物线标准方程为：
.
故选：C
二、填空题
10．已知
，若双曲线
的右焦点恰好是抛物线
的
焦点，则
．
【答案】4
【分析】先求双曲线的焦点坐标，再根据抛物线焦点坐标求
的值.
【详解】对双曲线：焦点在
轴上，且
，
，所以
，
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
，所以双曲线的焦点为：
，
.
所以抛物线的焦点坐标为：
.
由
.
故答案为：4
11．设抛物线
的焦点为
，准线为，则抛物线
上一
点
到的距离为 ．
【答案】3
【分析】先求出
，然后得出抛物线的准线方程，即可得出答案.
【详解】由题可得
，所以
，
所以准线
，所以
上一点
到的距离为
，
故答案为：3.
12．焦点在直线
上的抛物线的标准方程为 ．
【答案】
或
【分析】先求出直线与坐标轴的点的坐标，然后根据抛物线方程的定义求
出结果即可.
【详解】抛物线的标准方程中，焦点必在坐标轴上，先求直线和坐标轴的
交点：
直线
与
轴的交点为
，与
轴的交点为
，
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以抛物线的焦点为
或
．
当焦点为
时，抛物线方程为
；当焦点为
时，抛物线方
程为
．
综上，抛物线的标准方程为
或
．
故答案为：
或
．
三、解答题
13．已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)若过双曲线
的右顶点且斜率为2 的直线与抛物线
交于
，
两
点，求线段
的长度．
【答案】(1)
；
0
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(2)
【分析】（1）利用双曲线与抛物线下的定义计算求抛物线标准方程即可；
（2）利用弦长公式计算即可.
【详解】（1）设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为
，
由
可得
，
，所以
，解得
，
所以双曲线
的右焦点为
，
所以可设抛物线
的标准方程为
，其焦点为
，
所以
，即
，
所以抛物线
的标准方程为
；
（2）由
，得双曲线
的右顶点为
，
因为直线过点
且斜率为2，所以直线的方程为
，
设
，
，联立直线与拋物线
的方程
，
消去
，得
，所以
，
，
所以
．
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
14．已知抛物线C：
的焦点与双曲线E：
的
右焦点重合，双曲线E 的渐近线方程为
.
(1)求抛物线C 的标准方程和双曲线E 的标准方程.
(2)斜率为1 且纵截距为
的直线l 与抛物线C 交于A、B 两点，O 为坐标
原点，求
的面积
【答案】(1)
，
(2)
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为
，可得
，继而
得到双曲线的右焦点为
，即
为抛物线的焦点坐标，可得
，即
得解；
（2）联立直线与抛物线，可得
，再由直线过抛物线的焦点，
故
，三角形的高为O 到直线的距离，利用点到直线公式，
求解即可.
【详解】（1）因为双曲线E 的渐近线方程为
.
所以
，解得
，从而
，即
，
所以右焦点为
，从而
，解得
，
抛物线C 的标准方程和双曲线E 的标准方程依次分别为
，
.
（2）
由题意直线
，它过抛物线的焦点
，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
联立抛物线方程得
，化简并整理得
，
显然
，
，
所以
，
点
到直线的距离为
，
所以
，即
的面积为
.
15．已知抛物线
的焦点
为椭圆
的右
焦点，且
的右顶点为
．
(1)求
的方程；
(2)设过点
且倾斜角为
的直线与
交于
两点，求
．
【答案】(1)
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(2)
【分析】（1）由抛物线的焦点坐标即可得到
，从而得到其标准方程；
（2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为
，所以
的右焦点坐标为
，
所以
，即
，
所以
的方程为
．
（2）依题意可得直线的方程为
．
由
得
．
设
，则
，
则
．
5 题型二、抛物线的焦半径
一、单选题
1．已知抛物线
的焦点为
，若抛物线上一点
到直线
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
的距离为5，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解.
【详解】由于抛物线
的准线方程为
，抛物线上点
到
直线
的距离为5，
故点
到直线
的距离为4，故
，
故选：B
2．已知抛物线C：
的焦点为F，点M 在C 上.若M 的横
坐标为1，且
，则p 的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】利用抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距
离求解.
【详解】由已知可得抛物线的准线方程为
，
抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以
，解得
，
故选：C.
3．抛物线
的焦点为
，
为抛物线上一点，若
，则
点
的横坐标为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【答案】A
【分析】设点
的横坐标为
，根据抛物线定义即可求解.
【详解】抛物线
的焦点
，设点
的横坐标为
，
由
得
,
故选：A.
4．已知点
在抛物线
上，抛物线的焦点为
，则
（ ）
A．5
B．8
C．
D．
【答案】A
【分析】将点
代入抛物线方程求出
，再利用抛物线定义可求出
.
【详解】将点
代入抛物线
，可得
，解得
，
所以
.
故选：A.
5．已知抛物线
上的点
的横坐标为4，抛物线
的焦
点为
．若
，则
的值为（ ）
A．18
B．9
C．4
D．2
【答案】D
【分析】由抛物线的焦半径公式，可直接得到答案.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】由抛物线定义得
，
又
，解得
．
故选：D
6．已知抛物线
的焦点为
，点
在
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件，求得
，再利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】因为点
在
上，所以
，解得
.
由抛物线的方程可知，准线方程为
,焦点
，
则点
到准线的距离为
,
由抛物线的定义得
.
故选：B.
7．已知抛物线
上一点
到其焦点的距离为4，则
（ ）
A．3
B．
C．6
D．
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义即可求解.
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】
点
在抛物线
上，
抛物线开口向右，
，
又点
到抛物线焦点的距离为4，
，
.
故选：C.
8．设抛物线
的焦点为F，已知点
在C 上，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】先将点代入抛物线得出
，再应用抛物线定义得出
即可求解.
【详解】因为点A 满足
，又
，代入抛物线方程得
，
因为
，可得
，
故选：C．
二、填空题
9．已知拋物线
的焦点为
，点
在抛物线上，若
，则
．
【答案】
【分析】抛物线的定义列方程，由此求得
.
【详解】根据抛物线的定义可知
①，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
将
代入抛物线方程，得
②，
由①②解得
.
故答案为：
10．已知抛物线
上有一点P 到焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离
为 ．
【答案】
【分析】由抛物线的定义得，P 到抛物线C 的焦点的距离为
，进而
得到
，化简即可求解.
【详解】由题意知：抛物线
的准线为
，设点
，
则P 到y 轴的距离为
，
由抛物线的定义得，P 到抛物线C 的焦点的距离为
，
即
，化简得
.
故答案为：
.
11．已知抛物线
上的点P 到其焦点的距离为4，则点P 的坐标为
0
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
．
【答案】
或
【分析】根据抛物线的方程确定焦点坐标与准线方程，设
，
结合抛物线的定义与已知即可得点P 的坐标.
【详解】抛物线
的标准方程为
，
则抛物线的焦点坐标为
，准线方程为
，
设抛物线上一点
，
由抛物线的定义可得
，解得
，所以点P 的坐
标为
或
.
故答案为：
或
.
12．抛物线
上一点到点
的距离最小值为
【答案】2
【分析】在抛物线
上任取一点
，计算它到定点
的
距离，求其最小值即得.
【详解】设抛物线
上一点
，
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
则点
到点
的距离为
，
因
则
，
故当
时，抛物线上任一点到点的距离最小值为2.
故答案为：
.
三、解答题
13．已知抛物线
，点
为抛物线
的焦点.
(1)若点
在抛物线
上，求
；
(2)过点
的直线与抛物线
相交于
、
两点，
为坐标原点，若
的面积为
，求直线的方程.
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）将点
的坐标代入抛物线方程，求出
的值，结合抛物线
焦半径公式可求得
的值；
（2）设直线的方程为
，将该直线方程与抛物线方程联立，
列出韦达定理，利用弦长公式求出
，以及原点到直线的距离
，结合三
角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）因为点
在抛物线上，所以
，解得
，
故
.
（2）若直线与
轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
依题意，设直线的方程为
，
将直线与抛物线方程联立得
得
，
设点
、
，
，
由韦达定理可得
，
，
，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
又因为原点到直线的距离为
，
所以
，
解得
，
故直线的方程为
，即
或
.
14．已知
是抛物线
的焦点，
是
上的一点，
且
．
(1)求
的方程；
(2)若过点
的直线与
交于
两点，且
，求的方程．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据焦半径公式求
，即可求抛物线方程；
（2）首先设直线
，与抛物线方程联立，结合条件和韦达定理，
即可求解直线方程.
【详解】（1）由条件可知，
，得
，
所以抛物线方程为
；
（2）设直线
，
，
，
，
联立
，得
，
，
，①
由
，可得
，②
由①②可知，
，
或
，
，
所以
或
，得
或
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
即直线的方程为
，即
或
，即
.
15．已知抛物线
，点
为
的焦点，
为
上互异的三
点．
(1)若
，求
的坐标；
(2)过点
的直线交抛物线于
、
两点，求
的值(其中
为坐标
原点)；
(3)若
为等腰直角三角形，求
面积的最小值．
【答案】(1)
或
(2)
(3)16
【分析】（1）根据焦半径公式求解即可；
（2）联立韦达代入即可；
（3）利用等腰直角三角形的特点设坐标，代入抛物线方程整理化简，结合
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
基本不等式求最值即可，注意验证取等号条件.
【详解】（1）不妨设
，因为
，可得
，
解得
，
则
的坐标为
或
；
（2）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点
的直线为
，设
点
，
联立
得
则⃗OP⋅⃗OQ = x1 x2+ y1 y2= 1
16 y1
2⋅y2
2+ y1 y2=−3．
（3）若三角形
为等腰直角三角形，
不妨设
，因为
，且
，
不妨设
，
此时
，
代入抛物线方程可得：
，
解得
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
，
整理得
，
由于
，当且仅当
时等号成立，
，当且仅当
时等号成立，
则
，即
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，
当且仅当
，
时，三个顶点坐标为
，
此时三角形
面积的最小值为16．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
9
