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第 09 讲 拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题
(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................5
高频考点一：周长（边长）定值.....................................5
角度1：求周长.................................................5
角度2：求边的代数和..........................................10
高频考点二：周长（边长）最值....................................14
角度1：周长最值..............................................14
角度2：边的最值..............................................21
角度3：边的代数和最值........................................27
高频考点三：周长（边长）取值范围................................37
角度1：周长取值范围..........................................37
角度2：边的代数和取值范围....................................40
角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围......................49
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式 ，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根
据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以
a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
2．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：3．（2022·全国（乙卷理）·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
4．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：周长（边长）定值
角度1：求周长
典型例题
例题1．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知 分别为 三个内角
的对边，且 .
(1)求 ；
(2)已知 的面积为 ，设 为 的中点，且 ，求 的周长.
例题2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）在 中，延长 到 ，使 ，
在 上取点 ，使 ，
(1)设 ，用 表示向量 及向量 ．
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．例题3．（2023·全国·模拟预测）在 中，角 , , 所对的边分别为 ， ， ， ， 为边
上一点， .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 为 的平分线，求 的周长.
练透核心考点
1．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）在 中，角 对应的边分别是 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积 ，求 的周长．
2．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求角C；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 的面积为 ，求 的周长．
3．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）记 ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
△．
(1)求B的值；
(2)若△ABC的面积为 ，b＝2，求△ABC周长．
角度2：求边的代数和
典型例题
例题1．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在 中，角 ， ， 的对边
分别为 ， ， ，且 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
例题2．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）在① ；②
；
③ ；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在 中，
内角 , , 的对边分别为 ， ， ，且_______．
(1)求角 ；
(2)若 的内切圆半径为 ，求 ．
例题3．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知 分别为 三个内角 的对
边，且 .(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的值.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求A；
(2)若 ， ，角A的平分线交BC于点D，求AD.
2．（2023春·广东江门·高二校考阶段练习）在 中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
， ， .
(1)求 的值；
(2)若点D在边BC上且 的面积为 ，求 .3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、
，
(1)确定角B的大小；
(2)若 为锐角三角形， ， 的面积为 ，求 的值．
高频考点二：周长（边长）最值
角度1：周长最值
典型例题
例题1．（2023·四川南充·统考二模）在 中，内角 , , 的对应边分别为 ， ， ,已知
，且 的面积为 ，则 周长的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
例题2．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）在 中，内角 ， ， 所对的
边分别为 ， ， ，角 的平分线交 于点 ， 且 ，则 周长的最小值为______．
例题3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数 在 上单
调．
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ，求 周长的最大
值．例题4．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形 内接于圆 ，内角 ，对角线
的长为7，圆 的半径为 .
(1)若 ， ，求四边形 的面积；
(2)求 周长的最大值.
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）在 中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知
，且 的面积为 ，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川广安·统考二模） 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .若
，且 ，则 周长的最大值为______.
3．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最小值.4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知 ABC中，C＝ ，角A，B，C的对边分别为a，
△
b，c.
(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
(2)若 ABC的外接圆面积为π，求 ABC周长的最大值.
△ △
角度2：边的最值
典型例题
例题1．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在 中，已知 ， ， 为 的中
点，则线段 长度的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
例题2．（2023·青海西宁·统考二模）在 中，内角 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 是边 上的一点，且 ，求线段 的最大值.
例题3．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
(1)求 ；
(2)若 是线段 上靠近 的三等分点， ，求 的最大值．例题4．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若角 的平分线交 于 且 ，求 的最小值.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin =sin C，
且a=1．
(1)求A；
(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．
2．（2023·全国·模拟预测）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且______．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求线段 长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2023·全国·高一专题练习）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知 ．
(1)若 ，证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若 ，求b的最小值．
角度3：边的代数和最值
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在 中，角 所对的边分别是 是边
上一点， 且 ，则 的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
例题 2．（2023·广西·统考一模）在 中，角 , , 的对边分别是 ， ， ，满足
.
(1)求 ；
(2)若角 的平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值.
例题3．（2023·全国·模拟预测）从① ，②
，③ 这三个条件中任选一个，补充在下列问
题中，然后解答补充完整的题目．
已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ,且______．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例题4．（2023·全国·高一专题练习）已知向量 ， ， .
(1)求 的单调增区间；
(2)在 中，角 , , 的对边分别为 ， ， ,且 ， ，求 的最大值.
例题5．（2023·全国·高三专题练习） 中，已知 ， ， 为 上一点，
， .
(1)求 的长度；
(2)若点 为 外接圆上任意一点，求 的最大值.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知三角形 中， ，D是 边上一点，且满足 ，则
的最大值是__________．
2．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ，
，满足
(1)求角 ；
(2)若角 的平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .(1)求角B的大小；
(2)已知 ，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.
4．（2023春·福建龙岩·高一校考阶段练习）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 的最大值．
5．（2023·山西·校联考模拟预测）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的最大值．
高频考点三：周长（边长）取值范围
角度1：周长取值范围
典型例题例题1．（2023春·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）设函数
．
(1)当 时，求函数 的最小值并求出对应的 ；
(2)在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，求 周长的
取值范围．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在① ， ② ， ③
这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答该问题．
在 中， 内角 的对边分别是 ， 且满足_______ ， ．
(1)若 ， 求 的面积;
(2)求 周长 的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长 的取值范围.2．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）在 中，角 所对的边分别是 ，设向
量 ，且 ．
(1)求角A的值；
(2)若 ，求 的周长l的取值范围．
角度2：边的代数和取值范围
典型例题
例题1．（2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考阶段练习）在锐角 中，内角 ， ， 所
对应的边分别是 ， ， ，且 ，则 的取值范围是______．
例题2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在① ，②
，③ 这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然
后解答．
已知锐角 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且______（填序号）．
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)求 的取值范围．例题3．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在锐角 中，角 ， ， 所
对的边为 ， ， ，已知 ， ．
(1)求 ；
(2)求 的取值范围．
例题4．（2023·全国·高一专题练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求C；
(2)若A为钝角，求 的取值范围．2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ，
，且 ．
(1)求 的大小；
(2)若 的平分线交 于点 ，且 ，求 的取值范围．
3．（2023·高一单元测试）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
．
(1)求证：B＝2A；
(2)求 的取值范围．
4．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知 ， ， 分别是 的内角 ， ， 所对的
边，向量 ，
(1)若 ， ，证明： 为锐角三角形；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围.5．（2023·全国·高一专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．
， ， ．
(1)求 ；
(2)求 的取值范围．
角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围
典型例题
例题1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中） 的内角 、 、 的对边分别是 、
、 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 是锐角三角形， ，求 周长的取值范围.
例题2．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角 中，角 ， ， 所对应的边分别为
， ， ，已知 .
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．例题3．（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角 中， 分别
是角 所对的边， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 周长的范围
例题4．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）在 中，角 所对的边分别为 .且
.
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值.
练透核心考点
1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在锐角 中，角 ，的对边分别为 ， ， ，从条件
①： ，条件②： 这两个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的取值范围．2．（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
3．（2023春·天津武清·高一天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）在△ABC中，a、b、c分别为角
A、B、C的对边， ．
(1)求角B的大小．
(2)若△ABC为锐角三角形， ．求 的取值范围．
4．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
acosB＋bcosA＝2ccosC．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．
