文档文本内容
第 05 讲 椭圆 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：椭圆定义的应用
角度1：利用椭圆定义求轨迹方程
角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题
角度3：利用椭圆定义求最值
题型二：椭圆的标准方程
题型三：椭圆的简单几何性质
角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距
角度2：求椭圆的离心率
角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：椭圆的定义
(| PF |+| PF |=2a>|F F |)
平面内一个动点 到两个定点F 、F 的距离之和等于常数 ，这个动点 的
P 1 2 1 2 P
1 2
轨迹叫椭圆. 这两个定点（ , ）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（ ）叫作椭圆的焦距.
说明：
(| PF |+| PF |=|F F |)
若 ， 的轨迹为线段F F ；
1 2 1 2 P
1 2
(| PF |+| PF |<|F F |)
若 ， 的轨迹无图形
1 2 1 2 P
定义的集合语言表述
集合 .知识点二：椭圆的标准方程和几何性质
1、椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
标准方程
（ ） （ ）
图象
焦点坐标
， ，
的关系
范围 ， ，
顶点
， ，
，
轴长 短轴长＝ ，长轴长＝
焦点
焦距
对称性 对称轴： 轴、 轴 对称中心：原点
离心率
，知识点三：常用结论
x2 y2 x2 y2
1、与椭圆 + =1 共焦点的椭圆方程可设为： + =1
a2 b2 (a>b>0) a2 +m b2 +m (m>−b2 )
x2 y2 y2 x2
2、有相同离心率： + =k（ ，焦点在 轴上）或 + =k（ ，焦点在 轴上）
a2 b2 a2 b2
x2 y2
3、椭圆 + =1的图象中线段的几何特征（如下图）：
a2 b2
（1） ；
（2） ， ， ；
a−c≤|PF|≤a+c
（3） , ， ；
1
（4）椭圆通经长=
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：椭圆定义的应用
角度1：利用椭圆定义求轨迹方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 的周长为20，且顶点 ，则顶点 的轨
迹方程是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高二专题练习）动点 到两定点 ， 的距离和是 ，则动点 的轨
迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定
例题3．（2022·四川·双流中学高二期中（理））已知平面上动点 到两个定点 和 的距离之
和等于 ，则动点 的轨迹方程为__．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点 ， 的距离是6，动点P到这两个定点的距离之和是6，
那么动点P的轨迹是什么？
2．（2022·全国·高二专题练习）已知B( ，0)是圆A： 内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题
典型例题
例题1．（2022·山西吕梁·高二期中）设 为椭圆 的两个焦点，直线过 交椭圆于 ，
两点，则 的周长是（ ）
A．8 B．16 C． D．
例题2．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为
， ．若斜率为1，且过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，则 的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
例题3．（2022·江苏·高二专题练习）已知 分别为椭圆 的左，右焦点， 为上顶点，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·黑龙江·高二期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为
上一点， ，若 的面积为 ，则 的短袖长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
同类题型归类练
1．（2022·辽宁沈阳·高二期中）椭圆M的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线交椭圆M
于点A，B.若 的周长为20，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建·莆田第四中学高二期中）设 分别是椭圆 的左、右焦点，P是C上的
点，则 的周长为_____________．
3．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））已知F，F 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆
1 2
上， ⊥x轴，则 的面积为_________．
4．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））已知椭圆 的两个焦点是 、 ，点 是椭圆上一点，且 ，则 的面积是______.
5．（2022·全国·高二单元测试）已知 、 是椭圆 的两个焦点，P为椭圆C上一
点，且 ．若 的面积为9，求实数b的值．
角度3：利用椭圆定义求最值
典型例题
例题1．（2022·重庆八中模拟预测）已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一
点，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
例题2．（多选）（2022·全国·高二单元测试）已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆 上
任意一点，点 ，则 的最大值和最小值分别为（ ）
A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为
例题3．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）已知椭圆 ： ， 为椭圆上任意一
点，点 ， ，则 的最小值为________.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知P为椭圆 上的一点，M，N分别为圆（x＋3）2＋y2＝1和圆
（x－3）2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
2．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆C的方程为 ，M为C上任意一点，则
的最小值为___________.
题型二：椭圆的标准方程
典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为（ ）
A．（5，7） B．（5，6） C．（6，7） D．（5，6）∪（6，7）
例题2．（2022·山西太原·高二期中）已知椭圆 的一个焦点为 ，且过点 ，则椭圆 的标准
方程为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在 轴上，离心率为 ，两顶点间的距离为6；
(2)以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点.
同类题型归类练
1．（2022·河南安阳·高二期中）已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）求经过点 和点 的椭圆的标准方程.
3．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) ， ，焦点在x轴上；
(2) ， ，焦点在y轴上；
(3) ， ．
题型三：椭圆的简单几何性质
角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距
典型例题例题1．（2022·广东·深圳外国语学校高二期中）椭圆 的焦点坐标为（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
例题2．（2022·吉林·抚松县第一中学高二阶段练习）焦点在 轴的椭圆 的焦距是4，则 的
值为（ ）
A．8 B．3 C．5或3 D．20
例题3．（2022·四川成都·高二期中（理））焦点在 轴上的椭圆 的焦距是8，则椭圆的长轴
长为（ ）
A．40 B． C． D．20
例题4．（2022·全国·高二单元测试）椭圆 的短轴长为______．
同类题型归类练
1．（2022·辽宁葫芦岛·高二期中）椭圆 的焦点坐标为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2022·福建·厦门双十中学高二期中）已知椭圆 的焦距是 ，则 的值是____．
3．（2022·四川成都·高二期中（理））椭圆 的长轴长为______．
角度2：求椭圆的离心率
典型例题
例题1．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））数学家蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的
交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若圆 的蒙日圆为 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·北京市昌平区第二中学高二期中）已知 为椭圆 上的点，点 到
椭圆焦点的距离的最小值为 ，最大值为1 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））已知椭圆 与圆
有四个交点，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）设 是椭圆 的右焦点，
若 关于直线 的对称点 在椭圆 上，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·山东青岛·高二期中）设 ， 是椭圆的两个焦点， 为椭圆上的点，且
， ，则椭圆的离心率为___________；
例题6．（2022·安徽·合肥市第八中学高二期中）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别
为 ， ， 为坐标平面上一点，且满足 的点 均在椭圆 的内部，则椭圆 的离心率的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
同类题型归类练
1．（2022·江苏省海州高级中学高二阶段练习）若椭圆经过点 ，且焦点分别为 和
，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·吉林省实验中学高二期中）椭圆 的焦点为 ， ，上顶点为A，若
，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|
FB|，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2022·新疆·乌市八中高二期中）已知椭圆 的左､右焦点分别为
，若椭圆 与坐标轴分别交于 ， 四点，且从 这六点中，可以找到三点构成一个等
边三角形，则椭圆 的离心率的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中高二期中）已知焦点在x轴上的椭圆 的离心率为 ，则k
的值为___________.
6．（2022·天津河东·高二期中）已知 ， 是椭圆C： 的两个焦点，P为C上一点，
且 ， ，则C的离心率为______．
7．（2022·辽宁省康平县高级中学高二期中）已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦
点， 分别为 的左，右顶点． 为 上一点，且 轴．直线 与 轴交于点 ，若直线 经过
的中点，则 的离心率为______
8．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知椭圆C： （ ）左、右焦点分别为 、 ，过
且倾斜角为60°的直线 与过 的直线 交于A点，点A在椭圆上，且 .则椭圆C的离心率
__________.
角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 上的动点 到右焦点距离的最小
值为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， 是椭圆 的
左、右焦点，点 是这个椭圆上位于 轴上方的点，点 是 的外心，若存在实数 ，使得
，则当 的面积为8时， 的最小值为( )
A．4 B． C． D．
例题3．（2022·江西抚州·高二期中）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭
圆 上，则 的值可以是______.（填写一个满足条件的值即可）
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，过点 的直线与椭圆相交于 ，
两点，线段 的中点为 ，则点 的纵坐标的最大值为__________．
例题5．（2022·全国·高二）已知椭圆 ： ， ， 为椭圆的左右焦点，
为椭圆上一点，且 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线 ： ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点，线段 的垂直平分线分别交直线 、直线
于 、 两点，求 最小值.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 为椭圆 的右焦点， 为椭圆 上两个动点，且满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））点 为椭圆 上的一
点， 为椭圆两焦点，那么 的最大值为（ ）A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点 分别是椭圆 的左、右焦点， 是此椭圆上的
动点，则 最小值是（ ）
A．6 B．4 C． D．
4．（2022·北京·高二期末）椭圆 的右焦点为 ，过原点的直线与椭圆 交于两点 、 ，则
的面积的最大值为___________.
5．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高二期中）已知椭圆 的中心在原点，一个焦点为
，且长轴长与短轴长的比是 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设点 ，点 是椭圆 上任意一点，求 的最大值.
