专题03 复数压轴题（七类题型的精囊妙计）
知识点1：
1
2
|
|
z
z
(
1
2
,
z z
C
)的几何意义
在复平面内,设复数
1z
a
bi
，
2z
c
di
（, , ,
a b c d
R
）对应的点分别是
1( , )
Z a b ，
2( , )
Z c d ,则
2
2
1
2
|
|
(
)
(
)
Z Z
a
c
b
d
.
又
复
数
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)
z
z
a
bi
c
di
a
c
b
d i
.
则
2
2
1
2
|
|
(
)
(
)
z
z
a
c
b
d
,故
1
2
1
2
|
| |
|
Z Z
z
z
，即
1
2
|
|
z
z
表示复数
1
2
,
z z 在复平面内对应的点之间
的距离.
知识点2：复数代数形式的乘法运算
（1）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下：设
1z
a
bi
,
2z
c
di
是任意两个复数，那么它们的乘积为
2
1 2
(
)(
)
(
)
(
)
z z
a
bi c
di
ac
adi
bci
bdi
ac
bd
ad
bc i
，
即(
)(
)
(
)
(
)
a
bi c
di
ac
bd
ad
bc i
（2）复数的除法法则
2
2
2
2
2
2
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
a
bi
a
bi c
di
ac
bd
bc
ad i
ac
bd
bc
ad
a
bi
c
di
i
c
di
c
di c
di
c
d
c
d
c
d
（
0
c
di
）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
（3）复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的
1
2
,
,
z z z
C
，
,
m n
N
，有：
①
m
n
m n
z z
z
②(
)
m
n
mn
z
z
③
1 2
1
2
(
)n
n
n
z z
z z
题型一复数分类
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例题1．（2022·高一单元测试）已知z 为复数，
9
z
z
为实数.
(1)当2
10
时，求复数z 在复平面内对应的点Z 的集合；
(2)当4
2
时，若
z
u
z
（
0
）为纯虚数，求的值和|
|
u 的取值范围.
例题2．（2020 下·高二课时练习）设
( ,
)
z
a
bi a b
R
，问：
（1）a ，b 满足什么条件时，1
z
z 是实数；
（2）a ，b 满足什么条件时，
2
1
z
z 是实数.
例题3．（2023 下·陕西咸阳·高一校考期中）已知虚数z 满足2
5
10
z
z
．
(1)求z ；
(2)是否存在实数m ，使得z
m
m
z
为实数，若存在，求出m 的值：若不存在，说明理由．
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1．（2022 下·河南·高二统考期中）已知复数
2
2
lg
2
2
3
2
z
m
m
m
m
i
，根据以下条件分别求实数m
的值或范围.
（1）z 是纯虚数；（2）z 对应的点在复平面的第二象限.
2．（2023 下·宁夏固原·高一校考期中）已知复数
3
i
R
z
b b
，且
1 3i
z
为纯虚数.
(1)求复数z ；
(2)若
2
i
z
，求复数以及模.
3．（2023 下·河北石家庄·高一石家庄一中校考期末）已知复数
1
i
z
a
，
2
1 i
z ，其中a 是实数.
(1)若
2
1
2i
z
，求实数a 的值；
(2)若
1
2
z
z 是纯虚数，求
2
3
2023
1
1
1
1
2
2
2
2
z
z
z
z
z
z
z
z
.
题型二复数模的最值
例题1．（2023 上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）已知复数z 满足
2
4i
1
z
，当z 的虚部取最小值时，
z （
）
A．2
3i
B．2
3i
C．3
5i
D．3
3i
例题2．（2023 下·河南郑州·高一校联考期中）已知复数z 满足
3i
i
z
z
，则
1
2i
z
的最小值为（
）
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A．1
B．3
C．
3
D．
5
例题3．（2023 下·河南郑州·高一郑州一中校考期中）已知复数
1z 和
2z 满足
1
1
4
4
z
z
，且
2
5
3i
1
z
，
则
1
2
z
z
的最小值是
．
练一练
1．（2018·北京·高三强基计划）已知复数
1
2
sin
2i,
1
i cos
z
z
，则
2
1
2
1
2
14
i
i
z
z
z
z
的最小值为（
）
A．2
B．2 2
C．2 3
D．前三个答案都不对
2．（2023·全国·高三专题练习）若复数z 满足
2
R
z
z
，则
i
z 的最小值为
3．（2023·江西景德镇·统考三模）已知i 为虚数单位，且
2i
1
z
，则z 的最大值是
.
题型三复数的三角形式
例题1．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知复数
2π
2π
cos
isin
2023
2023
z
，则
2
2022
1
1
1
z
z
z
（
）
A．2022
B．2023
C．2022
D．2023
例题2．（2021 下·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）设n是正整数，分别记方程
1
nx 、
6
1
1
x
的
非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为A 与B ．若存在
1
Z
A
，当
2
Z 取遍集合B 中的元素时，所得
1
2
OZ
OZ
的不同取值个数有5 个，则n的值可以是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
练一练
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1．（2020·北京·高三强基计划）已知复数z 满足1
1
3 i
2
2
z
，则
2
3
2020
,
,
,
,
z z
z
z
中不同的数有（
）
A．4 个
B．6 个
C．2019 个
D．以上答案都不正确
2．（2021 下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知复数z 满足
4
z z
且
2
0
z
z
z
，则
1931 2021
z
的值为（
）
A．
1976
2
B．
3952
2
C．
1976
2
D．
3952
2
题型四欧拉公式
例题1．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）欧拉公式
ie
cos
isin
由瑞士数学家欧拉发现，其将
自然对数的底数e，虚数单位i 与三角函数cos，sin联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数
iπ
2
e
z
，
则z 的虚部为（
）
A．i
B．1
C．
2 i
2
D．
2
2
例题2．（2022 下·广东广州·高一广州市第八十六中学校考期末）瑞士数学家欧拉于1748 年提出了著名的
公式：
ie
cos
isin
x
x
x
，其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式被称为欧拉公式．根据欧拉公式，
下列选项正确的是（
）
A．
πi
e
1
B．
πi
i
2
e
e
(
R)
的最大值为2
C．复数
πi
4
e 在复平面内对应的点位于第二象限
D．若
πi
3
1
e
z
，
i
2
e
z
在复平面内分别对应点
1
Z ，
2
Z ，则
1
2
OZ Z 面积的最大值为
3
2
例题3．（多选）（2023 下·河北邢台·高一校联考阶段练习）欧拉公式
i
e
cos
isin
x
x
x
是由瑞士著名数学家
欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论
里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（
）
A．
3i
e 对应的点位于第二象限
B．
2πi
e
为实数
C．
i
e
3
i
x
的模长等于
1
2
D．
πi
3
e
的共轭复数为1
3 i
2
2
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练一练
1．（2023 下·辽宁葫芦岛·高一统考期末）欧拉公式
ie
cos
isin
x
x
x
是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将
指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地
位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（
）
A．复数
πi
2
e
为实数
B．
ie 对应的点位于第二象限
C．
ie
sin
icos
2
x
x
x
D．
ie
3
i
x
的最大值为1
2．（多选）（2022 下·浙江·高一校联考阶段练习）欧拉公式“e
1
0
i
”被誉为数学史上最美公式，公式的
成立蕴含了复数的三角表示与指数表示：
i
i
e
(cos
isin )
z
a
b
r
r
，其中
|
|
r
z
，是以x 非负半轴
为始边，复数z 对应的向量OZ
所在射线为终边的角，比如
i
2
3
1
3i
2e
k
z
2 cos
2
isin
2
3
3
k
k
.复数指数形式的引入方便了复数的开方运算，比如
1
1
2
i
2
3
2
(1
3i)
2e
k
6
2e
x
i
k
2 cos
sin
6
6
k
i
k
6
2
2
2 i
，则
1
3
2
2
2
2 i
的结果可以是（
）
A．
2
2 i
2
2
B．
2
2 i
2
2
C．
6
2
6
2 i
4
4
D．
6
2
6
2 i
4
4
3．（多选）（2023 下·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）欧拉公式
cos
sin
ie
i
其中（e
2.718
，
i 为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占
有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（
）
A．
3π
i
2
e
1
B．
π
i
i
2
e
i e
C．
i
i
i
e
e
e
D．
i
i
2
π
i
e
e cos
e
sin
题型五复数范围内根的情况
1．（2023·高一单元测试）在复数范围内分解因式：
2
2
2
3
x
x
．
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2．（2022 下·上海·高二统考期中）已知：对于任意的多项式
( )
f x 与任意复数z，( )
0
f z
x
z
整除
( )
f x ．利
用上述定理解决下列问题：
（1）在复数范围内分解因式：
2
1
x
x
；
（2）求所有满足
2
1
x
x
整除
2
1
n
n
x
x
的正整数n 构成的集合A．
练一练
1．（2022 上·上海·高三复旦附中校考阶段练习）已知方程
2
4
0
x
px
(
)
p
R
有两个虚根,
，则
2
2
的取值范围是
2．（2022·全国·高一专题练习）已知,
是实系数一元二次方程
2
3
0
x
mx
的两个根，求|
|
|
|
的值．
题型六复数与向量
例题1．（2020·北京·）设复数
1
2sin
cos
4
2
z
i
在复平面上对应向量
1
OZ
，将向量
1
OZ
绕原点
O 按顺时针方向旋转3
4
后得到向量
2
OZ
，
2
OZ
对应复数
2
cos
isin
z
r
，则tan（
）
A．2tan
1
2tan
1
B．2tan
1
2tan
1
C．
1
2tan
1
D．
1
2tan
1
例题2．（2022 下·上海虹口·高一校考期末）在复平面中，已知点
( 1,0)
(0,3)
A
B
、
，复数
1
2
z
z
、
对应的点分
别为
1
2
Z
Z
、
，且满足
1
2
1
2
2,
4
z
z
Z Z
，则
1
2
AZ
BZ
的最大值为
.
例题3．（2023 下·上海徐汇·高一上海中学校考期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推
广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对
1
2
,
z z （其中
1
2
,
z z C ）视为一个向量，记作
1
2
,
z z
．类
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比平面向量可以定义其运算，两个复向量
1
2
,
z z
，
'
'
1
2
,
z z
的数量积定义为一个复数，记作a
，满
足
'
2
'
1 1
2
z z
z z
，复向量的模定义为
．
(1)设
1 i,i
，
3,4
，i 为虚数单位，求复向量、
的模；
(2)设、
是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量
1
1
,
a
x y
，
2
2
,
b
x
y
，（其中
1
2
1
2
,
,
,
x x
y y R ），a b
a b
成立，证明：
对于复向量、
，
a
也成立；
②当
a
时，称复向量与
平行．若复向量
1 i,1 2i
与
i, z
平行（其中i 为虚数单位，
z
C
），求复数z ．
练一练
1．（2022 下·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）在ABC
中，
4
BC
BD
，E 为AD 的中点，过点E
的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ．设AB
mAM
，AC
nAN
，复数
i( ,
R)
z
m
n m n
，
则|
|
z 取到的最小值为
．
2．（2023 下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知复数z 在复平面内对应的点为Z，且满足
2
2i
1
z
，
O 为原点，
1,1
A
，求OA OZ
的取值范围
.
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3．（2023 下·上海闵行·高一校考阶段练习）已知关于x 的实系数一元二次方程
2
2
2
4
1
1
0
x
m
x
m
(1)若
2
m
，求方程的两个根；
(2)若方程有两虚根
1
2
,
z z ，
1
2
4
z
z
，求m 的值；
(3)若方程的两根为
1
2
,
x x ，其在复平面上所对应的点分别为
,
A B ，点A 关于y 轴的对称点为C（不同于点A ），
如果
1
OB OC
，求m 的取值范围.
题型七复数与三角函数（三角形）
例题1．（多选）（2023 上·云南·高二云南省下关第一中学校考阶段练习）欧拉是科学史上最多才的一位杰
出的数学家，他发明的公式为
ie
cos
isin
x
x
x
，i 虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角
函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”(e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)，依据上述
公式，则下列结论中正确的是（
）
A．复数
π
i 2
e
为纯虚数
B．复数
i3
e 对应的点位于第二象限
C．复数
π
i 3
e
的共轭复数为
3
1 i
2
2
D．复数
ie (
[0,π])
在复平面内对应的点的轨迹是半圆
例题2．（2023 下·浙江绍兴·高一校考期中）在复平面上的单位圆上有三个点
1
Z ，
2
Z ，
3
Z ，其对应的复数
为
1z ，
2z ，
3z ．若
1
2
1
3
3
3
z
z
z
z
，则
1
2
3
Z Z Z
△
的面积S
．
例题3．（2023·全国·高一随堂练习）已知
1z ，
2z C ，
1
2
z
，
2
3
z ，
1
2
4
z
z
，求
1
2
z
z ．（提示：
1
1
2
2
cos
isin
z
z
z
z
，是
1z ，
2z 所表示的向量的夹角．）
练一练
1．（2023 下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）复平面上两个点
1
2
,
Z Z 分别对应两个复数
1
2
,
z z ，它们
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满足下列两个条件：①
2
1 2i
z
z
；②两点
1
2
,
Z Z 连线的中点对应的复数为3
4i
，若O为坐标原点，则
1
2
Z OZ
△
的面积为
2．（2023 上·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校联考阶段练习）已知函数
sin2
cos2
f x
a
x
x
，且
π
6
f x
f
．
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)O为坐标原点，复数
1
2
4i
z
，
2
2
i
z
f t
在复平面内对应的点分别为A ，B ，求OAB
面积的取
值范围．
3．（2023 下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知复数
1
5
cos
sin
i
13
z
在复平面内对应的点在虚
轴的正半轴上，复数
2
sin
3
cos
i
0
5
z
(1)求sin ，
cos
；
(2)求sin的值.
一、单选题
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1．（2024·陕西宝鸡·统考一模）已知复数
1
3i
1
3i
z
，z 为z 的共轭复数，则|
|
z
z
在复平面表示的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（2024 上·安徽·高三校联考阶段练习）若
1
3 i
2
2
是关于x 的实系数方程
2
1
0
ax
bx
的一个复数根，
且
i
z
a
b
，则
1
z
z
（
）
A．1
3i
5
5
B．1
3
5
5
i
C．3
1i
5
5
D．3
1 i
5
5
3．（2024·全国·高一假期作业）在复平面内，复数
1
2
,
z z 对应的向量分别是
2,3 ,
3, 2
OA
OB
，则复
数
1
2
2
z
z
z
对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．（2023 上·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）已知
2023
i
i
3
z
z
，则z 在复平面内对
应的点所在象限为（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．（2023 上·广东·高二校联考阶段练习）在必修第一册教材“8.2.1 几个函数模型的比较”一节的例2 中，我
们得到如下结论：当0
2
x
或
4
x
时，
2
2x
x
，当2
4
x
时，
2
2x
x
，请比较
2
log 3
a
，
3
b
，
1
3
1 i
i
2
2
c
（其中i 为虚数单位）的大小关系（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c
a
b
D．c
b
a
6．（2023·全国·高三专题练习）复数
cos2
isin3
cos
isin
的模为1，其中i 为虚数单位，
0,2π
，
则这样的一共有（
）个.
A．9
B．10
C．11
D．无数
7．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z 满足
1
z ，且有
17
1
z
z
，求z （
）
A．1
3
2
2 i
B．
3
1
2
2 i
C．
2
2
2
2 i
D．都不对
8．（2023·全国·高三专题练习）已知
C
z
，且
1,
z
i
i
为虚数单位，则
3 5
z
i
的最大值是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
二、多选题
9．（2023·高一单元测试）已知方程
2
2 1
2
0
,
x
i x
a
b i
ab
a b
R
，则下列说法正确的是（
）
A．若方程有一根为0，则
0
a
且
0
b
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B．方程可能有两个实数根
C．
1
2
ab
时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根
0x ，则
0
0
x
或
0
2
x
三、填空题
10．（2023 下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数
R
t
，集合
1
3,
C
S
z z
z
，
2 i
,
3
w
T
z z
t w
S
，若S
T
S
，则t 的取值范围是
.
11．（2023 下·广东汕头·高二金山中学校考期中）
ie
cos
isin
x
x
x
被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以
推导出倍角公式.如：
2
2
i 2
i
cos 2
isin 2
e
e
cos
isin
x
x
x
x
x
x
2
2
cos
sin
i 2sin cos
x
x
x
x
.类比方法，
我们可以得到sin5x
（用含有sin x 的式子表示）
12．（2023·全国·高三专题练习）已知复数
1
cos
2 ( )i
z
x
f x
，2
( 3sin
cos )
i
z
x
x
（xR ，i 为虚数单位），
在复平面上，设复数
1z 、
2z 对应的点分别为
1
Z 、
2
Z ，若
1
2
90
Z OZ
，其中O是坐标原点，则函数
( )
f x 的
最小正周期为
.
四、解答题
13．（2023·全国·高一专题练习）已知复数
1
2
3
i,
1
3i
z
z
，设复数
1
2
,
,
z z
z 分别对应复平面上的点
, ,
A B C .
定义复数
2
2
2
2
( )
( )
i
w
z
z
z
z
.
(1)若
1
2
1
2
3
3
z
z
z
，求w ；
(2)当点C 在线段AB 上运动时，求|
|
w 的最大值.
14．（2023 下·高一单元测试）已知
2
4
4
1
0
kx
kx
k
是关于x 的实系数一元二次方程.
(1)若a 是方程的一个根，且
1
a
，求实数k 的值；
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(2)若
1
2
,
x x 是该方程的两个实根，且
Z
k
，求使
1
2
2
1
x
x
x
x
的值为整数的所有k 的值.
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