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第 08 讲 函数与方程 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·天津·高一校联考期末）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·安徽·高一校联考期末）用二分法求函数 的零点时，初始区间
可选为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·江西吉安·高一统考期末）下列区间内存在方程 的根的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·河南新乡·高一统考期末）已知函数 在 内的一个零点附近
的函数值如下表：
则该零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一
种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函
数解析式可以简化为 的形式．已知
描述的是一种植物的高度随着时间 （单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1
米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（ ）年．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）函数
的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．47．（2024下·山东济宁·高三校考开学考试） 是定义在 上的函数，对于任意的
，都有 且 时，有 ，则函数
的所有零点之和为（ ）
A．10 B．13 C．22 D．26
8．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知定义在R上的函数 满足：
且 ， ，则方程 在区间
上的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．0
二、多选题
9．（2024下·广东湛江·高二校考开学考试）已知函数 的图象与直线
有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
10．（2024上·河南安阳·高一林州一中校考期末）已知函数 ， ，
， ， 是函数 的4个零点，且 ，则（ ）
A． 的取值范围是 B．
C． 的取值范围为 D． 的最大值是
三、填空题
11．（2024上·江西九江·高一江西省庐山市第一中学校考期末）已知函数
，且 时， ，则 的取值范围
是 .
12．（2024上·河南驻马店·高一统考期末）给定函数 ，若在其定义域内存在
使得 ，则称 为“ 函数”， 为该函数的一个“ 点”．
设函数 ，若 是 的一个“ 点”，则实数 的值为
．若 为“ 函数”，则实数 的取值范围为 ．四、解答题
13．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知二次函数 满足 ，且
， 为偶函数，且当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)在给定的坐标系内画出 的图象；
(3)讨论函数 （ ）的零点个数．
14．（2024上·江苏南京·高一统考期末）已知函数 .
(1)若函数 为奇函数，求 的值；
(2)当 时，用函数单调性的定义证明：函数 在 上单调递增；
(3)若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围.B能力提升
1．（2024下·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知函数 ，若存
在 ，使得 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． 在 内有零点 D．若 在 内有零点，则
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的
，都有 ，当 时， ，则函数
的零点个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2024·山西吕梁·校考模拟预测）用[ ]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设
分别是方程 及 的根，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）已知 ，符号 表示不大于 的最大整数，比
如 ， ，若函数 有且仅有 个零点，则实数 的取值
范围是 ．
5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知定义在 上的函数
满足：① 的图象关于直线 对称，②函数 为偶函数；③当
时， ，若关于x的不等式 的整数解有且仅有
个，则实数 的取值范围是 ．
C综合素养6．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）设 为给定的实常数，若函数 在
其定义域内存在实数 ，使得 成立，则称函数 为“ 函
数”．
(1)若函数 为“ 函数”，求实数 的值；
(2)证明：函数 为“ 函数”；
(3)若函数 为“ 函数”，求实数 的取值范围．
7．（2024上·湖南郴州·高一统考期末）对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数
，使得 ，我们就称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的不动点.若函数
， ，若存在 ，使得 ，则称 为函数 的稳定点.
(1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点.
(2)已知函数 ，
（Ⅰ）当 时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在 ，使函数 有三个不同的不动点，求 的值和实
数 的取值范围.8．（2024上·江苏徐州·高一统考期末）已知函数 的定义域为 ，若存在常数
，使得对 内的任意 ， ，都有 ，则称 是“ -利
普希兹条件函数”.
(1)判断函数 ， 是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数 是“ -利普希兹条件函数”，求 的最小值；
(3)设 ，若 是“2024-利普希兹条件函数”，且 的零点
也是 的零点， . 证明：方程 在区间 上
有解.
