重点05 根式不等式与集合
目录
1
知识点01 根式运算....................................................................................2
2
知识点02 根式不等式................................................................................2
3
知识点03 根式不等式与集合....................................................................5
4
题型一、根式的混合运算.........................................................................6
5
题型二、解根式不等式.............................................................................6
6
题型三、根式不等式与集合.....................................................................6
1 知识点01 根式运算
(1)
二次根式的概念
形如❑√a(a≥0)的式子叫做二次根式．其中符号“
”叫做二次根号，二次
根号下的数叫做被开方数．
(2)
二次根式有意义的条件
要使二次根式有意义，则a≥0．
(3)
最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的
二次根式，叫做最简二次根式．
(4)
同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式
(5)
二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简
二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
(6)
二次根式的乘法法则：
❑√a⋅❑√b= ❑√ab(a≥0,b≥0)
(❑√a×❑√b)
2=(❑√a)
2×(❑√b)
2=a×b
(❑√a)
2=a(a≥0)
(7)
二次根式的除法法则
❑√a
❑√b = ❑√
a
b (a≥0,b>0)
1
❑√a = 1×❑√a
❑√a×❑√a =
❑√a
a
(8)
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后
加减，有括号的先算括号内的
2 知识点02 根式不等式
(1)
根式和正数的不等式
【例题1】❑√2 x -3>5
根据被开方数为非负数得：2 x -3≥0⇒x ≥3
2
不等号两边同时平方得：(❑√2 x -3)
2>5
2
平方后得到：2 x -3≥25
移项： 2 x ≥28
系数化为1： x ≥14
取交集得到：x ≥3
2和x ≥14取交集结果为：x ≥14
【例题2】❑√3 x +1<5
根据被开方数为非负数得：3 x +1≥0⇒x ≥- 1
3
不等号两边同时平方得：(❑√3 x +1)
2>5
2
平方后得到：3 x +1≥25
移项： 3 x ≥24
系数化为1： x ≥8
取交集得到：x ≥- 1
3和x ≥8取交集结果为：x ≥8
(2)
根式和负数的不等式
【例题3】❑√2 x -3>-5
根据被开方数为非负数得：2 x -3≥0⇒x ≥3
2
根式计算得结果肯定为非负数：故❑√2 x -3>-5得解为：x∈R
取交集得到：x ≥3
2和x∈R取交集结果为：x ≥3
2
【例题4】❑√2 x -3<-5
根式计算得结果肯定为非负数：故❑√2 x -3<-5得解为：Φ
(3)
根式和根式的不等式
【例题5】❑√2 x -3<❑√3 x +1
根据被开方数为非负数得：2 x -3≥0⇒x ≥3
2
3 x +1≥0⇒x ≥- 1
3
不等号两边同时平方得：(❑√2 x -3)
2<(❑√3 x +1)
2
平方后得到：2 x -3<3 x +1
移项： - x<4
系数化为1： x>- 4
取交集得到：x ≥3
2和x ≥- 1
3 和x>- 4取交集结果为：x ≥3
2
【例题6】❑√2 x -5>❑√x +3
根据被开方数为非负数得：2 x -5≥0⇒x ≥5
2
x +3≥0⇒x ≥-3
不等号两边同时平方得：(❑√2 x -5)
2>(❑√x +3)
2
平方后得到：2 x -5> x +3
移项： x>8
取交集得到：x ≥5
2和x ≥-3和 x>8取交集结果为： x>8
(4)
根式和未知数的不等式
【例题7】❑√2 x -5> x
因为x的正负未知，故需要讨论x的正负
(i)
x ≥0
根据被开方数为非负数得：2 x -5≥0⇒x ≥5
2
因为x为正数，故：
不等号两边同时平方得：(❑√2 x -3)
2> x
2
平方后得到：2 x -3≥x
2
移项： x
2+2 x -3≥0
解得：x ≤-3 或x ≥1
解集取交集：x ≥0，x ≥5
2 ， x ≤-3 或x ≥1
得：x ≥5
2
(ii)
x<0
根据被开方数为非负数得：2 x -5≥0⇒x ≥5
2
因为x为正数，根式的非负性，故：
不等式❑√2 x -5> x恒成立，即x∈R
解集取交集：x<0，x ≥5
2 ，x∈R
得：解集为∅
综上所述：不等式❑√2 x -5> x得解集为{x| x ≥5
2}
和∅的并集，即{x| x ≥5
2}
3 知识点03 根式不等式与集合
1．已知集合A ={x|2 x +1
x -2 ≤1}
，B ={x|❑√3- x ≤2}，则A ∩B =（ ）
A．{x|-3≤x ≤3}
B．{x|-1≤x ≤2}
C．{x|-1≤x<2}
D．{x|-3≤x<2}
2．不等式❑√x
2+ x -2< x +5的解集是（ ）
A．(-3,+∞)
B．(-∞,-2]∪[1,+∞)
C．(-∞,-2)∪(3,+ ∞)
D．(-3,-2]∪[1,+∞)
3．不等式❑√4 x - x
2< x的解集是（ ）
A．(0,2)
B．(2,+ ∞)
C．(2,4]
D．
(-∞,0)∪(2,+ ∞)
4．已知集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．[
1
2 ,1]
B．[3,4]
C．[1,4]
D．[
1
2 ,3]
5．已知集合M =¿，N =¿，则M ∩N =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
6．已知集合U = {-2,-1,0,1,2,3,4}, A ={x|3- x
x +2 ≥0, x∈Z},B ={x|❑√x +1<2}，
则∁U( A ∩B)=（ ）
A．{-2}
B．{3,4}
C．{-2,3,4}
D．{-2,0,3,4}
4 题型一、根式的混合运算
1．计算：5 ❑√24
2
- 4 ❑√
3
2 - ❑√6．
2．计算：2
-1+ ❑√12-|❑√3-2|．
3．计算：❑√18- ❑√32+ ❑√2；
4．计算：❑√8+|1- ❑√2|+(- 1
5)
0．
5．计算：❑√2-2❑√12+ ❑√18．
6．计算：
(1)2❑√3+3 ❑√2-5 ❑√3-3 ❑√2
(2)3√-27+
❑√(-3)
2-
3√-1
7．计算：❑√12+|❑√3-2|-(
1
2)
-1．
8．计算：❑√18-(- 1
3)
-2
+|2❑√2-3|．
9．计算：(- 1
3)
-1
-|1- ❑√2|+ ❑√8．
10．计算：4 ❑√3-7 ❑√12+2❑√48；
11．计算：❑√24+ ❑√12
❑√6
- ❑√
1
3 ×❑√27．
12．计算：3
2
❑√24 × 2
3
❑√18
13．计算：
(1)❑√
1
3 ×❑√75；
(2)5 ❑√27×(-3 ❑√3)；
(3)❑√
5
3 ×❑√
9
125 ×❑√3；
14．计算：
(1)❑√30×❑√2 2
3 ×❑√0.4；
(2)❑√27×3 ❑√12× 5
8
❑√3．
15．计算
(1)6 ❑√27×(-2❑√3)；
(2)❑√6×❑√15×❑√10；
(3)❑√1 2
3 ÷ ❑√2 1
3 ×❑√1 2
5；
16．计算：
(1)❑√6.5÷ ❑√0.5；
(2)
❑√3×❑√15
❑√5
；
(3)❑√4 1
2 ÷(- ❑√2 2
3)
；
17．计算
(1)❑√12÷ ❑√
27
2 ；
(2)3 ❑√20÷ 3
2
❑√2 2
3．
18．计算：❑√6÷ ❑√2-|1- ❑√3|+(
1
2)
-1．
19．|-9|×(- 1
3)
2
- ❑√8÷ ❑√2+(
1
2)
-1
+(-1)
0．
20．计算：❑√6÷ ❑√3+ ❑√8- ❑√
1
2 ×❑√6．
21．计算：❑√18÷ ❑√6+ ❑√27
5 题型二、解根式不等式
1．不等式❑√4 x - x
2< x的解集是（ ）
A．(0,2)
B．(2,+ ∞)
C．(2,4]
D．
(-∞,0)∪(2,+ ∞)
2.不等式❑√x
2-3 x ≤2的解集是（ ）
A．[-1,0]
B．[-1,0]∪[3,4]
C．[-1,4]
D．[
1
2 ,3]
3．不等式❑√4 - x
2> x的解集是 ．
4．不等式❑√4 x - x
2< x的解集是 ．
5．不等式x + ❑√x -1>❑√x -1的解集是 .
6．不等式❑√x +3<2的解是 .
7．不等式❑√x -1<1的解集为
8．不等式❑√x -1<3的解集是 .
9．不等式❑√2 x
2+1- x ≤1的解集是
10．解不等式：❑√2 x -1> x -2．
11．解不等式：❑√2 x +5> x +1．
12．解不等式：❑√5- 4 x - x
2≥x
13．解不等式：❑√x +5≥x
2 +1
14．解不等式：❑√x -1+2 x<5．
15．解不等式：2 x - ❑√x>1.
16．解不等式：❑√2 x +5> x +1；
17．解不等式:❑√x -1+2 x ≤5.
18．解不等式：❑√3 x -5≥x-1
6 题型三、根式不等式与集合
1．集合M =¿，N =¿，则M ∩N=（ ）
A．[-2,2]
B．[1,2]
C．[-2,5)
D．[1,5)
2．已知全集U为实数集R，若集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．[1, 3)
B．(-1, 3)
C．(1, 3)
D．(-1, 1)
3．已知全集U为实数集R，若集合A ={x|❑√x -1<1}，则∁U A =（ ）
A．[2,+ ∞)
B．(2,+ ∞)
C．(-∞,1)∪[2,+∞)
D．(-∞,1]∪[2,+∞)
4．已知集合M ={x∣❑√x -1<3}, N ={x∣2 x -3>3}，则∁R(M ∪N )=（ ）
A．(-∞,1) B．(-∞,3]
C．[1,+ ∞)
D．(3,10)
5．已知集合A ={x|2 x +1
x -2 ≤1}
，B ={x|❑√3- x ≤2}，则A ∩B =（ ）
A．{x|-3≤x ≤3}
B．{x|-1≤x ≤2}
C．{x|-1≤x<2}
D．{x|-3≤x<2}
6．若集合M =¿，N =¿，则M ∩N =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
7．已知集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．(1,3)
B．[-1,0)∪(1,3)
C．[-1,0)∪(0,3)
D．[-1,0)∪(0,1)
8．已知集合A ={x|-2≤x<8}，集合B =¿，则A ∩B =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．{x|1≤x<8}
9．设集合A ={x|❑√3- x<2},B ={1,2,4,5}，则B∩(∁R A)=（ ）
A．{1}
B．{1,2}
C．{1,2,4}
D．{4,5}
10．不等式x + ❑√x<6的解集为（ ）
A．(0，16) B．(0，16]
C．[0，4)
D．(0，4)
11．设集合A ＝{x| x
2-2 x -3≤0}，B＝{x|❑√x -1<2，x∈Z }，则A ∩B =
（ ）
A．{1,2,3} B．{x|1≤x ≤3}
C．{1,2,3,4}
D．{x|-1≤x<5}
12．已知集合A =¿，B =¿，则下列判断正确的是（ ）
A．B⊆A
B．∁U B =(-∞,0]∪[2,+ ∞)
C．-1∈A且❑√3∉B
D．A ∪B =¿
13．设集合A = {x|0≤x -1≤1}，B ={x|❑√x -1>0}，则A ∩B =（ ）
A．0
B．(1,2]
C．[1,2]
D．(0,2)
14．已知集合M =¿，N =¿，则M ∩N =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
15．已知集合U = {-2,-1,0,1,2,3,4}, A ={x|3- x
x +2 ≥0, x∈Z},B ={x|❑√x +1<2}，
则∁U( A ∩B)=（ ）
A．{-2}
B．{3,4}
C．{-2,3,4}
D．{-2,0,3,4}
