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重难点培优02 利用基本不等式求最值
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................2
题型一 分离转化对勾型（★★★）............................................................................................................2
题型二 变形后利用常数代换法（★★★★）............................................................................................5
题型三 消元法（★★★★）........................................................................................................................8
题型四 换元法化简（★★★★）..............................................................................................................11
题型五 双换元法化简（★★★★）..........................................................................................................13
题型六 三角换元法化简（★★★）..........................................................................................................16
题型七 多次使用基本不等式（★★★★）..............................................................................................18
题型八 三元型均值不等式（★★★★）..................................................................................................21
题型九 基本不等式与其他知识交汇（★★★★★）..............................................................................23
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................27
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................27
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................34
1、重要不等式
（1）公式：对于任意的实数
，有
，当且仅当
时，等号成立．
【说明】
，当且仅当
时，等号成立．
（2）常见变形：
、
、
．
2、基本不等式
（1）公式：如果
，
，那么
，当且仅当
时，等号成立．
（2）常见变形：
；
（3）常用结论：
①
（
同号），当且仅当
时取等号；
（
异号），当且仅当
时取等号．
②
（
），当且仅当
时取等号；
（
），当且仅当
时取等号；
3
、基本不等式链：
即调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值(注意等号成立的条件).
题型一 分离转化对勾型
【技巧通法·提分快招】
形如
，可以通过换元
分离降幂，转化为对勾型
1．设
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
变形后，利用基本不等式求解.
【详解】
，则
，
，
当且仅当
时，等号成立，则
.
故选：D.
2．函数
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简函数
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数
又由
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，所以
即函数
的最大值是
.
故选：C.
3．（24-25 高三上·江西赣州·期中）（多选题）下列式子中最小值为8 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】对于A、B 选项，直接根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于C 选项，先将原式变形
为
，再根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于D 选项，根据
，利
用“1”的代换，结合均值不等式和取等条件判断正误即可.
【详解】对于选项A：
，
当且仅当
，即
时等号成立，但
不成立，
所以
的最小值不为8，故A 错误；
对于选项B：因为
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为8，故B 正确；
对于选项C：
，
当且仅当
时，即
时，取得最小值8，故C 正确；
对于选项D：由题意
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故D 不正确.
故选：BC
4．函数
的最小值为 ．
【答案】
【分析】将函数化为
，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由
，又
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以原函数的最小值为
.
故答案为：
5．（24-25 高三上·上海·开学考试）函数
在
上的最大值为 ．
【答案】
【分析】令
，则
，则
，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为
，
，令
，则
，
则
，
当且仅当
，
即
时，等号成立．
故
的最大值为
．
故答案为：
题型二 变形后利用常数代换法
【技巧通法·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如
，可以通过同除ab，化为
构造“1”的代换求解
2、形如
，求
型，则可以凑配
，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b 系数，来进行变换凑配。
3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求
型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利
用“1”的代换来求解。
1．（23-24 高三上·陕西咸阳·月考）已知实数x 满足
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．18
C．27
D．36
【答案】C
【分析】利用
，结合基本不等式求和的最小值.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：C
2．（24-25 高三上·江西宜春·期末）已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知条件得出
，将代数式
与
相乘，展开后利用
基本不等式求出
的最小值，根据题意可得出关于
的不等式，解之即可.
【详解】因为
，
，且
，则
，
则
，
所以
，
当且仅当
时，
即当
，
时，所以
的最小值为
，
因为
恒成立，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
3．（24-25 高三上·河南·月考）已知正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用“1”的代换后由基本不等式得最小值．
【详解】由
，有
，有
，有
，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，所以
的最小值为
．
故选：C．
4．（2025·重庆·模拟预测）若
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用已知条件构造
，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【详解】由
，可知
，
，
所以
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
故答案为：
5．（24-25 高三上·山东聊城·月考）已知正数
，
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】由条件结合基本不等式证明
，解不等式可得结论.
【详解】由
，得
，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
，且
，即
时，上式取“=”，
所以
的最小值为．
故选：D.
6．（24-25 高三上·四川南充·月考）已知正数x，y 满足
，则
的最小值为
．
【答案】
/
【分析】先利用换元法探索
的关系，再结合常数代换法求
的最小值.
【详解】因为
，
为正数，且
，
两边平方得：
，
所以
.
设
，则
，解得
，
，整理得：
，即
.
所以
.
当且仅当：
即
时取“
”.
即
的最小值为
.
故答案为：
题型三 消元法
【技巧通法·提分快招】
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或
“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
1．（2025·河南·模拟预测）若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可．
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：B.
2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
且
、
，再由
，应用基本不等式求其最小
值，注意取值条件.
【详解】由
，
，即
，易知
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，此时
，
所以
的最小值为
.
故选：D
3．（24-25 高三上·重庆·月考）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得
，得出
的表达式再由基本不等式计算可得结果.
【详解】由
得
，
即
，
当且仅当
，
取到等号，
故选：C.
4．（2024·吉林长春·一模）已知
，
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
/4.5
【分析】根据条件消去
，再利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解即可.
【详解】由
可得
，解得
，
又
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故答案为：
5．（24-25 高三上·重庆九龙坡·期末）已知
均为正实数，若
，则
的最小值为 .
【答案】25
【分析】由
代入
消去
，整理得
，设
，则得
，利用基本不等式即可求得.
【详解】由
可得
，代入
中，可得
，
设
，则
，
于是
，
因
，当且仅当
时，等号成立，
即
时，
取得最小值25.
故答案为：25.
【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利
用基本不等式求其最值.
题型四 换元法化简
1．（24-25 高三上·河北唐山·月考）已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】变形得到
，根据
为正数，得到不等式，求出
，并且
，
换元后得到
，由基本不等式求出最小值，得到答案.
【详解】正数
满足
，
故
，
由于
，故
，即
，等价于
，
解得
，
，
令
，则
，
则
，
当且仅当
，即
时，即
，等号成立.
故选：C
2．已知
，则
的最小值为 ．
【答案】
/1.5
【分析】设
，则
，将已知代入根据基本不等式性质可求解.
【详解】令
，则
，
将
代入则
，
当且仅当
，
时取到等号，所以
的最小值为
．
故答案为：
3．（24-25 高三上·河南·月考）已知
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】将
变形为
，换元，令
，构造均值不等式
求解即可.
【详解】
，令
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
，
时取等号.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
4．（24-25 高三上·浙江·期中）设
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可.
【详解】
，
，
令
又
，
，当且仅当
时等号成立,
,
在
上单调递减，
时
，
的最大值为
.
故答案为：
题型五 双换元法化简
1．已知
为正数，求
的最大值（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】把代数式等价变形结合基本不等式可得结果.
【详解】法一：令
，则
当且仅当
，即
时取等号．
法二：令
，则
，
∴原式
，当且仅当
时，即
时取等号．
法三：
，当且仅当
时取等号．
法四：
当且仅当
时，即
时取等号．
故选：A．
2．（23-24 高三上·四川巴中·开学考试）已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】B
【分析】令
，结合
可得
，由此即得
，
展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意
得，
，
令
，则
，
由
得
，
故
，
当且仅当
，结合
，即
时取等号，
也即
，即
时，等号成立，
故
的最小值为9，
故选：B
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数
，
，满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设令
，故
，
，变形得到
，由基
本不等式“1”的代换求出
的最小值，从而得到答案.
【详解】正数
，
，满足
，故
，
令
，故
，
，
，
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
.
故选：D
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数
，
满足
，则
的最小值是 ．
【答案】
/0.25
【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的
妙用求解.
【详解】方法一
设
，
，则
，
，
，
当且仅当
，
，即
，
时取等号，
．
方法二
，
，
，
当且仅当
，
时取等号，
．
故答案为：
题型六 三角换元法化简
【技巧通法·提分快招】
一般情况下，复合或者能转化为
型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转
化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值
1．（24-25 高三上·安徽合肥·月考）已知正数x，y 满足
，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】应用三角换元，令
，且
，结合已知、平方关系、和角正弦公式
得
，进而有
，最后利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值.
【详解】
，由
，
得
，
令
，且
，
所以，有
，
即
，故
，
所以
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为1.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三角函数的性质，应用三角换元将已知等式化为
是关键.
2．（23-24 高三上·湖北荆州·月考）已知实数
满足
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】由换元法构造函数，再由导数判断单调性后求解最值．
【详解】由条件知
令
，
则
，
令
，
则
，
当
时，
，当
时，
时，
，
故当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
当
时，
取得最大值
，
故答案为：
3．（23-24 高三下·重庆·开学考试）已知实数
满足
，则
的最大值为 ；
的取值范围为 ．
【答案】 1
【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先将目标式子化为关于
的代数式，通过三角
换元得
的范围，进一步取到倒，结合对勾函数性质得
，从而即可得解.
【详解】由题意
，等号成立当且仅当
，即
的最大值为1；
由题意
，
因为
，所以设
，
所以
，
所以
，
所以
，
令
，
，所以
，
又
，
所以
，
所以
.
故答案为：1；
.
【点睛】关键点点睛：第二空的关键是首先画出关于
的代数式，并求出
的范围，由此即可顺利得解.
题型七 多次使用基本不等式
【技巧通法·提分快招】
多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性.
1．（23-24 高三上·河北·月考）已知正实数
，
满足
，则
的最小值为
．
【答案】12
【分析】由条件可得
，将
展开并变形为
，利用基本不
等式即可求得答案.
【详解】因为正实数
，
满足
，
故
，当且仅当
时等号成立，
故
，
当且仅当
，即
时取等号，符合题意，
故
的最小值为12，
故答案为：12
2．（23-24 高三下·重庆·模拟预测）对任意的正实数
，满足
，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】变形得到
，利用两次基本不等式，求出最小值.
【详解】任意的正实数
，满足
，
由于
为正实数，故由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
综上，
的最小值为
.
故答案为：
【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比
如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等
3．（2025·辽宁·模拟预测）设
表示数集
中最小的数，若
，则
的最大值为 .
【答案】1
【分析】由基本不等式可得
，
，故
，再结合基本不等式
可得
，进而可得.
【详解】设
，
则
，
，
，
，
因为
，所以
,
，
当且仅当
时两个不等式同时取等号，
所以
，
又
，
当且仅当
，
时取等号，所以
，则
，当且仅当
，
时取等号，
故
的最大值为1.
故答案为：1
题型八 三元型均值不等式
【技巧通法·提分快招】
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等
等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结
构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
1．（23-24 高三上·河南漯河·期末）设正实数
、
、
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得出
，利用基本不等式可求得
的最大值.
【详解】因为正实数
、
、
满足
，则
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最大值为.
故选：D.
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知
，
，
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合条件可得
，展开等式右侧，结合基本不等
式求其最小值即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
所以
，
又
，当且仅当
时等号成立，
，当且仅当
时等号成立，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，当且仅当
，
，
时等号成立，
所以
的最小值为
，
故选：A.
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数
，
，满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设令
，故
，
，变形得到
，由基
本不等式“1”的代换求出
的最小值，从而得到答案.
【详解】正数
，
，满足
，故
，
令
，故
，
，
，
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
.
故选：D
4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数
，
，
满足
，则
的最
小值是 .
【答案】
【分析】因式分解得到
，变形后得到
，利用基本不等式求出
最小值.
【详解】因为
为正实数，
故
，
即
，
，
当且仅当
，即
，此时
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
题型九 基本不等式与其他知识交汇
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量
，若
在上的投影向量相等，
则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】由投影向量的定义及向量相等得
，再应用向量数量积的坐标表示得
，最后应用
基本不等式求目标式的最小值.
【详解】由题意
，可得
，故
，即
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为2.
故选：A
2．（2025·山东枣庄·二模）将函数
的图象上所有点向左平移2 个单位长度后，再向下平移1 个
单位长度，得到函数
的图象，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】通过平移得到
,再结合对数的运算性质,由基本不等式即可求解.
【详解】由题意可得
，
因为
，
所以
，
所以
，
即
，且
.
因为
，当且仅当
时，取到最小值.
故选：B
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角
，
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件可得
，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由
，可得
，即
，
所以
，
则
，
当且仅当
时，即
，即
时，
也就是
时，等号成立.
故选：C
4．（24-25 高三下·山东·模拟预测）已知随机变量
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．
【答案】B
【分析】由正态分布的对称性求得
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意正态分布均值
，结合对称性可知：
，可得
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号．
所以最小值为8.
故选：B
5．（23-24 高三上·湖北恩施·期中）已知点G 是
的重心，过点G 作直线分别与
两边交于
两点（点
与点
不重合），设
，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】令
是
的中点，连接
，易得
，根据三点共线的推论有
，应
用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件.
【详解】若
是
的中点，连接
，点G 是
的重心，则
必过
，且
，
由题设
，又
共线，
所以
，即
，注意
，
由
，当且仅当
，即
时等号成立，
故目标式最小值为1.
故选：A
6．（2025·重庆九龙坡·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
,
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正余弦定理化简已知条件得
，即可求得
，由向量模的运算法则得
，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为
，所以由正弦定理得
，
即
，由余弦定理得
，又
，所以
，
由
知
，
所以
，当且仅当
即时等号成立，
所以线段
长度的最小值为
.
故选：D
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·陕西·模拟预测）若
的展开式中常数项为
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】由二项式展开式性质可计算出
，结合基本不等式即可得.
【详解】由
，有
，
令
，即
，故
，
即
，即
，则
，
当且仅当
或
时，等号成立，
故
的最小值为.
故选：C.
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列
中，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．6
【答案】B
【分析】设公差为
，由
求出
，则
，由
及乘“1”法计算可得.
【详解】正项等差数列
中，设公差为
，
因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：B
3．（2024·江西新余·二模）已知x，y 为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．12
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.
【详解】由
，则
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立.
故选：C.
4．（24-25 高三上·重庆·月考）已知
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，结合基本不等式可求
的最小值.
【详解】因为
，
所以
所以
，
所以
，所以
，
当
时，
，等式变为
，显然不成立，
所以
，所以
，
所以
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
，所以
.
所以
的最小值为
.
故选：D.
【点睛】思路点睛：利用三角恒等变换得到
，最值问题常常借助基本不等式求解.
5．（2024·四川成都·模拟预测）若
是正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】观察等式分母可知
，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.
【详解】因为
，
当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：A
6．（24-25 高三上·广东深圳·月考）已知
，
，则
最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】D
【分析】先将
用
的关系表示，又由
，得
，再利用
“乘1 法”及基本不等式即可得出．
【详解】设
，
则
，解得
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为2，
故选：D.
7．（24-25 高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知
，
，
，且
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果.
【详解】由
可得
，且
因此
，
令
，则
；
又
；
当且仅当
时，即
时，等号成立；
此时
的最小值为
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解.
8．（23-24 高三上·江苏无锡·月考）已知正数
，
满是
，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】先利用换元法探索
的关系，再结合基本不等式求
的最小值.
【详解】因为
，
为正数，且
，
两边平方得：
，
所以
.
设
，则
.
所以
.
所以
.
当且仅当：
即
时取“
”.即
的最小值为
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据已知条件，探索出
满足的条件等式.
9．函数f(x)＝
(x>1)的最小值为 ．
【答案】8
【详解】
(解法1：基本不等式法)f(x)＝
＝
＝(x－1)＋
＋2≥2
＋2
＝8，当且仅当x－1＝
，即x＝4 时取等号，则f(x)min＝8.
(解法2：导数法)f′(x)＝
，令f′(x)＝0，得x＝4 或x＝－2(舍去).当1<x<4 时，f′(x)<0，f(x)
在(1，4)上单调递减；当x>4 时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝4 处取到极小值也是
最小值，即f(x)min＝f(4)＝8.
10．（24-25 高三下·浙江湖州·模拟预测）已知正实数x，y 满足
，则
的最大值为
．
【答案】1
【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解.
【详解】因为
，
所以
，则
,
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故答案为：1
11．（2024·广西河池·模拟预测）若实数
，且
，则
的最小值为 .
【答案】4
【分析】根据
，将
化简可得
，再根据基本不等式“1”的巧用求解最
值即可.
【详解】由
可得
，
因为
，所以
，即
，则
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
的最小值为
.
故答案为：
.
12．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z 满足
，则
的最大值是
．
【答案】
/0.75
【分析】根据给定条件，消去
并变形，借助二次函数最值求解即得.
【详解】实数x，y，z 满足
，则
，
于是
，
当且仅当
且
时取等号，所以当
时，
.
故答案为：
13．已知正实数
，
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】依题意可得
，令
，
，即可得到
且
，
，目
标式子
，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为正实数
，
满足
，
即
，令
，
，则
且
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号.
故答案为：
14．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知
的最
小值为 .
【答案】
【分析】根据条件得到
，再通过转化和构造，利用基本不等式，即可求解.
【详解】由
，得到
，所以
，
则
，
又
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
又
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
，
故答案为：
.
【点晴】关键点点晴，本题的关键在于将条件
变形为
，再利用基本不等进行求
解.
15．（24-25 高三上·重庆·期中）若正实数
，
满足
，则
的最
小值是 .
【答案】4
【分析】设
，得到
，假设
得到矛盾，即有
，结合
且
，将目标式化为
，最后应用基本不等式
求最小值.
【详解】设
，则
，即
，
若
，则
，而
，仅当
时等号成立，
所以
，显然与
矛盾，所以
，
由上
，由
，即
，则
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
，即
，
时，目标式最小值为4.
故答案为：4
【点睛】关键点点睛：应用换元法
，结合基本不等式得到
，再由
将目标式整理只为含
的表达式为关键.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江苏盐城·三模）设正数
，随机变量
的分布列，若随机变量
的期望为1，则
最小值为（ ）
0
A．1
B．
C．4
D．2
【答案】D
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求出的值，再利用期望公式得到
与
的关系，然后换元，
将所求式子进行变形，结合
与
的关系，运用基本不等式求出其最小值.
【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即
.解得
.
已知随机变量
的期望为，可得
.
化简可得：
，进一步变形为
.
设
，则
，
将
进行变形
，
给式子乘以
得到
.
展开式子：
根据基本不等式，有
.
所以
，当且仅当
，即
时等号成立.
故选：D.
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】对
进行变形，结合
，运用基本不等式计算即可.
【详解】
,
由于
，
当且仅当
，即
取等号.
则
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对
进行变形，然后结合
进行配凑放缩，即
可求出最值.
3．（23-24 高三上·河北邢台·期末）设
，若
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．
C．
D．4
【答案】D
【分析】由基本不等式结合待定系数比例即可得解.
【详解】设
，
，
令
，解得
，所以
，
即
，当且仅当
，
时，等号成立．
故选：D.
4．（23-24 高三下·江苏苏州·模拟预测）已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意首先得
，且
，进一步通过换元法以及判别式法即可求
解，注意验证取等条件.
【详解】因为
，所以
，所以
，等号成立当且仅当
，
从而
，
令
，设
，显然
，
则
，
因为关于的一元二次方程有实数根，所以
，
整理得
，即
，
解得
，注意到
，从而
，
等号成立当且仅当
，即
，
所以经检验
的最大值，即
的最大值为
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：关键是得
，且
，由此即可顺利得解.
5．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选题）若
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式计算可得A 正确，将表达式参数化利用三角函数值域计算可得B 正确，将表达式
化简计算可得
，解不等式可得
，即可得C 错误，D 正确.
【详解】对于A，由
可得
，
因此
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，即A 正确；
对于B，将表达式
化简可得
，
将方程参数化可知
，
；
所以
，其中
；
又
，所以
，可得B 正确；
对于C，由
可得
，
即
，
因此
，解得
，
当且仅当
时，等号成立，即C 错误，D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：在求解
的取值范围时关键在于利用表达式特征，将等式参数化并利用辅助角公式
计算即可得出结论.
6．（24-25 高三上·上海·月考）已知
，若
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，分析得
，进而得到
，从而利用“1”的代换与基本不等式即可得解.
【详解】因为
，
则方程
与
有相同的解，不妨设为
，
则
，故
，即
，整理得
，
因为
，
所以
，
当且仅当
且
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得方程
与
有相同的解，从而得到
，由此得解.
