文档文本内容
1
1.1.2 集合的基本关系
课程标准
学习目标
1.理解子集、真子集概念以及集合相等。
2.掌握用数学符号语言以及V 图语言表示集合
间的基本关系。
3.能够区分集合间的包含关系与元素与集合的
属于关系。
1.对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概
念的理解；
2.集合的子集的辨析和应用；
3.对给出的集合能写出其子集和真子集；有集合元素
个数求子集个数；
4.在理解集合间关系的过程中，运用数轴和venn 图
解决子集及真子集问题，提高学生分析问题和解决
问题的能力；
5.通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体
验其现实意义。
知识点1 子集
2
1.概念：一般地，如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集.
2.记法：A B
⊆（或B A
⊇）.
3.读法：A 包含于B（或"B 包含A"）.
4.如果A 不是B 的子集，记作A⊈B（或B ⊉A），读作“A 不包含于B”（或“B 不包含A”）.
5.性质：A A
⊆
；∅⊆A.
6.图形表示：
【即学即练1 】（2023·江苏·高一假期作业）设集合M = {1,2,3}，N = {1}，则下列关系正确的是
（ ）
A．N ∈M
B．N ∉M
C．N ⊇M
D．N ⊆M
【即学即练2 】（2023· 全国· 高一假期作业）下列各式：①1⊆{0,1,2}，②{1}∈{0,1,2}，③
{0,1,2}⊆{0,1,2}，④∅⊆{0,1,2}，⑤{2,1,0}= {0,1,2}，其中错误的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【即学即练3】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A = {0,1,2,3}，则含有元素0 的A 的子集个数是
（ ）
A．2
B．4 C．6
D．8
知识点2 真子集
1.概念：一般地，如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A，那么集合A 称为集合
B 的真子集.
2.记法：A⫋ B（或B A）.
3.读法：A 真包含于B（或“B 真包含A”）.
4.性质：对于集合A，B，C，①如果A B,B
⊆
⫋C,则A⫋C
②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C；
5.图形表示：
6.如果集合A 中含有n 个元素，则有
（1）A 的子集的个数有2n个．
（2）A 的非空子集的个数有2n－1 个．
（3）A 的真子集的个数有2n－1 个．
（4）A 的非空真子集的个数有2n－2 个．
3
【即学即练4】（2024 秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合
，
，则集合A 与B 的
关系是（ ）
A．
B．
C．
D．不确定
【即学即练5】（2023 春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件
的所有集合
的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
知识点3 空集
1、定义：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为
，规定：空集是任何集合的子集．
∅
在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：
（1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集．
2、0，{0}，
，
∅
{
}
∅的关系
与
∅
0
与
∅
{0}
与
∅
{
}
∅
相同点
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
是集合；
∅
0 是实数
中不含任何元素；
∅
{0}含一个元素0
不含任何元素；
∅
{
}
∅含一个元素，该元素是∅
关系
0∉∅
∅
{0}
∅
{
}
∅或
∈
∅
{
}
∅
【即学即练6】（2024 秋·湖北咸宁·高一校考阶段练习）给出下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若
，则
．
其中正确的说法有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
知识点4 Venn 图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以
是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。
韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系
【即学即练7】（2024·河南新乡·高一统考阶段练习）下列表示集合M ={x∈Z|2
x ∈Z}和N =¿关系的
4
Venn 图中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点5 集合的相等与子集的关系
1.定义：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，
那么集合A 与集合B 相等
2.图形表示：
3.如果 A B
⊆，且B A
⊆
则 A= B.
4.如果A=B 则A B
⊆
且B A
⊆.
【即学即练8】已知集合A ={a,b,1},B ={−1,2,a
2}，若A = B，则a
b的值为（ ）
A．1
B．1
2
C．−1
D．1 或1
2
易错点 忽略空集的特殊性致误
示例： 设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a 的取值集合．
5
【题型1：集合间关系的判断】
例1.（2022 秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合
，
，则集合A 与B 的关系是（
）
A．
B．
C．
D．不确定
变式1.（2024·北京·高三专题练习）已知集合
，
，则（ ）
A．
⫋
B．
C．
D．
变式2.（2024·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
D．
⫋
变式3.（2024·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4.（2023 秋·高一课时练习）已知集合
，
，则M
与P 的关系为（ ）
A．M＝P B．M
P C．P⊆M D．M
P
变式5.（2024 秋·江西南昌·高一校联考期中）若P =¿，Q =¿，则必有（ ）
A．P =Q
B．P⊆Q
C．P⊈Q
D．P⊇Q
变式6.【多选】（2024·高一单元测试）集合
，
，则下列
关系错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7.(2023 秋·高一课时练习）若集合
，
，
，则
的关系是（ ）
6
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B
⊆，否则A 不是B 的子集；
其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A
⊆，否则B 不是A 的子
集；
若既有A B
⊆，又有B A
⊆，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
【题型2：确定集合的子集、真子集】
例2．（2023 秋·海南儋州·高一校考期中）写出集合
的所有子集和它的真子集.
变式1.．（2023 秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列集合中，可以为集合
的真子集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.．（2023 秋·高一校考课时练习）若
，则
.
变式3.．（2024·高一课时练习）已知集合
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4.．（2023 秋·山东日照·高一校考阶段练习）设
，
．
(1)写出集合A 的所有子集；
(2)若B 为非空集合，求a 的值．
【方法技巧与总结】
对集合子集、真子集概念的认识：
(1)真子集的概念也可以叙述为：若集合A⊆B，存在元素x 满足x∈B 且x
A，则称集合A 是集合B 的
真子集．
(2)集合A 是集合B 的真子集，需要满足以下两个条件：①集合A 是集合B 的子集；②存在元素x 满足
x∈B，且x
A.所以，如果集合A 是集合B 的真子集，那么集合A 一定是集合B 的子集，反之不成立．
(3)空集是任意非空集合的真子集，这里强调的是“非空”两字，解题时不能丢掉空集这一特例．
7
(4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集没有真子集．一个集合的真子集的个数比子集
的个数少1.
【题型3：子集、真子集个数问题】
（一）求子集、真子集个数
例3．（2023 春·浙江衢州·高一统考期末）已知集合
，则集合
的子集有（ ）
A．7 个
B．6 个
C．4 个
D．3 个
变式1.（2024 秋·湖北·高一校联考）集合
的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
变式2.（2023·全国·高一专题练习）集合
，则
的子集的个数为（
）
A．4 B．8 C．15 D．16
变式3.．（2024·高一单元测试）已知非空集合
，且A 中至多有一个奇数，则这样的集合共有
个．
变式4.（2023 秋·高一课时练习）已知非空集合
满足:对任意
，总有
，且
.若
，则满足条件的
的个数是（ ）
A．11
B．12
C．15
D．16
变式5．（2023 秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合
，则集合
的真子集个
数为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
变式6．（2024·河南开封·统考三模）已知集合
，
，则集合B 的真子集个
数是（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
变式7．（2023 秋·高一课时练习）设集合
，且
，若
，
，则集合
M 的非空真子集的个数为（ ）
A．4
B．6
C．7
D．15
变式8．（2023 秋·高一课时练习）若一个集合含有n 个元素，则称该集合为“n 元集合”.已知集合
，则其“2 元子集”的个数为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10
8
变式9.（2023 秋·高一校考课时练习）已知
，则符合条件的集合
的个数是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
变式10.（2024 秋·云南保山·高一校联考）满足
的集合
的个数为（ ）
A．
B． C．
D．
变式11．（2024·全国·高三对口高考）若集合A 满足
⫋
，则集合A 所有可能的情形有
（ ）
A．3 种
B．5 种
C．7 种
D．9 种
⫋变式12.（2024·全国·高一专题练习）已知集合M 满足
⫋
则集合M 的个数为 ．
变式13.（2023 秋·高一课时练习）已知集合
，
，则满足
条件
的集合C 的个数为 ，满足条件
⫋B 的集合C 的个数为 ．
⫋
【方法技巧与总结】
1.求集合子集、真子集个数的三个步骤
2.集合子集、真子集个数的有关结论
若集合A 中含有n 个元素，集合A 的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n
－2.
（二）根据集合的子集、真子集个数求参数
例4．（2023 秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若集合
有且仅有两个子集，则实数
的值是 .
变式1.．（2023 秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合
的子集只有两个，则
实数
的值为 ．
变式2．（2023 秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知集合
恰有两个非空真子集，
则m 的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数m 的值）
变式3．（2023 秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）集合
．
9
(1)若
是
，求实数
的取值范围
(2)是否存在这样的实数
，使得集合
有且仅有两个子集，若存在，求出实数
及对应的子集，若不存在，
说明理由．
【题型4：判断两个集合是否相等】
例5.（2023·全国·高一专题练习）已知集合
，则与集合
相等的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2023 秋·高一课时练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
变式2.（2023·全国·高一专题练习）下列与集合
表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3.（2023 秋·山西运城·高一校考）下面关于集合的表示正确的序号是 .
①
；
②
；
③
；
④
.
【题型5：根据集合相等关系求参数】
例6.（2024·江苏·高一假期作业）由三个数a，
，1 组成的集合与由
，
，0 组成的集合相等，求
的值．
变式1.（2024 秋·山东济宁·高一月考）已知
，
，若
，则
（ ）
A．0 B．1 C．
D．
10
变式2.（2024·高一课时练习）设
，且
，求实数x，y 的值．
变式3.（2024·江苏·高一假期作业）已知集合
，若
，求实数q 的值．
变式4.（2023 秋·湖北恩施·高一巴东一中校考阶段练习）已知集合
，集合
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求实数
的值；
（3）是否存在实数
，使
.
变式5.（2024 秋·四川·高一眉山第一中学校考）（多选）若集合
，则
的值可能为
（ ）
A．
B．
C．0 D．
【题型6：空集性质及其应用】
例7．（2024·全国·高一假期作业）下列集合中为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.【多选】（2023 秋·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.（2023·全国·高一专题练习）已知六个关系式①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式3.（2023 秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合
为空集，则实数
的取值范围是
.
变式4.（2023 秋·高一校考课时练习）已知空集
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11
变式5.（2024·高一课时练习）若集合
，则实数a 的取值范围 ．
变式6.（2023 秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）关于
的不等式组
的解集为
，
则实数
的取值范围为 ．
【题型7：根据集合的包含关系求参数】
例8：（2023 秋·辽宁大连·高三第二十高级中学校考开学考试）已知集合
，
，
，则实数m 的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
变式1.（2023 秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）若集合
，
，且
，
求实数m 的值.
变式2.（2023 秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合
，
.若
，求实数
的取值范围.
变式3.（2024·高一课时练习）已知集合
，
，若
，求a 的取值
范围．
变式4.（2023 秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）设集合
.
(1)当
时，求
的非空真子集的个数；
(2)若
，求
的取值范围.
变式5.（2024·全国·高一假期作业）已知集合
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围.
变式6.（2024·全国·高一假期作业）已知集合
.
(1)若
，则实数a 的值是多少?
(2)若
，则实数a 的取值范围是多少?
(3)若B⫋A，则实数a 的取值范围是多少?
变式7.（2023 秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知集合
，
，
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
⫋
，求实数
的取值范围.
12
【方法技巧与总结】
根据集合的包含关系求参数
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验
证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非
空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·天津·期末）若集合
，
，则集合B 的真子集个
数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
3．（23-24 高一上·云南昆明·期中）已知集合
，
，集合
满足
，
则所有满足条件的集合
的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合
的差集：
且
，已知集合
，
，则
的子集个数是（ ）个．
A．2
B．4
C．8
D．16
二、多选题
5．（2024 高一上·全国·专题练习）关于下图说法正确的是（ ）
A．集合A 中的元素既是集合B 中的元素也是集合U 中的元素
B．集合A、B、U 中有相同的元素
13
C．集合U 中有元素不在集合B 中
D．集合A、B、U 中的元素相同
6．（22-23 高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．集合
有16 个真子集
B．对于任意集合A，
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集
D．若
，则
7．（23-24 高一上·浙江·阶段练习）已知
，集合
与集合
相等，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（22-23 高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（23-24 高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合
，
，则
下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
或
D．若
，则
或
或
10．（23-24 高一上·山东·期中）已知集合
，且
，则实
数
可能的取值是（ ）
A．
B．0
C．-1
D．
三、填空题
11．（23-24 高二下·安徽·阶段练习）设集合
，则集合
的真子集个数为 ．
12．（2024·重庆·三模）已知集合
，
，则满足
的集合
的个数为 .
四、解答题
13．（22-23 高一·全国·课堂例题）指出下列各组集合之间的关系：
(1)
，
；
(2)
，
；
14
(3)
，
．
14．（24-25 高一上·上海·假期作业）确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：
(1)A={
为12 的正约数}与
；
(2)
与
{
为4 的正整数倍}.
15．（2022 高一上·全国·专题练习）设
，写出集合
的子集，并指出其中
哪些是它的真子集．
16．（2023 高一·江苏·专题练习）已知集合
，
，若BA，求实数
m 的取值范围.
17．（2024 高一上·全国·专题练习）已知集合
．
(1)若
，
为常数，求实数m 的取值范围．
(2)若
，
为常数，求实数m 的取值范围．
(3)若
为常数，是否存在实数m，使得
？若存在，求出m 的值；若不存在，
说明理由．
18．（23-24 高一上·云南昆明·期末）已知集合
．
(1)若
，求实数m 的取值范围；
(2)若AB，求实数m 的取值范围．
19．（23-24 高一上·广东佛山·期末）设集合
(1)若
，试判断集合
与
的关系；
(2)若
，求
的值组成的集合
．
20．（23-24 高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合
，其中
是
关于
的方程
的两个不同的实数根.
(1)若
，求出实数
的值；
(2)若
，求实数
的取值范围.
21．（23-24 高一上·上海嘉定·期中）已知集合
(1)若A 中只有一个元素，求a 的值
(2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围
(3)若
，求a 的取值范围
15
22．（23-24 高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合
.
(1)若
，存在集合
使得
为
的真子集且
为
的真子集，求这样的集合
；
(2)若集合
是集合
的一个子集，求
的取值范围.
23．（23-24 高一上·江苏南通·阶段练习）已知
，对于
，若
且
，则称k 为A
的“孤立元”.给定集合
，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
24．（21-22 高一·全国·课后作业）定义A⊗B＝{z|z＝xy
，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}．
(1)求集合A⊗B 的所有元素之和．
(2)写出集合A⊗B 的所有真子集．
25．（23-24 高一上·上海普陀·期中）已知集合
，集合
，定义
为
中元素的
最小值，当
取遍
的所有非空子集时，对应的
的和记为
，则
.
26．（23-24 高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各
数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各
数.例如
的元素和是
；交替和是
；而
的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合
的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合
，根据提示解决问题.求集合
所有非空子集的元素和的总和；
27．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）
是正整数集的子集，满足：
，并有如
下性质：若
、
，则
，其中
表示不超过实数
的最大整数，则
的非空子集个数
为 ．
28．（2012 高一·全国·竞赛）已知集合
的子集B 满足：对任意
，有
，则
集合B 中元素个数的最大值是（ ）．
A．1005
B．1006
C．1007
D．1008
16
29．（21-22 高一上·河南·阶段练习）定义：
表示集合
中元素的个数，
.已
知集合
，集合
，集合
，若
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
且
