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专题07 不等式
（新课标全国Ⅰ卷）1．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由题意可知：
，
对于选项A：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，
1
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可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，
且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
（全国乙卷数学（文）(理)）2．若x，y 满足约束条件
，则
的最大值为______.
【答案】8
【详解】作出可行域如下图所示：
，移项得
，
联立有
，解得
，
设
，显然平移直线
使其经过点
，此时截距
最小，则最大，
代入得
，
故答案为：8.
（全国甲卷数学（文）（理））3．已知
.
(1)求不等式
的解集；
(2)在直角坐标系
中，求不等式组
所确定的平面区域的面积.
【答案】(1)
；
(2)8.
2
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【详解】（1）依题意，
，
不等式
化为：
或
或
，
解
，得无解；解
，得
，解
，得
，因此
，
所以原不等式的解集为：
（2）作出不等式组
表示的平面区域，如图中阴影
，
由
，解得
，由
, 解得
，又
，
所以
的面积
.
（全国甲卷数学（文）（理））4．执行下边的程序框图，则输出的
（ ）
3
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A．21
B．34
C．55
D．89
【答案】B
【详解】当
时，判断框条件满足，第一次执行循环体，
，
，
；
当
时，判断框条件满足，第二次执行循环体，
，
，
；
当
时，判断框条件满足，第三次执行循环体，
，
，
；
当
时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出
．
故选：B.
（全国甲卷数学（文）（理））5．设x，y 满足约束条件
，设
，则z 的最大值为
____________．
【答案】15
【详解】作出可行域，如图，
由图可知，当目标函数
过点
时，有最大值，
4
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由
可得
，即
,
所以
.
故答案为：15
（全国甲卷数学（文）（理））6．已知
．
(1)求不等式
的解集；
(2)若曲线
与坐标轴所围成的图形的面积为2，求
．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若
,则
,
即
,解得
,即
,
若
,则
,
解得
,即
,
综上,不等式的解集为
.
（2）
.
画出
的草图,则
与坐标轴围成
与
的高为
,所以
所以
,解得
（新高考天津卷）7．若
，则
的大小关系为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
在R 上递增，则
，
由
在
上递增，则
.
所以
.
故选：D
一、单选题
1．（2023·河南开封·统考三模）若实数
，
满足约束条件
，则
的最大值为（ ）
A．5
B．9
C．10
D．12
【答案】C
【详解】由题意画出可行域，如图所示，由图可知
在点A 处取到最大值，
因为此处的直线的截距最大，
联立
，可得
，即
，
所以
的最大值为10.
故选:C.
2．（2023·河南驻马店·统考三模）已知
，
，
：
，
：
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：因为
，
，
：
即
，即
，则
，
6
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而
：
，
所以，
是
的充分不必要条件，
故选：
.
3．（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可得，
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时，取得等号，
故选:C.
4．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）已知
分别为
上的奇函数和偶函数，且
，
，
，
，则
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，用
代替
，
，
根据
分别为
上的奇函数和偶函数，于是
，
结合
可得
.
故
，设
，则
，
根据基本不等式和余弦函数的范围，
，
，
于是
，则
在
上单调递增，注意到
，于是
时
，
递增.
由于
是偶函数，根据对数的性质，
，
，
7
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于是
，
，
，故只需要
比较
的大小.
由
，
，
根据基本不等式，
，故
.
由于
时
，
递增可知，
，结合
是偶函数可得，
，即
.
故选：C
5．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）实数a，b 满足
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】取
,满足
,但
,所以A 错误；
取
,满足
,但
，所以B 错误；
若
，则
,
,所以C 正确；
取
,则
,所以D 错误.
故选:C.
6．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）若
，则
的最小值是 （ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】C
【详解】
，当且仅当
时取等号，
因此
，即
，解得
，
8
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所以当
时，
取得最小值2.
故选：C
7．（2023·天津滨海新·统考三模）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【详解】由
知
,
结合
，以及换底公式可知，
，
当且仅当，
，
即
时等号成立，
即
时等号成立，
故
的最小值为，
故选：B.
二、多选题
8．（2023·浙江·统考模拟预测）已知
，则下列选项中能使
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】对于A，由
可得
，A 错误，
对于B，由
可得
，B 错误，
对于C，由
可得
，C 错误，
对于D，由
可得
，D 正确，
9
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故选：BD.
9．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知
，满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由
，得
，
当且仅当
时等号成立，A 正确；
对于B，由
，得
且
，
令
，则
，
解得
，
解得
，
得
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
，B 正确；
对于C，当
时，满足
，
，C 错误；
对于D，
，D 正确.
故选：ABD.
10．（2023·山东烟台·统考三模）已知
且
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为2
C．
的最小值为6
D．
的最小值为4
【答案】BC
【详解】对于A，因为
，所以
，当且仅当
时，等号成立，故
错误；
对于B，因为
，所以
，
即
，
，当且仅当
时，等号成立，故B 正确；
对于C，由
得
，所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故C 正确；
对于D，令
，则
，所以
的最小值不是4，D 错误.
10
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故选：BC.
11．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知，
是函数
与
的图像的两条公切
线，记的倾斜角为
，
的倾斜角为
，且，
的夹角为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．与
的交点可能在第三象限
【答案】ABC
【详解】如图，因为
与
互为反函数，
故两函数的图象关于直线
对称，则，
关于
对称，
故
，
，故A 正确；
由题意，
，
均为锐角，
，
，
，
当且仅当
，即
时取等号，故B 正确；
设与两个函数图象分别切于
，
两点，与
交于Q，
，则
，
即
，解得
或
（舍去），
故
，
对于
，则
，令
，解得
，所以切点为
，
所以曲线
的斜率为
的切线方程为
，
故曲线
的斜率为
的切线方程为
，
同理可得
的斜率为
的切线方程为
，
故曲线
的斜率为
的切线方程为
，
所以
，则
，则
，故C 正确；
由图可知点
必在第一象限，故D 错误.
11
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故选：ABC.
12．（2023·重庆·统考三模）已知
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的取值范围是
B．
的取值范围是
C．
的最小值是
D．
的最小值是3
【答案】BC
【详解】对于A，因为
，
，
所以
，当且仅当
时取等号，
由
，
即
，解得
，
即
，A 错误；
对于B， 由
，
,
，
当且仅当
时取等号，
得
，
所以
,
又
，
所以
，即
，
故B 正确；
对C 选项，因为
，
,
，
得
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，C 正确，
对于D, C 选项知：
，
12
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则
，
当且仅当
，即
时等号成立,但
，
所以
．（等号取不到）,故D 错误；
故选：BC.
三、填空题
13．（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数
满足
，则
的最大值为___________.
【答案】5
【详解】不等式组表示的可行域如图所示，为
及其内部的阴影区域，且
，
令
，则
，当直线
经过点
时，取得最大值5.
故答案为：5
14．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知
，则
的最大值为___________
【答案】2
【详解】不等式组所表示的阴影部分如图所示，
因为
与y 轴的交点为
，
所以当直线
平移至点
时，
取得最大值为2.
13
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故答案为：2.
15．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数
的零点为
，函数
的零点为
，给出以下三个结论：①
；②
；③
.其中所
有正确结论的序号为________.
【答案】①③
【详解】由题意得
，则
，
即
和
为
的零点；
而
在R 上单调递增，且
，
在R 上有且仅有一个零点，
，
又
，①正确；
又
，
而
在
上单调递增，
，②错误；
，
，
则
，
而
，故
，即
，③正确.
综上，所有正确结论的序号为①③，
故答案为：①③
16．（2023·河南驻马店·统考三模）已知实数
满足
，则
的最大值为
______________．
【答案】1
【详解】根据已知画出可行域(如图所示阴影部分)，
移动直线
，
当直线经过点A 时，
最小，即最大，
对直线
，令
，则
，即
，
故此时
．
14
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故答案为：
17．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知正实数m，n，满足
，则
的最小值为____________.
【答案】
【详解】
，构造函数
，则
，
即
在
上单调递增，
则
.则
，
当且仅当
，即
时取等号.
故答案为：
.
四、解答题
18．（2023·河南开封·统考三模）已知
，
，函数
的最小值为2.
(1)求
的值；
(2)求证：
.
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为
，
所以
；
（2）证明：要证
，
15
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即证
，即证
，
又
，且
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，即得证.
19．（2023·河南驻马店·统考三模）已知关于x 的不等式
对任意实数x 恒成立.
(1)求满足条件的实数a，b 的所有值；
(2)若
对
恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时,不等式化为
,,
所以
,①
当
时,同理可得
,②
联立①和②，解得
.
而
时,原不等式为
显然恒成立,所以
.
（2）由（1）知
,
所以
,
因为
,所以
,所以
在
上恒成立.
令
,则
.
因为
,
当且仅当
,即
时等号成立,所以
,
所以
,即实数
的取值范围为
.
20．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数
．
(1)求不等式
的解集
；
16
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(2)记（1）中集合M 中最大的整数为t，若正数a，b，c 满足
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由函数
因为
，所以
，
当
时，
，此时x 无解；
当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
．
综上所述，不等式
的解集
．
（2）解：由（1）可知
，即
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
17
