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重难点专题15 平面直角坐标系中的旋转问题
重难点一 绕原点旋转90°问题
1. 熟记原点旋转坐标万能公式，点P(x, y)绕原点旋转：
① 顺时针旋转90°：P′(y,−x)
② 逆时针旋转90°：P′(−y, x)
2.直接套用公式替换坐标，无需画图推导；
3.图形旋转只需将所有顶点坐标依次变换，再顺次连线即可，旋转前后线段长度、图形面积保持不变。
1．若点𝐴(−2,5)绕原点O 逆时针旋转90°，点A 的对应点的坐标是（ ）
A．(−2, −5)
B．(−5, −2)
C．(5,−2)
D．(2,−5)
2．如图，在平面直角坐标系中，点𝐴(−2,3)，将Rt △𝑂𝐴𝐵绕点𝑂顺时针旋转90°到Rt △𝑂𝐶𝐷位置，则点𝐶坐
标为（ ）
A．(−3, −2)
B．(−2,3)
C．(2,3)
D．(3,2)
3．如图，在平面直角坐标系中，将点𝑀，𝑁，𝑃，𝑄绕点𝑂顺时针旋转90°后，能与点𝐴，𝐵，𝑂组成平行四
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边形的是（ ）
A．点𝑀
B．点𝑁
C．点𝑃
D．点𝑄
4．如图，在平面直角坐标系中，将△𝑂𝐴𝐵绕原点O 顺时针旋转90°，得到△𝑂𝐴′𝐵′，则直线𝑂𝐴′的表达式
为（ ）
A．y=3x
B．y=﹣3x
C．y=
1
3x
D．y=﹣
1
3x
5．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，𝐴, 𝐵两点的坐标分别为(−3,2), (−1,4)，线段𝐴𝐵绕原点
𝑂(0,0)按顺时针方向旋转后得到线段𝐴′𝐵′．若点A 的对应点𝐴′的坐标为(2,3)，则点B 的对应点𝐵′的坐标为
________________．
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6．将点（3，4）绕坐标原点O 逆时针旋转90 度后坐标为______．
7．已知△𝑂𝐴𝐵在平面直角坐标系中，𝐴(2,0)，𝐵(4,2)，将△𝑂𝐴𝐵绕点𝑂逆时针旋转90°得到△𝑂𝐶𝐷，连接
𝐶𝐴交𝑂𝐵于点𝐸，将点𝐸向左平移2 个单位长度得到点𝐸′，则点𝐸′的坐标为_____．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐵= 15°，OA=2，
将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°，点B 的对应点B′的坐标是 ___________．
重难点二 绕任意一点（非原点）旋转90°问题
通用三步解题法：
1. 平移坐标：将旋转中心(a, b)平移至原点，求相对坐标Δx = x −a，Δy = y −b；
2. 旋转变换：相对坐标按90°旋转公式变换（顺：(Δy,−Δx)，逆：(−Δy,Δx)）；
3. 还原坐标：新坐标(a + Δx′, b + Δy′)。
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核心原理：平移不改变旋转角度与图形形状，规避非原点旋转画图易错问题。
1．如图，在平面直角坐标系中𝐴(1,0)，𝐶(2,3)，将𝐴𝐶绕点A 顺时针旋转90°，则点C 的对应点𝐶′的坐标是
（ ）
A．(3,−1)
B．(4,−1)
C．(1,−4)
D．(−4,1)
2．如图，在平面直角坐标系中，点𝐶的坐标为(−1，0)，点𝐴的坐标为(−3，3)，将点𝐴绕点𝐶顺时针旋转
90°得到点𝐵，则点𝐵的坐标为（ ）
A．(2,3)
B．(2,2)
C．(3,2)
D．(3,3)
3．如图，将△ABC 先向上平移1 个单位，再绕点P 按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A 与点A′
的距离是（ ）
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A．3√3
B．√29
C．27
D．25
4．如图，正方形OABC 的两边OA，OC 分别在x 轴、y 轴上，点D（5，3）在边AB 上，以点C 为旋转中
心，把△CDB 逆时针旋转90°，则旋转后点D 的对应点D′的坐标是（ ）
A．（－2，0）
B．（2，10）
C．（3，10）
D．（－5，7）
5．如图，在平面直角坐标系中，点𝐴的坐标为(0,3)，点𝐵的坐标为(4,0)，连接𝐴𝐵，若将△𝐴𝐵𝑂绕点𝐵顺时
针旋转90°，得到△𝐴′𝐵𝑂′，则点𝐴′的坐标为_______．
6．如图，点A 的坐标为(0,1)，点𝐵是𝑥轴正半轴上的一点，将线段𝐴𝐵绕点A 按逆时针方向旋转90°得到线
段𝐴𝐶.若点𝐶的坐标为(𝑚, 5)，则𝐵点的坐标为______ ．
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重难点三 求绕原点旋转一定角度的点的坐标
1. 适用任意角度α旋转，通用坐标公式：点P(x,y)绕原点逆时针旋转α，得P′(xcosα −ysin α，xsin α +
ycos α)
2.特殊角度（180°、270°）可记简化结论，180°旋转：P′(−x, −y)；
3.无特殊角度时，结合三角函数代入公式计算，始终保持点到原点距离不变OP = OP′。
1．将含有30°角的直角三角板𝑂𝐴𝐵如图放置在平面直角坐标系中，𝑂𝐵在𝑥轴上，若𝑂𝐴= 2，将三角板绕原
点𝑂顺时针旋转75°，则点𝐴的对应点𝐴′的坐标为（ ）
A．(√3,−1)
B．(−1, √3)
C．(√2, −√2)
D．(−√2, √2)
2．如图，把图中的△𝐴𝐵𝐶经过一定的变换得到△𝐴′𝐵′𝐶′，如果图中△𝐴𝐵𝐶上的点𝑃的坐标为(𝑎, 𝑏)，那么它
的对应点𝑃′的坐标为（ ）
A．(𝑎−2, 𝑏)
B．(𝑎+ 2, 𝑏)
C．(−𝑎−2, −𝑏)
D．(𝑎+ 2, −𝑏)
3．如图，△𝐴𝐵𝐶在直角坐标系中的位置如图所示，点A 的坐标为（1,2），若将△𝐴𝐵𝐶绕点O 旋转，点C
的对应点为点D，则旋转后点A 的对应点的坐标为（ ）
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A．(2, −1)
B．(0,−1)
C．(1,−3)
D．(−1,2)
4．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知∠𝐴𝑂𝐵= 90°,∠𝐴𝐵𝑂= 30°，点A 的坐标是
(−1,0)，若把直角三角板绕坐标原点O 顺时针旋转60°，则点B 的对应点的坐标是（ ）
A．(√3
2 ,
3
2)
B．(
3
2 , √3
2 )
C．(−√3
2 ,
3
2)
D．(−
3
2 , √3
2 )
5．如图，正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边长为√2，将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕原点𝑂顺时针旋转45°，则点𝐵的对应点𝐵1的坐标为
_______________．
6．如图，已知点A 的坐标为(√3, 1)，将线段𝑂𝐴绕原点O 顺时针旋转150°得点A′，则此时点A′的坐标为
_____________．
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7．如图，在平面直角坐标系中，点𝐴(0,3)，𝐵(4,0)，将线段𝐴𝐵绕点B 顺时针旋转135°，则点A 的对应点
C 的纵坐标是______________________．
8．如图，在直角坐标系中，边长为2 个单位长度的正方形𝐴𝐵𝐶𝑂绕原点O 逆时针旋转75°，则点𝐵″的坐标
为 ____________________．
9．如图，平行四边形OABC 的顶点𝑂(0,0)，𝐴(1,2)，点C 在x 轴的正半轴上，延长BA 交y 轴于点D．将
△ODA 绕点O 顺时针旋转得到△𝑂𝐷′𝐴′，当点D 的对应点𝐷′落在OA 上时，𝐷′𝐴′的延长线恰好经过点C，
则点C 的坐标为______．
重难点四 坐标系中的旋转规律问题
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1. 找周期：坐标多次旋转会出现周期性循环，常见周期为4（90°旋转）、2（180°旋转）；
2. 算余数：用总旋转次数÷周期数，根据余数判定最终位置，余数为0 对应周期最后一个位置；
3. 用性质：旋转周期内，点的横纵坐标符号、正负变化、象限位置呈固定规律，结合原点旋转公式快速
推导，无需逐次画图计算。
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵在x 轴上，点𝐵(3,0)，点𝐷(1,2)，将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷绕
点A 逆时针旋转，每次旋转90°，当第2023次旋转结束时，点C 的坐标是（ ）
A．(−1,−2)
B．(−1,2)
C．(2,−3)
D．(3,−2)
2．如图，在直角坐标系中，已知点𝐴(−3,0)，𝐵(0,4)，对△𝑂𝐴𝐵连续作旋转变换，依次旋转变换，依次得
到三角形(1)(2)(3)(4)……，对连续作旋转变换，依次得到三角形(2019)的直角顶点的坐标为（ ）
A．(8076，3)
B．(8076，0)
C．(8073，4)
D．(8068，
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5 )
3．如图，在平面直角坐标系中，将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1，依此方
式，绕点O 连续旋转2025 次后得到正方形𝑂𝐴2025𝐵2025𝐶2025，如果点A 的坐标为(1,0)，那么点𝐵2025的坐
标为（ ）
A．(1,1)
B．(−1,1)
C．(√2, 0)
D．(0,√2)
4．如图，矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点为𝑂(0，0)，𝐴𝐶= 4，𝐵𝑂与x 轴正半轴的夹角为45°，若矩形绕点O 顺时针旋
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转，每秒旋转45°，则第2023 秒时，矩形的对角线交点D 的坐标为（ ）
A．(√2，−√2) B．(2，0)
C．(0，4)
D．(0，2)
5．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，第一次将△𝐴𝐵𝐶作原点的中心对称图形得到△𝐴1𝐵1𝐶1，第二次在作△
𝐴1𝐵1𝐶1关于x 轴的对称图形得到△𝐴2𝐵2𝐶2，第三次△𝐴2𝐵2𝐶2作原点的中心对称图形得到△𝐴3𝐵3𝐶3，第四
次再作△𝐴3𝐵3𝐶3关于x 轴的对称图形得到△𝐴4𝐵4𝐶4，按照此规律作图形的变换，可以得到△
𝐴2022𝐵2022𝐶2022的图形，若点𝐶(3,2)，则𝐶2022的坐标为( )
A．(3, −2)
B．(3,2)
C．(−3,2)
D．(−3,−2)
6．我们规定：在平面直角坐标系中，设点𝑃到原点的距离为𝜌（希腊字母读作“柔”），𝑂𝑃从𝑥轴的正半轴出
发绕点𝑂逆时针旋转𝛼度角，用[𝜌, 𝛼]表示点𝑃的雷达坐标，则点𝑃(−1,1)的雷达坐标为________．
30．如图，在平面直角坐标系中，第1 次将边长为1 的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后，得到正方
形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1；第2 次将正方形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1绕点O 逆时针旋转45°后，得到正方形𝑂𝐴2𝐵2𝐶2；…按此规律，绕点
O 旋转得到正方形𝑂𝐴2022𝐵2022𝐶2022，则点𝐵2022的坐标为 _____．
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7．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠𝐴= 90°，点O 为坐标原点，点B 在x 轴上，点
A 的坐是（1，1）．若将△𝑂𝐴𝐵绕点O 顺时针方向依次旋转45°后得到△𝑂𝐴1𝐵1，△𝑂𝐴2𝐵2，△
𝑂𝐴3𝐵3，…，可得𝐴1(√2,0)，𝐴2(1,−1)，𝐴3(0,−√2)，…，则𝐴2022的坐标是______．
8．在平面直角坐标系中，等边△𝐴𝑂𝐵如图放置，点𝐴的坐标为(1,0)，每一次将△𝐴𝑂𝐵绕着点𝑂逆时针方向
旋转60°，同时每边扩大为原来的2 倍，第一次旋转后得到△𝐴1𝑂𝐵1，第二次旋转后得到△𝐴2𝑂𝐵2. ..，依次
类推，则点𝐴2026的坐标为_______．
9．如图，在平面直角坐标系中，将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕点O 顺时针旋转45°后，得到正方形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1，以此方
式，绕点O 连续旋转2025 次得到正方形𝑂𝐴2025𝐵2025𝐶2025．如果点C 坐标为(0,2)，那么点𝐵2025的坐标为
______．
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