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重难点专题15 平面直角坐标系中的旋转问题
重难点一 绕原点旋转90°问题
1. 熟记原点旋转坐标万能公式，点P(x, y)绕原点旋转：
① 顺时针旋转90°：P′(y,−x)
② 逆时针旋转90°：P′(−y, x)
2.直接套用公式替换坐标，无需画图推导；
3.图形旋转只需将所有顶点坐标依次变换，再顺次连线即可，旋转前后线段长度、图形面积保持不变。
1．若点𝐴(−2,5)绕原点O 逆时针旋转90°，点A 的对应点的坐标是（ ）
A．(−2, −5)
B．(−5, −2)
C．(5,−2)
D．(2,−5)
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，根据点绕原点逆时针旋转90°，坐标变换规则为(𝑥, 𝑦) →(−𝑦, 𝑥)
求解即可．
【详解】解：∵点𝐴(−2,5)绕原点O 逆时针旋转90°，
∴对应点的坐标为(−5,−2)．
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，点𝐴(−2,3)，将Rt △𝑂𝐴𝐵绕点𝑂顺时针旋转90°到Rt △𝑂𝐶𝐷位置，则点𝐶坐
标为（ ）
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A．(−3, −2)
B．(−2,3)
C．(2,3)
D．(3,2)
【答案】D
【分析】本题主要考查了旋转的性质，平面直角坐标系内点的坐标，
根据点𝐴(−2,3)可知𝑂𝐵= 3, 𝐴𝐵= 2，再结合旋转的性质得𝑂𝐷= 𝑂𝐵= 3, 𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 2，然后根据点C 在
第一象限得出答案．
【详解】解：∵点𝐴(−2,3)，
∴𝑂𝐵= 3, 𝐴𝐵= 2，
由旋转的性质得𝑂𝐷= 𝑂𝐵= 3, 𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 2，
∴点𝐶(3,2)．
故选：D.
3．如图，在平面直角坐标系中，将点𝑀，𝑁，𝑃，𝑄绕点𝑂顺时针旋转90°后，能与点𝐴，𝐵，𝑂组成平行四
边形的是（ ）
A．点𝑀
B．点𝑁
C．点𝑃
D．点𝑄
【答案】D
【分析】首先根据平面直角坐标系确定点𝐴, 𝐵, 𝑂的坐标，利用平行四边形的性质求出能与𝐴, 𝐵, 𝑂组成平行
四边形的第四个顶点的坐标；然后分别求出点𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄绕点𝑂顺时针旋转90∘后的坐标，进行比对即可得出
答案．
【详解】解：由图可知，𝑂(0,0)，𝐴(−3,0)，𝐵(−1,3)．
设能与点𝐴, 𝐵, 𝑂组成平行四边形的点为𝐷(𝑥, 𝑦)．
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根据平行四边形的性质，分三种情况讨论：
当𝐴𝐵为对角线时，𝑥𝐴+ 𝑥𝐵= 𝑥𝑂+ 𝑥𝐷，𝑦𝐴+ 𝑦𝐵= 𝑦𝑂+ 𝑦𝐷，即−3 + (−1) = 0 + 𝑥，0 + 3 = 0 + 𝑦，解得
𝑥= −4, 𝑦= 3，即𝐷1(−4,3)；
当𝐴𝑂为对角线时，𝑥𝐴+ 𝑥𝑂= 𝑥𝐵+ 𝑥𝐷，𝑦𝐴+ 𝑦𝑂= 𝑦𝐵+ 𝑦𝐷，即−3 + 0 = −1 + 𝑥，0 + 0 = 3 + 𝑦，解得𝑥=
−2,𝑦= −3，即𝐷2(−2, −3)；
当𝐵𝑂为对角线时，𝑥𝐵+ 𝑥𝑂= 𝑥𝐴+ 𝑥𝐷，𝑦𝐵+ 𝑦𝑂= 𝑦𝐴+ 𝑦𝐷，即−1 + 0 = −3 + 𝑥，3 + 0 = 0 + 𝑦，解得𝑥=
2, 𝑦= 3，即𝐷3(2,3)．
综上，点𝐷的坐标可能为(−4,3)或(−2,−3)或(2,3)．
由图可知，𝑀(−2, −2)，𝑁(−1,−3)，𝑃(2, −3)，𝑄(3,−2)．
将各点绕点𝑂顺时针旋转90∘，可得点𝑀旋转后坐标为(−2,2)；
点𝑁旋转后坐标为(−3,1)；
点𝑃旋转后坐标为(−3, −2)；
点𝑄旋转后坐标为(−2, −3)．
对比可知，点𝑄旋转后的坐标(−2,−3)与𝐷2重合，能与点𝐴, 𝐵, 𝑂组成平行四边形．
4．如图，在平面直角坐标系中，将△𝑂𝐴𝐵绕原点O 顺时针旋转90°，得到△𝑂𝐴′𝐵′，则直线𝑂𝐴′的表达式
为（ ）
A．y=3x
B．y=﹣3x
C．y=
1
3x
D．y=﹣
1
3x
【答案】C
【分析】由题意得，点𝐴′的坐标为（3，1），设直线OA 表达式为𝑦= 𝑘𝑥, (𝑘≠0)，将点𝐴′(3,1)代入得，计
算得𝑘=
1
3，即可得．
【详解】解：如图所示，
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点𝐴′的坐标为（3，1），
设直线OA 表达式为𝑦= 𝑘𝑥, (𝑘≠0)，将点𝐴′(3,1)代入得，
1 = 3𝑘，
解得，𝑘=
1
3，
∴直线𝑂𝐴′的函数解析式为𝑦=
1
3 𝑥，
故选C．
【点睛】本题考查了点与坐标，一次函数，解题的关键是掌握点与坐标和一次函数的性质．
5．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，𝐴, 𝐵两点的坐标分别为(−3,2), (−1,4)，线段𝐴𝐵绕原点
𝑂(0,0)按顺时针方向旋转后得到线段𝐴′𝐵′．若点A 的对应点𝐴′的坐标为(2,3)，则点B 的对应点𝐵′的坐标为
________________．
【答案】(4,1)
【分析】本题考查坐标与图形变化−−旋转，根据题意画出旋转后的线段即可解决问题，能根据题意画出旋
转后的图形是解题的关键．
【详解】解：∵线段𝐴𝐵绕原点𝑂按顺时针方向旋转后，点𝐴的对应点是点𝐴′(2,3)，
∴线段𝐴𝐵绕原点𝑂按顺时针方向旋转90°后得到线段𝐴′𝐵′，如图所示：
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根据图形可知：点𝐵的对应点𝐵′的坐标是(4,1)．
故答案为：(4,1)．
6．将点（3，4）绕坐标原点O 逆时针旋转90 度后坐标为______．
【答案】（-4，3）
【分析】首先根据题意作出图形，根据图形即可求得答案．
【详解】解：如图：将点（3，4）绕坐标原点O 逆时针旋转90 度后坐标为；（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
【点睛】此题考查了旋转中坐标与图形的变化．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．已知△𝑂𝐴𝐵在平面直角坐标系中，𝐴(2,0)，𝐵(4,2)，将△𝑂𝐴𝐵绕点𝑂逆时针旋转90°得到△𝑂𝐶𝐷，连接
𝐶𝐴交𝑂𝐵于点𝐸，将点𝐸向左平移2 个单位长度得到点𝐸′，则点𝐸′的坐标为_____．
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【答案】(−
2
3 ,
2
3)
【详解】解：由旋转的性质可知：𝐶(0,2)，
设直线𝑂𝐵的函数解析式为𝑦𝑂𝐵= 𝑚𝑥，
把𝐵(4,2)代入得4𝑚= 2，解得𝑚=
1
2，
∴直线𝑂𝐵的函数解析式为𝑦𝑂𝐵=
1
2 𝑥
设直线𝐴𝐶的函数解析式为𝑦𝐴𝐶= 𝑘𝑥+ 𝑏，
把𝐴(2,0)，𝐶(0,2)代入得{2𝑘+ 𝑏= 0
𝑏= 2
，
解得{𝑘= −1
𝑏= 2
，
∴直线𝐴𝐶的函数解析式为𝑦𝐴𝐶= −𝑥+ 2，
联立{
𝑦=
1
2 𝑥
𝑦= −𝑥+ 2
，解得{
𝑥=
4
3
𝑦=
2
3
，
∴𝐸(
4
3 ,
2
3)，
∵将点𝐸向左平移2 个单位长度得到点𝐸′，
∴𝐸′ (−
2
3 ,
2
3)．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐵= 15°，OA=2，
将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°，点B 的对应点B′的坐标是 ___________．
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【答案】（1,−2 −√3）
【分析】过点𝐵'作𝐵′𝐻⊥𝑂𝐴′于H．根据在含30° 角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
的性质求出𝑂𝐻，𝐻𝐵′ 即可得结论．
【详解】解：如图，过点𝐵'作𝐵′𝐻⊥𝑂𝐴′于H．
∵ ∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐵= 15°
∴ 𝑂𝐴= 𝐴𝐵= 2
∵ Δ𝐴′𝑂𝐵′ 是Δ𝐴𝑂𝐵绕点O 顺时针旋转90°所得
∴ Δ𝐴′𝑂𝐵′ ≅Δ𝐴𝑂𝐵
∴ 𝑂𝐴′ = 𝐴′𝐵′ = 𝑂𝐴= 2，∠𝐴′𝑂𝐵′ = ∠𝐴′𝐵′𝑂= ∠𝐵= 15°，
∴ ∠𝐻𝐴′𝐵′ = ∠𝐴′𝑂𝐻+ ∠𝐴′𝐵′𝑂= 30°，
∴ 𝐻𝐵′ =
1
2 𝐴′𝐵′ = 1，𝐴′𝐻= √3，
∴ 𝑂𝐻= 𝑂𝐴′ + 𝐴′𝐻= 2 + √3，
∴B′（1,−2 −√3），
故答案为：（1, −2 −√3）．
重难点二 绕任意一点（非原点）旋转90°问题
通用三步解题法：
1. 平移坐标：将旋转中心(a, b)平移至原点，求相对坐标Δx = x −a，Δy = y −b；
2. 旋转变换：相对坐标按90°旋转公式变换（顺：(Δy,−Δx)，逆：(−Δy,Δx)）；
3. 还原坐标：新坐标(a + Δx′, b + Δy′)。
核心原理：平移不改变旋转角度与图形形状，规避非原点旋转画图易错问题。
1．如图，在平面直角坐标系中𝐴(1,0)，𝐶(2,3)，将𝐴𝐶绕点A 顺时针旋转90°，则点C 的对应点𝐶′的坐标是
（ ）
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A．(3,−1)
B．(4,−1)
C．(1,−4)
D．(−4,1)
【答案】B．
【详解】解：如图，观察图象，点C 的对应点𝐶′的坐标是(4, −1)
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，点𝐶的坐标为(−1，0)，点𝐴的坐标为(−3，3)，将点𝐴绕点𝐶顺时针旋转
90°得到点𝐵，则点𝐵的坐标为（ ）
A．(2,3)
B．(2,2)
C．(3,2)
D．(3,3)
【答案】B
【详解】解：如图所示，点𝐴绕点𝐶顺时针旋转90°得到点𝐵，
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过点A 作x 轴垂线，垂足为D，过点B 作x 轴垂线，垂足为E，
∵点𝐶的坐标为(−1，0)，点𝐴的坐标为(−3，3)，
∴𝐶𝐷= 2，𝐴𝐷= 3，
根据旋转的性质，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐸= 90°，
∵∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸= 3，𝐶𝐷= 𝐵𝐸= 2，
∴𝑂𝐸= 2，𝐵𝐸= 2，
∴点𝐵的坐标为(2，2)．
故选：B．
3．如图，将△ABC 先向上平移1 个单位，再绕点P 按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A 与点A′
的距离是（ ）
A．3√3
B．√29
C．27
D．25
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【答案】B
【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC 先向上平移1 个单位，再绕点P 按逆时针方向旋转90°，得到
△A′B′C′，即可得点A 的对应点A′的坐标，再利用两点的距离公式求出𝐴𝐴′长度即可．
【详解】解：根据平移和旋转的性质可得△A′B′C′，如图，
则点A(4，2)的对应点A′的坐标是(-1，4)．
∴𝐴𝐴′ = √(−1 −4)2 + (4 −2)2 = √29．
故选：B．
4．如图，正方形OABC 的两边OA，OC 分别在x 轴、y 轴上，点D（5，3）在边AB 上，以点C 为旋转中
心，把△CDB 逆时针旋转90°，则旋转后点D 的对应点D′的坐标是（ ）
A．（－2，0）
B．（2，10）
C．（3，10）
D．（－5，7）
【答案】B
【分析】画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知B′D′和B′C 的长，由此判断点D′的坐标．
【详解】解：如图，△CDB 绕点C 逆时针旋转90°后得△CD′B′，
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∴B′D′=BD，B′C=BC，
∵四边形OABC 是正方形，D（5，3），
∴BC=5，BD=2，
∴B′O=B′C+CO=10，B′D′=2，
∴点D′的坐标为（2，10）．
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，点𝐴的坐标为(0,3)，点𝐵的坐标为(4,0)，连接𝐴𝐵，若将△𝐴𝐵𝑂绕点𝐵顺时
针旋转90°，得到△𝐴′𝐵𝑂′，则点𝐴′的坐标为_______．
【答案】(7,4)
【分析】作𝐴′𝐶⊥𝑥轴于点𝐶，由旋转的性质可得𝐵𝐶= 𝐴′𝑂′ = 𝑂𝐴= 3，𝐴′𝐶= 𝑂′𝐵= 𝑂𝐵= 4，进而求解．
【详解】解：过𝐴′作𝐴′𝐶⊥𝑥轴于点𝐶，
由旋转可得∠𝑂′ = 90°，𝑂′𝐵⊥𝑥轴，
∴四边形𝑂′𝐵𝐶𝐴′为矩形，
∴𝐵𝐶= 𝐴′𝑂′ = 𝑂𝐴= 3，𝐴′𝐶= 𝑂′𝐵= 𝑂𝐵= 4，
∴𝑂𝐶= 𝑂𝐵+ 𝐵𝐶= 7，
∴点𝐴′坐标为(7,4)．
6．如图，点A 的坐标为(0,1)，点𝐵是𝑥轴正半轴上的一点，将线段𝐴𝐵绕点A 按逆时针方向旋转90°得到线
段𝐴𝐶.若点𝐶的坐标为(𝑚, 5)，则𝐵点的坐标为______ ．
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【答案】(4,0)
【分析】过𝐶作𝐶𝐷⊥𝑦轴于点𝐷，通过证得△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝐷𝐴(AAS)，得出𝑂𝐴= 𝐶𝐷= 1，𝑂𝐵= 𝐴𝐷= 4，可
得点𝐵的坐标，
【详解】解：过𝐶作𝐶𝐷⊥𝑦轴于点𝐷，如图：
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐶𝐴𝐷= 90°，
∵∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝑂，
∵∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝐷𝐴= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝐷𝐴(AAS)，
∵𝑂𝐴= 𝐶𝐷，𝑂𝐵= 𝐴𝐷，
∵点A 的坐标为(0,1)，点𝐶的坐标为(𝑚, 5)，
∴𝑂𝐴= 1，𝐴𝐷= 5 −1 = 4，
∴𝑂𝐵= 4，
∴𝐵(4,0)，
故答案为：(4,0)．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造全等三角形解决问题．
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重难点三 求绕原点旋转一定角度的点的坐标
1. 适用任意角度α旋转，通用坐标公式：点P(x,y)绕原点逆时针旋转α，得P′(xcosα −ysin α，xsin α +
ycos α)
2.特殊角度（180°、270°）可记简化结论，180°旋转：P′(−x, −y)；
3.无特殊角度时，结合三角函数代入公式计算，始终保持点到原点距离不变OP = OP′。
1．将含有30°角的直角三角板𝑂𝐴𝐵如图放置在平面直角坐标系中，𝑂𝐵在𝑥轴上，若𝑂𝐴= 2，将三角板绕原
点𝑂顺时针旋转75°，则点𝐴的对应点𝐴′的坐标为（ ）
A．(√3,−1)
B．(−1, √3)
C．(√2, −√2)
D．(−√2, √2)
【答案】C
【详解】如图，
∵三角板绕原点𝑂顺时针旋转75°，
∴旋转后𝑂𝐴与𝑦轴夹角为45°，
∵𝑂𝐴= 2，
∴ 𝑂𝐴′ = 2，
∴点𝐴′的横坐标为2 × √2
2 = √2，
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纵坐标为−2 × √2
2 = − √2，
所以，点𝐴′的坐标为(√2,−√2)．
故选：C．
2．如图，把图中的△𝐴𝐵𝐶经过一定的变换得到△𝐴′𝐵′𝐶′，如果图中△𝐴𝐵𝐶上的点𝑃的坐标为(𝑎, 𝑏)，那么它
的对应点𝑃′的坐标为（ ）
A．(𝑎−2, 𝑏)
B．(𝑎+ 2, 𝑏)
C．(−𝑎−2, −𝑏)
D．(𝑎+ 2, −𝑏)
【答案】C
【详解】解：由图可知，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于点(−1,0)成中心对称，
设点𝑃′的坐标为(𝑥, 𝑦)，
∴
𝑎+𝑥
2 = −1，
𝑏+𝑦
2 = 0，解得𝑥= −𝑎−2，𝑦= −𝑏，
∴𝑃′(−𝑎−2, −𝑏)，
故选：C．
【点睛】本题主要考查旋转中心坐标的计算，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法，即点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，点
𝐵(𝑥2,𝑦2)，则𝐴𝐵的中点坐标公式为(
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
)．
3．如图，△𝐴𝐵𝐶在直角坐标系中的位置如图所示，点A 的坐标为（1,2），若将△𝐴𝐵𝐶绕点O 旋转，点C
的对应点为点D，则旋转后点A 的对应点的坐标为（ ）
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A．(2, −1)
B．(0,−1)
C．(1,−3)
D．(−1,2)
【答案】A
【分析】先根据点C 的对应点为点D，得到旋转的方向与角度，再根据点A 绕着点O 顺时针旋转90°后的
位置，得出旋转后点A 的对应点的坐标．
【详解】如图所示，连接CO，DO，则∠COD = 90°，
∴点C 绕着点O 顺时针旋转90°与点D 重合，
∴点A 绕着点O 顺时针旋转90°后落在点E 处，
∴E(2，-1)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化，解题时注意：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特
殊性质来求出旋转后的点的坐标．
4．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知∠𝐴𝑂𝐵= 90°,∠𝐴𝐵𝑂= 30°，点A 的坐标是
(−1,0)，若把直角三角板绕坐标原点O 顺时针旋转60°，则点B 的对应点的坐标是（ ）
A．(√3
2 ,
3
2)
B．(
3
2 , √3
2 )
C．(−√3
2 ,
3
2)
D．(−
3
2 , √3
2 )
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30 度角的直角三角形的性质，先根据点A
的坐标求出𝑂𝐴的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出𝑂𝐵的长，进而得到𝑂𝐶的长，求出∠𝐶𝑂𝐷=
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30°，进而可求出𝐶𝐷，𝑂𝐷的长，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，设点B 的对应点为点C，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D，
∵点A 的坐标是(−1,0)，
∴𝑂𝐴= 1，
∵∠𝐴𝑂𝐵= 90°,∠𝐴𝐵𝑂= 30°，
∴𝐴𝐵= 2𝑂𝐴= 2，
∴𝑂𝐵= √𝐴𝐵2 −𝑂𝐴2 = √3，
由旋转的性质可得𝑂𝐶= 𝑂𝐵= √3，∠𝐵𝑂𝐶= 60°，
∴∠𝐶𝑂𝐷= 30°，
∵𝐶𝐷⊥𝑂𝐷，
∴𝐶𝐷=
1
2 𝑂𝐶= √3
2 ，
∴𝑂𝐷= √𝑂𝐶2 −𝐶𝐷2 =
3
3，
∴点C 的坐标为(
3
2 , √3
2 )，
故选：B．
5．如图，正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边长为√2，将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕原点𝑂顺时针旋转45°，则点𝐵的对应点𝐵1的坐标为
_______________．
【答案】(0，2)
【分析】连接𝑂𝐵，得到𝑂𝐵= 𝑂𝐵1 = 2，∠𝐵𝑂𝐶= 45°，即可知点𝐵1在y 轴上，即可求得点𝐵1的坐标
【详解】连接𝑂𝐵，
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∵正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边长为√2，
∴𝑂𝐵= √2 × (√2)
2 = 2，∠𝐵𝑂𝐶= 45°，
∵将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕原点𝑂顺时针旋转45°，
∴点𝐵的对应点𝐵1在y 轴正半轴上，且𝑂𝐵1 = 𝑂𝐵= 2，
∴点𝐵1的坐标为：(0，2)，
故答案为：(0，2)
【点睛】本题考查了求绕原点旋转一定角度的点的坐标和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解决问题
的关键
6．如图，已知点A 的坐标为(√3, 1)，将线段𝑂𝐴绕原点O 顺时针旋转150°得点A′，则此时点A′的坐标为
_____________．
【答案】(−1，−√3)
【分析】画出图形，根据旋转方向和角度可知点A′落在第三象限，利用全等找到点的坐标即可．
【详解】解：过A 作𝐴𝑀⊥𝑥轴于M，过A′作𝐴′𝑁⊥𝑦轴于N，
则△𝑂𝐴𝑀≌△𝑂𝐴′𝑁，
∴𝐴′𝑁= 𝐴𝑀= 1，𝑂𝑁= 𝑂𝑀= √3，
因为𝐴′在第三象限，
∴𝐴′(−1，−√3)，
故答案为：(−1，−√3)．
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【点睛】本题考查直角三角形的全等，旋转，理解旋转形成的直角三角形的全等是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，点𝐴(0,3)，𝐵(4,0)，将线段𝐴𝐵绕点B 顺时针旋转135°，则点A 的对应点
C 的纵坐标是______________________．
【答案】(4 +
7√2
2 , √2
2 )
【分析】把△𝑂𝐴𝐵绕B 点顺时针旋转135°得到△𝐷𝐶𝐵，延长𝐷𝐶交x 轴于E 点，过C 点作𝐶𝐻⊥𝑥轴于H
点，如图，根据旋转的性质得到𝐵𝐷= 𝑂𝐵= 4，𝐶𝐷= 𝑂𝐴= 3，∠𝑂𝐵𝐷= 135°，∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵= 90°，所
以∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶= 45°，利用等腰直角三角形的性质计算出𝐷𝐸= 𝐷𝐵= 4，𝐵𝐸= 4√2，则𝐶𝐸= 1，𝐶𝐻=
𝐸𝐻= √2
2 ，所以𝐵𝐻= 4 +
7√2
2 ，从而得到C 点坐标．
【详解】解：∵𝐴(0,3)，𝐵(4,0)，
∴𝑂𝐴= 3，𝑂𝐵= 4，
把△𝑂𝐴𝐵绕B 点顺时针旋转135°得到△𝐷𝐶𝐵，延长𝐷𝐶交x 轴于E 点，过C 点作𝐶𝐻⊥𝑥轴于H 点，如图，
∴𝐵𝐷= 𝑂𝐵= 4，𝐶𝐷= 𝑂𝐴= 3，∠𝑂𝐵𝐷= 135°，∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵= 90°，
∴∠𝐷𝐵𝐸= 45°，
∴∠𝐷𝐸𝐶= 45°，
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在Rt △𝐵𝐷𝐸中，𝐷𝐸= 𝐷𝐵= 4，𝐵𝐸= √2𝐵𝐷= 4√2，
∴𝐶𝐸= 𝐷𝐸−𝐷𝐶= 1，
在Rt △𝐶𝐻𝐸中，∵∠𝐶𝐸𝐻= 45°，
∴𝐶𝐻= 𝐸𝐻= √2
2 𝐶𝐸= √2
2 ，
∴𝐵𝐻= 𝑂𝐵+ 𝐵𝐸−𝐻𝐸= 4 +
7√2
2 ，
∴C 点坐标为(4 +
7√2
2 , √2
2 )．
故答案为：(4 +
7√2
2 , √2
2 )．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，把线段𝐴𝐵绕点B 顺时针旋转135°转化为把△𝑂𝐴𝐵绕B 点顺
时针旋转135°得到△𝐷𝐶𝐵是解决问题的关键．
8．如图，在直角坐标系中，边长为2 个单位长度的正方形𝐴𝐵𝐶𝑂绕原点O 逆时针旋转75°，则点𝐵″的坐标
为 ____________________．
【答案】(−√2，√6 + 1)
【分析】过𝐵′作𝐵′𝐷⊥𝑦轴于D，连接𝑂𝐵，𝑂𝐵′，根据边长为2 个单位长度的正方形𝐴𝐵𝐶𝑂绕原点O 逆时针
旋转75°，得∠𝐵𝑂𝐵′ = 75°，∠𝐵𝑂𝐶= 45°，𝑂𝐵= 𝑂𝐵′ = 2√2，即知∠𝐵′𝑂𝐷= 30°，可得𝐵′(−√2，√6)，又
再沿y 轴方向向上平移1 个单位长度，故𝐵″(−√2，√6 + 1)．
【详解】解：过𝐵′作𝐵′𝐷⊥𝑦轴于D，连接𝑂𝐵，𝑂𝐵′，如图：
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∵边长为2 个单位长度的正方形𝐴𝐵𝐶𝑂绕原点O 逆时针旋转75°，
∴∠𝐵𝑂𝐵′ = 75°，∠𝐵𝑂𝐶= 45°，𝑂𝐵= 𝑂𝐵′ = 2√2
∴∠𝐵′𝑂𝐷= 30°，
∴𝐵′𝐷=
1
2 𝑂𝐵′ = √2，𝑂𝐷= √3𝐵′𝐷= √6
∴𝐵′(−√2，√6)，
∵再沿y 轴方向向上平移1 个单位长度，
∴𝐵″(−√2，√6 + 1)，
故答案为：(−√2，√6 + 1)．
【点睛】本题考查正方形的旋转和平移变换，解题的关键是掌握旋转、平移变换的性质及正方形的性质．
9．如图，平行四边形OABC 的顶点𝑂(0,0)，𝐴(1,2)，点C 在x 轴的正半轴上，延长BA 交y 轴于点D．将
△ODA 绕点O 顺时针旋转得到△𝑂𝐷′𝐴′，当点D 的对应点𝐷′落在OA 上时，𝐷′𝐴′的延长线恰好经过点C，
则点C 的坐标为______．
【答案】（2√5，0）
【分析】延长𝐴′𝐷′交y 轴于点E，延长𝐷′𝐴′，由题意D′A′的延长线经过点C，利用点A 的坐标可求得线段
AD，OD，OA 的长，由题意：△OA′D′≌△OAD，可得对应边相等；利用𝑂𝐷′⊥𝐴′𝐸，OA 平分∠𝐴′𝑂𝐸，可得
△𝐴′𝑂𝐸为等腰三角形，可得OE=𝑂𝐴′=√5，𝐸𝐷′=𝐴′𝐷′=1；利用△𝑂𝐸𝐷′∽△CEO，得到比例式可求线段OC，
则点C 坐标可得．
【详解】解：延长𝐴′𝐷′交y 轴于点E，延长𝐷′𝐴′，由题意知，𝐷′𝐴′的延长线经过点C，如图，
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∵A（1，2），
∴AD=1，OD=2，
∴OA=√𝐴𝐷2 + 𝑂𝐷2
=√12 + 22
=√5．
由题意知：△𝑂𝐴′𝐷′≌△OAD，
∴𝐴′𝐷′=AD=1，𝑂𝐴′=OA=√5，𝑂𝐷′=OD=2，
∠𝐴′𝐷′𝑂=∠ADO=90°，∠𝐴′𝑂𝐷′ = ∠𝐷𝑂𝐷′．
则𝑂𝐷′⊥𝐴′𝐸，OA 平分∠𝐴′𝑂𝐸，
∴△𝐴′𝑂𝐸为等腰三角形．
∴OE=𝑂𝐴′=√5，𝐸𝐷′=𝐴′𝐷′=1．
∵EO⊥OC，𝑂𝐷′⊥EC，∠𝑂𝐸𝐶=∠𝐷′𝐸𝑂，
∴△𝑂𝐸𝐷′∽△CEO．
∴
𝐸𝐷′
𝐸𝑂=
𝑂𝐷′
𝐶𝑂．
∴
1
√5 =
2
𝑂𝐶．
∴OC=2√5．
∴C（2√5，0）．
故答案为：（2√5，0）．
【点睛】此题考查了旋转的性质、坐标与图形的性质、三角形全等判定与性质、三角形相似判定与性质、
等腰三角形的判定与性质，解题的关键是利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应
点的坐标．
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重难点四 坐标系中的旋转规律问题
1. 找周期：坐标多次旋转会出现周期性循环，常见周期为4（90°旋转）、2（180°旋转）；
2. 算余数：用总旋转次数÷周期数，根据余数判定最终位置，余数为0 对应周期最后一个位置；
3. 用性质：旋转周期内，点的横纵坐标符号、正负变化、象限位置呈固定规律，结合原点旋转公式快速
推导，无需逐次画图计算。
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵在x 轴上，点𝐵(3,0)，点𝐷(1,2)，将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷绕
点A 逆时针旋转，每次旋转90°，当第2023次旋转结束时，点C 的坐标是（ ）
A．(−1,−2)
B．(−1,2)
C．(2,−3)
D．(3,−2)
【答案】D
【详解】解：如图，
由题可知，将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点O 逆时针旋转，每次旋转90°，
∴每旋转4 次则回到原位置，
∵2023 ÷ 4 = 505……3，
∴第2023次旋转结束后，图形逆时针旋转了270°，
∵点𝐵(3,0)，点𝐷(1,2)，
∴𝐶(3,2)，
∴第2023次旋转结束时，点C 的坐标是(3, −2)，
故选：D．
2．如图，在直角坐标系中，已知点𝐴(−3,0)，𝐵(0,4)，对△𝑂𝐴𝐵连续作旋转变换，依次旋转变换，依次得
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到三角形(1)(2)(3)(4)……，对连续作旋转变换，依次得到三角形(2019)的直角顶点的坐标为（ ）
A．(8076，3)
B．(8076，0)
C．(8073，4)
D．(8068，
12
5 )
【答案】B
【分析】先利用勾股定理计算出𝐴𝐵，从而得到△𝐴𝐵𝐶的周长为12，根据旋转变换可得△𝑂𝐴𝐵的旋转变换
为每3 次一个循环，由于2019 = 3 × 673，于是可判断三角形2019 与三角形3 的状态一样，然后计算
673 × 12即可得到三角形2019 的直角顶点坐标．
【详解】解：∵𝐴(−3,0)，𝐵(0,4)，
∴𝑂𝐴= 3，𝑂𝐵= 4，
∴𝐴𝐵= √32 + 42 = 5，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长= 3 + 4 + 5 = 12，
∵△𝑂𝐴𝐵每连续3 次后与原来的状态一样，
∵2019 = 3 × 673，
∴三角形2019 与三角形3 的状态一样，
∴三角形2019 的直角顶点的横坐标= 673 × 12 = 8076，
∴三角形2019 的直角顶点坐标为(8076,0)．
故选：B．
3．如图，在平面直角坐标系中，将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1，依此方
式，绕点O 连续旋转2025 次后得到正方形𝑂𝐴2025𝐵2025𝐶2025，如果点A 的坐标为(1,0)，那么点𝐵2025的坐
标为（ ）
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A．(1,1)
B．(−1,1)
C．(√2, 0)
D．(0,√2)
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知
识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．根据图形可知：点B 在以O 为圆心，以𝑂𝐵为半
径的圆上运动，由图可知；将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1，相当于将线段
𝑂𝐵绕点O 逆时针旋转45°，可得对应B 点的坐标，然后发现规律是8 次一循环，进而得出答案．
【详解】由题可知：𝐵(1,1)，𝑂𝐵= √2，
∴𝐵1(0,√2)
将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1，相当于将线段𝑂𝐵绕点O 逆时针旋转45°，可
得对应B 点的坐标，然后发现规律是8 次一循环，
∵2025 ÷ 8 = 253 ⋯1
点𝐵2025的坐标等于点𝐵1得坐标
即𝐵2025(0, √2)
故选：D
4．如图，矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点为𝑂(0，0)，𝐴𝐶= 4，𝐵𝑂与x 轴正半轴的夹角为45°，若矩形绕点O 顺时针旋
转，每秒旋转45°，则第2023 秒时，矩形的对角线交点D 的坐标为（ ）
A．(√2，−√2) B．(2，0)
C．(0，4)
D．(0，2)
【答案】D
【分析】每秒旋转45°，8 次一个循环，2023÷8=252…7，第2023 秒时，矩形的对角线交点D 与第七次的点
D 的坐标相同，第八次点D 和刚开始旋转的位置相同，由此可得到点D 的坐标．
【详解】解：∵四边形𝑂𝐴𝐵𝐶是矩形，
∴𝐴𝐶= 𝑂𝐵= 4，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，𝑂𝐷= 𝐵𝐷，
∴𝑂𝐷= 2，
∵每秒旋转45°，8 次一个循环，2023÷8=252…7，
∴点D 与第七次的点D 的坐标相同，
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∴点D 正好在y 轴的正半轴上，
∴点D 的坐标为(0，2)．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点D 得变化特点，利用数
形结合的思想解答．
5．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，第一次将△𝐴𝐵𝐶作原点的中心对称图形得到△𝐴1𝐵1𝐶1，第二次在作△
𝐴1𝐵1𝐶1关于x 轴的对称图形得到△𝐴2𝐵2𝐶2，第三次△𝐴2𝐵2𝐶2作原点的中心对称图形得到△𝐴3𝐵3𝐶3，第四
次再作△𝐴3𝐵3𝐶3关于x 轴的对称图形得到△𝐴4𝐵4𝐶4，按照此规律作图形的变换，可以得到△
𝐴2022𝐵2022𝐶2022的图形，若点𝐶(3,2)，则𝐶2022的坐标为( )
A．(3, −2)
B．(3,2)
C．(−3,2)
D．(−3,−2)
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，由图形知每四次一个循环，即可得出结果．
【详解】解：根据题意，画出图形，如图，
∴点𝐶1(−3,−2), 𝐶2(−3,2),𝐶3(3,−2), 𝐶4(3,2)，
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∴每四次一个循环，
∵2022 ÷ 4 = 505 ⋯⋯2，
∴点𝐶2022的坐标与𝐶2相同，即𝐶2022(−3,2)．
故选：C.
【点睛】本题考查了作图一旋转变换，轴对称变换，确定图形每四次一个循环是解题的关键．
6．我们规定：在平面直角坐标系中，设点𝑃到原点的距离为𝜌（希腊字母读作“柔”），𝑂𝑃从𝑥轴的正半轴出
发绕点𝑂逆时针旋转𝛼度角，用[𝜌, 𝛼]表示点𝑃的雷达坐标，则点𝑃(−1,1)的雷达坐标为________．
【答案】[√2, 135]
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出
旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°, 45°,60°,90°, 180°．
先计算出点𝑃(−1,1)到原点的距离，再求出点𝑃(−1,1)与x 轴的正半轴的夹角，然后利用新定义表示出雷达
坐标．
【详解】点𝑃(−1,1)到原点的距离为√12 + 12 = √2，
因为点𝑃(−1,1)在第二象限的角平分线上，所以点𝑃(−1,1)与𝑥轴的正半轴的夹角为135°，
所以点𝑃(−1,1)的雷达坐标为[√2,135]，
故答案为：[√2,135]．
30．如图，在平面直角坐标系中，第1 次将边长为1 的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后，得到正方
形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1；第2 次将正方形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1绕点O 逆时针旋转45°后，得到正方形𝑂𝐴2𝐵2𝐶2；…按此规律，绕点
O 旋转得到正方形𝑂𝐴2022𝐵2022𝐶2022，则点𝐵2022的坐标为 _____．
【答案】（1，-1）
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【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心，以OB 为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形OABC
绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，可得对应点B 的
坐标，然后发现规律是8 次一循环，进而得出答案．
【详解】解：∵点A 的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∵四边形OABC 是正方形，
∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，如图所示：
由勾股定理得：𝑂𝐵= √12 + 12 = √2，
由旋转的性质得：𝑂𝐵＝𝑂𝐵1＝𝑂𝐵2＝𝑂𝐵3＝…＝√2，
∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1，
相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，依次得到∠𝐴𝑂𝐵＝∠𝐵𝑂𝐵1＝∠𝐵1𝑂𝐵2＝…＝45°，
∴𝐵1（0，√2），𝐵2（-1，1），B3（−√2，0），𝐵4（-1，-1），𝐵5（0，−√2），𝐵6（1，-1），𝐵7(√2,0)…，
发现是8 次一循环，则2022÷8＝252…6，
∴点𝐵2022的坐标为（1，-1），
故答案为：（1，-1）．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等
知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
7．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠𝐴= 90°，点O 为坐标原点，点B 在x 轴上，点
A 的坐是（1，1）．若将△𝑂𝐴𝐵绕点O 顺时针方向依次旋转45°后得到△𝑂𝐴1𝐵1，△𝑂𝐴2𝐵2，△
𝑂𝐴3𝐵3，…，可得𝐴1(√2,0)，𝐴2(1,−1)，𝐴3(0,−√2)，…，则𝐴2022的坐标是______．
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【答案】(−1，1)
【分析】根据题意求出：𝐴1，𝐴2，𝐴3，···，𝐴8，𝐴9的坐标，推导出每旋转8 次为一个循环，再由2022 ÷
8 = 252 ⋯⋯6，求出对应的点坐标即可．
【详解】解：根据题意得：𝐴1(√2, 0)，𝐴2(1, −1)，𝐴3(0, −√2)，𝐴4(−1, −1)，𝐴5(−√2, 0)，𝐴6(−1,1)，
𝐴7(0,√2)，𝐴8(1,1)，𝐴9(√2, 0) …，
∴可推导一般性规律：点坐标的变化每旋转8 次为一个循环，
∵2022 ÷ 8 = 252 ⋯⋯6 ，
∴𝐴2022的坐标是(−1,1) ．
故答案为：(−1,1)．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，点坐标的规律探究．解题的关键在于推导出一般性规律．
8．在平面直角坐标系中，等边△𝐴𝑂𝐵如图放置，点𝐴的坐标为(1,0)，每一次将△𝐴𝑂𝐵绕着点𝑂逆时针方向
旋转60°，同时每边扩大为原来的2 倍，第一次旋转后得到△𝐴1𝑂𝐵1，第二次旋转后得到△𝐴2𝑂𝐵2. ..，依次
类推，则点𝐴2026的坐标为_______．
【答案】(−22025, −22025√3)
【分析】本题考查旋转变换，点的坐标规律，熟练掌握等边三角形性质，探究循环规律，解直角三角形，
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是解决问题的关键．画出示意图，每旋转6 次是一个循环组，点𝐴的对应点落在第三象限，且𝑂𝐴2026 =
22026，即可得到答案．
【详解】解：由已知可得：
第一次旋转后，𝐴1在第一象限，𝑂𝐴1 = 2，
第二次旋转后，𝐴2在第二象限，𝑂𝐴2 = 22，
第三次旋转后，𝐴3在𝑥轴负半轴，𝑂𝐴3 = 23，
第四次旋转后，𝐴4在第三象限，𝑂𝐴4 = 24，
第五次旋转后，𝐴5在第四象限，𝑂𝐴5 = 25，
第六次旋转后，𝐴6在𝑥轴正半轴，𝑂𝐴6 = 26，
如此循环，每旋转6 次，𝐴的对应点又回到𝑥轴正半轴，而2026 = 6 × 337 + 4，
∴𝐴2026在第三象限，且𝑂𝐴2026 = 22026，
∴横坐标为，−𝑂𝐴2026 ⋅cos60° = −
1
2 × 22026 = −22025，纵坐标为，−𝑂𝐴2026 ⋅sin60° = −22026 × √3
2 =
−√3 × 22025，
∴𝐴2026(−22025, −22025√3)，
故答案为：(−22025,−22025√3)．
9．如图，在平面直角坐标系中，将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕点O 顺时针旋转45°后，得到正方形𝑂𝐴1𝐵1𝐶1，以此方
式，绕点O 连续旋转2025 次得到正方形𝑂𝐴2025𝐵2025𝐶2025．如果点C 坐标为(0,2)，那么点𝐵2025的坐标为
______．
【答案】(2√2,0)
【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点𝐵对应点的坐标，发现规律即可解决问
题．根据正方形的运动发现点𝐵的对应点的坐标按旋转后点𝐵的对应点的坐标按(2√2,0)，(2, −2)，
(0,−2√2)，(−2,−2)，(−√2，0)，(−2,2)，(0,2√2)，(2,2)循环出现，据此即可得到答案．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，且点C 坐标为(0,2)，
∴点𝐵的坐标为(2,2)，则𝑂𝐵1 = √22 + 22 = 2√2，
∴点𝐵1的坐标为(2√2,0)，
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依次类推，
点𝐵2的坐标为(2,−2)，点𝐵3的坐标为(0, −2√2)，点𝐵4的坐标为(−2,−2)，点𝐵5的坐标为(−√2，0)，
点𝐵6的坐标为(−2,2)，点𝐵7的坐标为(0,2√2)，点𝐵8的坐标为(2,2)，点𝐵9的坐标为(2√2,0)，
…，
由此可见，旋转后点𝐵的对应点的坐标按(2√2,0)，(2, −2)，(0, −2√2)，(−2,−2)，(−√2，0)，(−2,2)，
(0,2√2)，(2,2)循环出现，
由2025 ÷ 8 = 253. . .1，得到点𝐵2025的坐标为(2√2, 0)，
故答案为：(2√2, 0)．
