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1
矩形的性质与判定 题集【A】
1. 矩形的性质
【注】：加粗部分是矩形特有的性质
已知四边形
是矩形，图中有4个直角三角形，分别是
有4个等腰三角形，分别是
所以，矩形的有关问题可以转化为等腰三角形和直角三角形（利用勾股定理）来解决
【思考】：
矩形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？是中心对称图形吗？
图形
性质
符号表示
矩形
边
对边平行且相等
，
，
角
四个角都是直角
对角线
对角线相等
对角线互相平分
≌
≌
≌
≌
，
≌
1.
【解析】
如图，矩形
中，
，
，求证：
．
【答案】证明见解析．
连接
，
2
【标注】
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
．
【知识点】矩形的性质
【知识点】HL
【能力】推理论证能力
A.
B.
C.
D. 不能确定
2.
【解析】
如图，在矩形
中，
，
，
是
上任意一点，且
于
，
于
，则
为（ ）．
【答案】A
设
与
相交于
点，连接
，
3
【标注】
∵在矩形
中，
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
故选
．
【知识点】矩形的性质
矩形
矩形
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如图，在
中，
，
，
，
是斜边
上一动点，
于
，
于
，
与
相交于点
，则
的最小值为（ ）．
【答案】D
∵
，
，
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
互相平分．且
，
，
∵当
的值最小时，
的值就最小，
∴当
时，
的值最小，即
的值最小．
∵
，
∴
．
∵
，
，
在
中，由勾股定理，得
．
4
【标注】
∴
∴
．
∴
．
故选
．
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】垂线段最短
【知识点】矩形的性质
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
如图，在
中，
，
，
，
为边
上一动点，
于
，
于
，
为
中点，则
的最小值为（ ）．
【答案】B
连结
，在
中，
，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴四边形
是矩形，
∴
．
∵
是
的中点，
∴
，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即
时，
最短，同样
也最短，
∴当
时，
，
∴
，
∴
，
∴
最短时，
∴当
最短时，
．
5
【标注】
故选：．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
5.
【解析】
如图，在矩形
中，
，
为
的中点，点
在
上，且
，则
的度数为 ．
【答案】
过
作
于点
．
∵四边形
为矩形，设
则，
，
，
∴
．
在
中，
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
为
中点，
∴
为
中点．
∴
，
∴
，
6
【标注】
∴
．
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【知识点】矩形的性质
6.
【解析】
【标注】
如图，矩形
中，对角线
与
交于
点，
平分
交
于
，
．
求：
的度数．
【答案】
．
∵
平分
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形．
∵
，
∴
．
在矩形
中，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
，
在
中，
．
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边
【知识点】矩形的性质
【能力】分析和解决问题能力
7. 矩形
与
，如图放置，点
，
，
共线，点
，
，
共线．连接
，取
的中点
，连接
．若
，
，则
（ ）．
7
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】A
如图，延长
交
于点
，
∵四边形
和四边形
都是矩形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
．
又∵
是
的中点，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
则
．
故选
．
【知识点】矩形的性质
【能力】运算能力
8
8.
【解析】
【标注】
如图，矩形纸片
中，
，
，折叠纸片使
边与对角线
重合，折痕为
，则
的长为 ．
【答案】
在
中，
，
，
∴
，
由折叠的性质可得，
≌
，
∴
，
，
∴
，
设
，则
，
，
在
中，
解得
，
即
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
9.
【解析】
如图，在矩形
中，
是
边上的中点，将
沿
翻折得到
，连接
．若
，那么
的度数为 ．
【答案】
∵四边形
是矩形，
∴
，
∵
为边
的中点，
∴
，
9
【标注】
由折叠的性质可得：
，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【知识点】四边形与折叠问题
2. 直角三角形的性质
由矩形的性质可以推出，
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
在
中，
，则
．
书写：
∵
是直角三角形，
，
，
∴
．
A.
B.
C.
D.
1. 如图，在
中，点
，点
分别是
，
的中点，点
是
上一点，
，
，
，则
（ ）．
【答案】D
10
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
如图，延长
交
于
，
∵点
，点
分别是
，
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
∵
，
∴
垂直平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中，
是中位线，
∴
．
∵点
，点
分别是
，
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
∵
，
是
的中点，
∴
，
∴
．
【知识点】中位线定理及其应用
2.
【解析】
如图，在平行四边形
中，
于点
，
为
的中点，
，
，
则
的度数为 ．
【答案】
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
11
【标注】
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【知识点】平行四边形性质综合应用
3. 矩形的判定
判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形
判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
判定3：有三个角是直角的四边形是矩形
【总结】
①证明一个四边形是矩形，一般情况下，先证明它是一个平行四边形，然后证明“一个内角是直角”或
“对角线相等”即可．
②若直接证明一个四边形是矩形，只要证明“三个内角是直角”即可．
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，
是
的中位线，过点
作
交
的延长线于点
．
求证：
．
分别连接
、
，若
，试判断四边形
的形状，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
四边形
是矩形．
∵
是
的中位线，
∴
为
中点，
∴
，
∵
，
12
（2 ）
【标注】
∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
（
），
∴
．
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴平行四边形
是矩形．
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】AAS
【知识点】平行四边形的判定及应用
【知识点】矩形的性质
【知识点】矩形的判定及应用
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
2. 如图，在平行四边形
中，
，过点
作
交
的延长线于点
，连接
交
于点
．
求证：四边形
是矩形．
在平行四边形
中，取
的中点
，连接
，若
，且
，求四边形
的面积．
13
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
．
又∵
，
∴四边形
是平行四边形．
又∵
，
∴
．
∴四边形
是矩形．
∵
，
∴
．
∵
是
的中点，
∴
．
∵
，
∴
．
又∵四边形
是平行四边形，
∴
．
又∵四边形
是矩形，
∴
．
∴
．
∴矩形
的面积
．
【知识点】矩形的周长与面积
（1 ）
（2 ）
3. 如图，
，
是
的中点，
，
．
求证：四边形
是矩形．
若
，
，
是
上一点，且
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
∵
，
是
的中点，
∴
，
，
∵
．
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∵
，
∴
，
∴四边形
是矩形．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图，平行四边形
的对角线
，
相交于点
，
是等边三角形．
求证：四边形
为矩形．
若
，求四边形
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
为等边三角形，
∴
，
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴平行四边形
为矩形．
15
（2 ）
【标注】
在
中，
，
∴
，
，
∴四边形
的面积
．
【知识点】矩形的判定-从平行四边形
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，
是
的中点，
，
．
证明：
≌
．
连接
，判断四边形
的形状，并证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
矩形，证明见解析．
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
为
中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
四边形
是矩形．
由（）得：
≌
，
∴
，
，
又∵
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形．
16
【标注】【知识点】矩形的判定-从四边形
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图所示，
中，
是
边上一点，
是
的中点，过点
作
的平行线交
的延长线于
，且
，连接
．
求证：
是
的中点．
若
，试判断四边形
的形状，并证明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
四边形
是矩形．
∵点
是
的中点，∴
．
∵
，
∴
，
．
∴
≌
．
∴
．
∵
，
∴
，即
是
的中点．
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形．
∵
，又由（1）可知
是
的中点，
∴
．
∴四边形
是矩形．
【知识点】矩形的判定-从四边形
7. 如图，延长矩形
的边
至点
，使
，连接
，如果
，则
度．
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【解析】
【标注】
【答案】
连接
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
，且
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即
．
【能力】推理论证能力
【知识点】平行线的性质
【知识点】矩形的性质
8.
【解析】
【标注】
如图，在平行四边形
中，
，
为
中点，若
，则
．
【答案】
根据平行四边形和直角三角形的性质得，
在平行四边形
中，
，
又∵
，
为
中点，
∴在
中，
，
∵
，
∴
．
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
18
9.
【解析】
【标注】
在一节数学课上，老师布置了一个任务：
已知，如图，在
中，
，用尺规作图作矩形
．
同学们开动脑筋，想出了很多办法，其中小亮作了图，他向同学们分享了作法：
①分别以点
，
为圆心，大于
长为半径画弧，两弧分别交于点
，
，连接
交
于点
；
②作射线
，在
上取点
，使
；
③连接
，
．
则四边形
就是所求作的矩形．
老师说：“小亮的作法正确．”
小亮的作图依据是 ．
图
图
【答案】到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，对角线互相平分的四边形是平行四边
形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
作①的理由：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，
作②的理由：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
作③的理由：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【知识点】作图依据
