第 4 讲 均值、柯西不等式
1. 均值不等式
设
a1,a2,⋯,an
是
n
个
正
实
数
,
记
Qn=
❑√
a1
2+a2
2+⋯+an
2
n
, An= a1+a2+⋯+an
n
,Gn=
n√a1a2⋯an, H n=
n
1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
, 则
Qn≥An≥Gn≥H n ,其中等号成立的条件是 a1=a2=⋯=an,Qn, An,Gn, H n 分别称
为平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数.
2. 柯西不等式
柯西不等式的二维形式:
若 a,b,c ,d 都是实数, 则
(a
2+b
2)(c
2+d
2)≥(ac +bd)
2 ,当且仅当 ad =bc 时,等号成立.
(1) 柯西不等式的一般形式:设 a1,a2,a3,⋯,an,b1,b2,b3,⋯,bn 是实数，
则 (a1b1+a2b2+⋯+anbn)
2≤(a1
2+a2
2+⋯+an
2)(b1
2+b2
2+⋯+bn
2) ,
当且仅当 bi=0(i=1,2,⋯,n) 或存在一个数 λ ,使得 ai= λbi(i=1,2,⋯,n)
时等号成立.
(2) 常用的还有分式型柯西不等式: a1
2
b1
+ a2
2
b2
+⋯+ an
2
bn
≥(a1+a2+⋯+an)
2
b1+b2+⋯+bn
，其
中 bi>0(i=1,2,⋯,n) .
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【例 1】已知 x
2+ y
2+ z
2=1 ,求 ❑√3 xy + yz 的最小值.
【分析】由三元平方的和为定值得到乘积的最值, 一般考虑凑配使用基本
不等式, 注意最小值和不等号的方向之间的关系.
【解答】由基本不等式可知, 1= x
2+ 3
4 y
2+ 1
4 y
2+ z
2≥−❑√3 xy −yz ,
所以 ❑√3 xy + yz≥−1 ,当且仅当 x =−
❑√3
2 y , z =−1
2 y 时等号成立,
故 ❑√3 xy + yz 的最小值为 -1 .
【例 2】已知实数 x , y 满足 x
3+8 y
3+6 xy −1=0 ,求 x
3 y 的取值范围.
【分析】这是一个已知二元的定值, 反过来求二元乘积取值范围的问题, 可
用基本不等式求解，但本题次数较高，需要通过合理的因式分解打开思路.
【解答】因为 x
3+8 y
3+6 xy −1=0 ,
则 (x +2 y)
3−6 x
2 y −12 x y
2+6 xy −1=0 ,
所以 (x +2 y)
3−1−6 xy (x +2 y −1)=0 ,
因此 (x +2 y −1)[(x +2 y)
2+(x +2 y)−6 xy +1)=0 ,
(1) 当 (x +2 y)
2+(x +2 y)−6 xy +1=0 时,
由基本不等式可知 6 xy ≤3(x +2 y)
2
4
,
所以 (x +2 y)
2+(x +2 y)+1=6 xy ≤3
4
(x +2 y)
2 ,
所以 1
4
(x +2 y)
2+(x +2 y)+1≤0 ,
即 (
x +2 y
2
+1)
2
≤0 ,当且仅当 {
x +2 y +2=0,
x =2 y
)
时等号成立,
此时 x =−1, y =−1
2 ,则 x
3 y = 1
2 ,
(2) 当 x +2 y =1 时， x
3 y = x
3(1−x)
2
，
令 f (x)= x
3(1−x) ,则 f
′ (x)= x
2(3−4 x) ,
易知 f (x)max = f(
3
4)= 27
256
,所以 x
3 y ∈(−∞, 27
512)
.
综上可得, x
3 y ∈(−∞, 27
512)∪{
1
2)
.
【例 3】已知 a,b,c 为正实数，则代数式
a
b+3c +
b
8c + 4 a +
9c
3a+2b 的最
小值为 ( )
A. 47
48 B. 1
C. 35
36 D. 3
4
【分析】因为分母比较复杂, 一般通过换元将分母化为一个整体.
令 b+3c = x ,8c + 4 a= y ,3a+2b= z ,
则 a=−1
3 x + 1
8 y + 1
6 z ,b= 1
2 x−3
16 y + 1
4 z ,c = 1
6 x + 1
16 y −1
12 z ,
所
以
a
b+3c +
b
8c + 4 a +
9c
3a+2b =−61
48 + 3 y + 4 z
24 x
+ 2 x + z
4 y
+ 24 x +9 y
16 z
=−61
48 +(
y
8 x + x
2 y)+(
9 y
16 z + z
4 y)+(
3 x
2 z +
当且仅当 x: y : z =1:2:3 时,即 a:b:c =10:21:1 时等号成立.
【解答】A
【例 4 】设非负实数 x , y , z 满足 (x + 1
2)
2
+( y +1)
2+(z + 3
2)
2
= 27
4
, 则
x + y + z 的( )
A. 最小值为
❑√22−3
2
B. 最小值为
❑√14−1
2
B. 最大值为 3
2 D. 最大值为 7
2
【分析】本题从三元的平方和为定值得到三元的和的最值, 可以借助柯西
不等式实现.
解
法
一
:
由
柯
西
不
等
式
可
知
,
[(x + 1
2)
2
+( y +1)
2+(z + 3
2)
2
)×(1+1+1)≥(x + 1
2 + y +1+ z + 3
2)
2
=(x + y + z +3)
2,
所以 x + y + z +3≤❑√
81
4 = 9
2 ,
即得 x + y + z≤3
2
,当且仅当 (x , y , z)=(1, 1
2 ,0)
时,取等号.
解法二: 三角换元.
设 x + 1
2 = 3 ❑√3
2
cosα sin β , y +1= 3 ❑√3
2
cosα cos β , z + 3
2 = 3 ❑√3
2
sin α ,
所
以
x + y + z +3= 3 ❑√3
2
(cosα sin β +cosα cos β +sin α )= 3 ❑√3
2
[(sin β +cos β)cosα +sin α)
≤3 ❑√3
2
(❑√2cosα +sin α)≤9
2 ,
可得 x + y + z≤3
2
,当 (x , y , z)=(1, 1
2 ,0)
时取等号.
又由题意得 x
2+ y
2+ z
2+ x +2 y +3 z = 13
4 ≤(x + y + z)
2+3(x + y + z) ,
解得 x + y + z≥
❑√22−3
2
,当且仅当 (x , y , z)=(0,0,
❑√22−3
2 )
时等号成立.
【解答】AC
【例 5】已知实数 x , y 满足 x
2+( y −2)
2≤1 ,求 x + ❑√3 y
❑√x
2+ y
2
的最大值与最小
值.
【分析】本题具有一定的几何背景, 可以从三角和不等式等多个角度考虑.
【
解
答
】
解
法
一
:
由
柯
西
不
等
式
可
得
x + ❑√3 y ≤
❑√[1
2+(❑√3)
2)(x
2+ y
2)=2
❑√x
2+ y
2 , 所以 x + ❑√3 y
❑√x
2+ y
2 ≤2 .
解法二: (三角函数定义) 设
y
❑√x
2+ y
2 =sin α ,
x
❑√x
2+ y
2 =cosα ,
由题意可得 α ∈[
π
3 , 2π
3 )
,
所以原式 =cosα + ❑√3sin α =2sin(α + π
6)∈[1,2) .
解法三: (平面向量法) 如图,设 ⃗OA =(1,❑√3),⃗OB =(x , y) ,
则原式 =⃗OA ⋅⃗OB
|⃗OB)
,即向量 ⃗OA 在 ⃗OB 上的投影,
易得最小值为 1 ，最大值为 2 .
【例 6 】已知正实数 a1,a2,⋯,a2022 , 满足 a1+a2+⋯+a2022=2022 , 求
1
a1+a2
+
1
a2+a3
+⋯+
1
a2022+a1 的最小值.
【分析】根据 a1+a2+⋯+a2022 为定值,所以分母和也为定值,可以考虑使用
分式柯西不等式.
【解答】由分式柯西不等式可得,
1
a1+a2
+
1
a2+a3
+⋯+
1
a2022+a1
≥
(1+1+⋯+1)
2
2×(a1+a2+⋯+a2022)
= 2022
2
2×2022 = 2022
2
=1011,
当且仅当 a1=a2=⋯=a2022=1 时,等号成立.
