第34 讲直线与圆的方程、位置关系
（知识清单+9 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
直线与圆的位置关系、弦长最值计算
单选/多选题
5 分/6 分
直线与圆的方程、位置关系判定、参数求解
单选/填空/解
答题
5 分/12 分
直线与圆的位置关系、距离最值问题
单选/解答题
5 分/12 分
直线与圆的位置关系、圆的几何性质应用
单选/解答题
12 分
直线的方程、直线的倾斜角与斜率
单选题
5 分
圆的标准方程、直线与圆的位置关系
单选/多选/解
答题
5 分/6 分/12
分
【知识点01】直线的方向向量
设A，B 为直线上的两点，则⃗AB就是这条直线的方向向量
【例1】求过点A(2,3)，B(−1,5)的直线的一个方向向量，并写出该直线斜率对应的标准方向向量。
【知识点02】直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α 叫做直线l 的倾
斜角.
(2)范围：直线的倾斜角α 的取值范围为0°≤α<180°.
【例2】判断下列直线倾斜角大小：①水平直线y =2；②竖直直线x =−3；③从左下到右上的直线。
【知识点03】直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示，即k＝tan α.(α≠90°)
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2−y1
x2−x1
.
【例3】已知直线倾斜角为135°，求直线斜率；直线过(1,2),(3,5)，求直线斜率。
【知识点04】直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x 轴的直线
两点式
y −y1
y2−y1
＝x−x1
x2−x1
(x1≠x2，
y1≠y2)
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
x
a ＋y
b ＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
【例4】已知直线倾斜角为135°，求直线斜率；直线过(1,2),(3,5)，求直线斜率。
【知识点05】两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4
是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
【例5】判断直线l1: y =2 x +3与l2: y =−1
2 x−1的位置关系。
【知识点06】三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
②结论：|P1P2|＝❑√( x2−x1)
2＋( y2−y1)
2.
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝❑√x
2＋y
2.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝|A x0＋B y0＋C |
❑√A
2＋B
2
.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0 与l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝
|C1−C2|
❑√A
2＋B
2 .
【例6】求点(1,2)到直线2 x + y −5=0的距离。
【知识点07】圆的定义和圆的方程
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C( a ，
b )
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0)
圆心C(−D
2 ，−E
2)
半径r＝1
2
❑√D
2＋E
2−4 F
【例7】求圆x
2+ y
2−2 x + 4 y =0的圆心坐标和半径。
【知识点08】点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在圆上；
(3)|MC|<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在圆内.
【例8】判断点P(2,1)与圆( x−1)
2+ y
2= 4的位置关系。
【知识点09】直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d<r
【例9】判断直线x + y −1=0与圆x
2+ y
2=2的位置关系。
【知识点10】圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|<d<r1＋r2
内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|
【例10】圆O1:( x−1)
2+ y
2= 4，圆O2:( x +2)
2+ y
2=1，判断两圆位置关系。
【知识点11】直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r 和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2❑√r
2−d
2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m 与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点M，N，代入，消去y，得关于x 的一元二次方
程，则|MN|＝❑√1＋k
2·❑√( xM ＋xN )
2−4 xM xN.
【例11】求直线x−y =0被圆x
2+ y
2= 4截得的弦长。
【题型一】直线方向向量、倾斜角与斜率综合题
【例1】（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过
两点的直线的一个方向向量为
，那么
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式1】（多选）已知直线l:❑√3 x + y −2=0，则下列选项中正确的有（ ）
A．直线l的倾斜角为5 π
6
B．直线l的斜率为❑√3
C．直线l不经过第三象限
D．直线l的一个方向向量为⃗v =(−❑√3,3)
【变式2】（2026·广西柳州·二模）已知直线l的一个方向向量为v
→
=(3,−❑√3)，则直线l的倾斜角为_____.
【变式3】（2025·上海静安·一模）已知直线l1：3 x−❑√3 y +10=0与l2：x−❑√3 y =0，则直线l1与l2的夹角大小是
___________．
【题型二】直线方程五种形式
【例2】已知直线l过点(m,3)和(3,2)，且在x轴上的截距是1，则实数m等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1】（2026·江西宜春·一模）已知直线l的斜率为k，p:k =−1，q:直线l在两坐标轴上的截距相等，则p是q的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2】△ABC 中，A（3，－1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为：6x＋10y－59=0，∠B 的平分线方程BT 为：
x－4y＋10=0，求直线BC 的方程.
【变式3】已知直线l1: x−2 y +3=0,l2:2 x +3 y −8=0.
(1)求经过点M (1,4)且与直线l2垂直的直线方程；
(2)求经过直线l1与l2的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
(3)若直线l:kx −y +2+ 4 k =0(k ∈R)交x 轴的负半轴于点A，交y 轴的正半轴于点B，O 为坐标原点，设△AOB的面
积为S，求S 的最小值及此时直线l 的方程.
【题型三】两条直线位置关系判定
【例3】（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线l1：A1 x + B1 y +C1=0（A1，B1不同时为零），l2：
A2 x + B2 y +C2=0（A2，B2不同时为零），则A1 A2+ B1B2=0是l1⊥l2的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2026·湖南郴州·模拟预测）以A(2,3)，B(6,7)，C(13,0)，D(9,−4)为顶点的四边形是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．直角梯形
D．正方形
【变式2】若a，b 为正实数，直线x +(b−2) y +1=0与直线ax + y −2=0互相垂直，则ab 的最大值为______.
【变式3】“a=2”是“直线ax +2 y +1=0和直线3 x +(a+1) y −2=0平行”的______条件.(填“充分不必要”，
“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”)
【题型四】三类距离公式计算题
【例4】在△ABC中，设点A( x A , y A),B( xB, yB),C( xC , yC)，利用二次函数知识可确定出到△ABC的3 个顶点距
离的平方和最小的点为△ABC的（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线l1：3 x−4 y −3=0，l2：3 x−4 y −9=0的距离相等的点的坐
标_____．
【变式2】（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线15 x +20 y +23=0的距离的最小
值为_____．
【变式3】已知三角形ABC 的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M 是BC 边上的中点.
(1)求AB 边所在的直线方程；
(2)求中线AM 的长
(3)求AB 边的高所在直线方程.
【题型五】圆的方程求解（一般式与标准式互化）
【例5】（2025·山西晋中·三模）已知圆C 的一般方程为x
2+ y
2−6 x + 4 y +12=0，则圆C 的圆心坐标为（ ）
A．(3,2)
B．(−3,2)
C．(3,−2)
D．(−3,−2)
【变式1】（2025·北京海淀·一模）已知直线y =ax +b经过圆x
2+ y
2+2 x =0的圆心，则a
2+b的最小值为（ ）
A．−1
B．−1
4
C．0
D．1
【变式2】（多选）设O 为坐标原点，直线x +my −m−2=0过圆M : x
2+ y
2−8 x +6 y =0的圆心且交圆于P ,Q两点，
则（ ）
A．|PQ|=5
B．m= 1
2
C．△OPQ的面积为5 ❑√5
D．OM ⊥PQ
【变式3】（2025·上海浦东新·二模）设圆C方程为x
2+ y
2+ 4 x−6 y +10=0，则圆C的半径为____________．
【题型六】点与圆的位置关系判断
【例6】（2026·吉林·二模）已知圆O：(x−1)
2+ y
2=r
2，则“点M (2,1)在圆O外”是“点N (0,2)在圆O外”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点P(2,1)在圆x
2+ y
2+ 4 x−2 y + k −1=0外，则实数k的取值
范围为（ ）
A．(−10,+∞)
B．（－10，6）
C．(−∞,−10)
D．(6,+ ∞)
【变式2】（多选）（2026·河南·三模）已知点A(1,0)，B(4,0)，M为圆O：x
2+ y
2= 4上一点，则（ ）
A．点B在圆O外
B．|MB|的最大值为6
C．|MB|= 3
2|MA|
D．|MA|+|MB|的最大值为9
【变式3】（2024·广西南宁·二模）若过点P(0,1)可作圆( x−1)
2+( y −2)
2=5−a的两条切线，则a的取值范围是
______．
【题型七】直线与圆位置关系判定
【例7】（2024·河北衡水·模拟预测）直线l: x−my +m+2=0与圆C : x
2+ y
2+ 4 x +3=0的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．与m 的取值有关
【变式1】（2026·广东清远·二模）（多选）已知方向向量为(a,2a)(a≠0)的直线l与圆x
2+ y
2=5相切，则直线l的方
程为（ ）
A．2 x−y +5=0
B．2 x−y +3=0
C．2 x−y −5=0
D．2 x−y −3=0
【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合A =¿，B =¿，则A ∩B的子集个数为_________.
【变式3】已知直线l：x−2 y −1=0，圆C：(x +2)
2+( y −1)
2=5，写出一个与直线l 和圆C 都相切且半径为2❑√5
的圆的标准方程______．
【题型八】圆与圆位置关系判定
【例8】（2025·河南·模拟预测）圆x
2+ y
2−2 x−2 y +1=0与圆x ²+ y ²+ 4 x +6 y +9=0的位置关系是（ ）
A．相切
B．外离
C．内含
D．相交
【变式1】（2024·山西阳泉·三模）（多选）已知圆C : x
2+ y
2=1, A(4 ,a),B(4 ,−a)，若圆C上仅存在一点P使
PA ⊥PB，则正实数a的取值可以是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式2】已知圆C1的圆心在直线x +2 y −1=0上，点(3,0)与(1,−2)都在圆C1上，圆C2:(x−3)
2+( y +1)
2=1，则
C1与C2的位置关系是___________.
【变式3】已知圆C :( x +1)
2+ y
2=r
2(r >0)，点A(2,0)，B(0,4).
(1)若圆C上存在点P满足⃗AP⋅⃗BP =0，求半径r的取值范围；
(2)对于线段AB上的任意一点Q，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段QN的中点，求r的取值范围.
【题型九】直线截圆弦长计算
【例9】（2026·重庆·模拟预测）设圆 M ：x
2+ y
2=1 与圆 N ：(x −1)
2+( y −1)
2=2 交于 P，Q 两点，则线段
PQ 的长度为（ ）
A．1
2
B．3
2
C．❑√3
D．
❑√14
2
【变式1】（2026·天津滨海新区·三模）圆C1: x
2+ y
2−4 x + 4 y =12与圆C2: x
2+ y
2−4 =0的公共弦长为__________．
【变式2】（2026·陕西榆林·三模）已知圆C1：(x −1)
2+ y
2=1与圆C2：x
2+( y −3)
2=16相交于A ，B两点，则直
线AB的方程为___________．
【变式3】已知圆C1：x
2+ y
2−2 x−6 y −1=0和C2：x
2+ y
2−10 x−12 y + 45=0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
【解题大招01】斜率快速解题法（直线倾斜角、位置关系通用）
倾斜角与斜率对应关系：α ∈[0, π
2 )，斜率为正且单调递增；α ∈( π
2 ,π )，斜率为正且单调递增；α = π
2 斜率不存在。
两直线垂直速判：斜率存在时k1k2=−1；一条斜率为0、一条斜率不存在，两直线直接垂直。
避坑关键：所有直线题型，优先讨论斜率不存在的特殊情况，避免漏解。
【例题01】求过点P(1,2)，且与直线l: y =−1
2 x +1垂直的直线方程。
【解题大招02】直线方程巧设技巧（减少计算量）
过定点( x0, y0)：常设y −y0=k( x−x0)，务必单独验证x=x₀ 这条竖直线；
与已知直线Ax + By +C =0平行：直接设Ax + By +m=0(m≠C )；
与已知直线Ax + By +C =0垂直：直接设Bx−Ay +m=0，无需算斜率。
【例题02】求与直线2 x +3 y −4 =0平行，且过点(3,1)的直线方程。
【解题大招03】三类距离公式速算技巧
点到直线距离：永远带绝对值，分母恒为根号下x、y 系数平方和；
两平行线距离硬性前提：必须先将两条直线x、y 系数化为完全一致，再代入公式；
选择填空口算技巧：结果必须分母有理化，不可保留根号在分母。
【例题03】求两条平行线l1: x +2 y −2=0，l2:2 x + 4 y +5=0之间的距离。
【解题大招04】圆的方程快速求法（待定系数法+配方法）
已知圆心、半径：优先用标准方程( x −a)
2+( y −b)
2=r
2；
已知圆上三点：优先用一般方程x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0；
一般式转标准式：分组配方，x、y 分别配方，常数移到右侧。
【例题04】求圆x
2+ y
2−6 x + 4 y =0的圆心与半径。
【解题大招05】位置关系几何判定法（首选，秒杀代数联立）
方法核心（考试万能优先级：几何法>代数法）
点与圆：直接代点，比较点到圆心距离d 和半径r；
直线与圆：算圆心到直线距离d，d >r相离，d =r相切，d <r相交；
圆与圆：算圆心距d，对比两圆半径和、半径差。
【例题05】判断直线x−y +1=0与圆( x −1)
2+ y
2= 4的位置关系。
【解题大招06】垂径定理求弦长（必考核心方法）
直角三角形模型：圆心、弦中点、弦端点构成直角三角形，半径为斜边
弦长万能公式：L=2
❑√r
2−d
2（d 为圆心到直线距离，r 为圆半径）
【例题06】直线2 x−y =0截圆x
2+ y
2=5，求所得弦长。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·江苏·三模）已知点P(m,n)在圆C : x
2+ y
2= 4外，则直线mx +ny = 4与圆C的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相切或相交
2．（2026·湖南·二模）过点
且倾斜角为
的直线l 交圆
于
、
两点，则弦
的长为（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知点A (0,2)，向量⃗n=(−1,1)，若⃗n与直线l: y =kx垂直，则A到直线l的距离等于
（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．2❑√2
二、多选题
4．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆O1：x
2+ y
2= 4与圆O2：x
2+ y
2−4 x + 4 y −12=0，则（ ）
A．圆O2的圆心坐标为(2,2)
B．圆心距|O1O2|=2❑√2
C．圆O1与圆O2相交
D．圆O1与圆O2的公共弦的长为2❑√2
三、填空题
5．（2026·江西·模拟预测）直线(tan 2
5 π)x + y + 2
5 π=0的倾斜角为________．
6．（2026·上海·三模）若⃗n=(2,−4)是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角大小为__________．
四、解答题
7．已知圆C 的方程为x
2+ y
2−6 x−4 y +9=0
(1)若直线l 经过圆C 的圆心，且倾斜角为3π
4 ，求直线l 的方程；
(2)若直线y = x +1与圆C 交于A，B 两点，求弦AB 的长.
8．已知圆C :( x−1)
2+ y
2= 4.
(1)若直线l 经过点A(−1,3)，且与圆C 相切，求直线l 的方程；
(2)若圆C1: x
2+ y
2−2mx −2 y +m
2−8=0与圆C 相切，求实数m 的值.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：
与直线
：
平行，则实数
的值为
（ ）
A．-1
B．0
C．3
D．-1 或3
2．（2026·河南开封·模拟预测）过点
的直线与曲线
（
）有两个交点，则直线斜
率的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
3．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆
：
交于
两点，当
面积取得最大
值时，直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
二、多选题
4．（2026·山西忻州·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆
，
．直线
与
两个圆均有公共点．记直线被
，
截得的弦长分别为
，
．则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．若
，则
或
D．存在直线，使得
三、填空题
5．（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy 中，直线
过定点A，以原点为圆心的圆
O 过点A，不与x 轴垂直的直线
与圆O 交于B，C 两点，若
，则直线
的纵截距为________．
四、解答题
6．已知圆
.
(1)若圆
的切线在
轴和
轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆
外一点
向该圆引一条切线，切点为
，且有
（
为坐标原点），求
的最小值．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·内蒙古赤峰·三模）过原点且倾斜角为
的直线被圆
所截得的弦长为（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知b是a,c的等差中项，若圆C :( x−1)
2+( y −2)
2=9上到直线l:ax +by +c =0的距
离为1 的点有且仅有3 个，则直线l的斜率为（ ）
A．1
2或−1
2
B．
❑√3
3 或−
❑√3
3
C．2 或-2
D．❑√3或−❑√3
二、多选题
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）记圆O: x
2+ y
2= 4，圆C : x
2+ y
2−2 y +a=0，点A(0,2)，已知圆O和圆C相内切，
且圆O的半径大于圆C的半径，M , N是圆O上两点，直线MN与圆C相切，设AM , AN与圆C的另一个交点分别为
P ,Q，则（ ）
A．a=−3
B．⃗MN =2⃗PQ
C．|PQ|= ❑√3当且仅当∠MAN =60°
D．∠MAN ≤90°
三、填空题
4．（2026·河北沧州·一模）已知过原点O的直线与圆C : x
2+ y
2−8 x +8=0交于M , N两点，弦MN的中点为P，则点
P的轨迹长度为___________．
四、解答题
5．已知圆心为C的圆经过A (1,0)，B (4,3)两点，且圆心C在直线x−y −2=0上．
(1)求圆C的标准方程．
(2)过直线l：x−2 y −11=0上的点P作圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N．
①求四边形PMCN面积的最小值；
②当四边形PMCN的面积最小时，求直线MN的方程．
