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核心7 三角恒等变换
一．单选题.
【逆用和、差角的余弦公式化简、求值 2025 江苏盐城期中测试】
1．化简cosβcos(α+β)+sinβsin(α+β)的结果为（ ）
A．cos(α+2β)
B．cos(2α+β)
C．cosα
D．cosβ
【答案】C
【分析】由余弦的差角公式化简可得答案.
【详解】原式=cos[ (α+β)-β]=cosα.
故选：C.
【逆用和、差角的正弦公式化简、求值 2025 甘肃庆阳阶段练习】
2．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】借助两角和的正弦公式计算即可得.
【详解】
.
故选：B.
【给角求值型问题 2024 福建莆田期末】
3．
的值为
A．
B．
C．－
D．－
【答案】B
【分析】先把
的分子分母都除以
，转化成正切函数，再逆用两角和
的正切公式即可.
【详解】解：原式＝
＝
＝tan(45°＋15°)＝
故选：B.
【点睛】考查利用三角函数的恒等变换求值，基础题.
【二倍角的正切公式 2025 安徽黄山期末测试】
4．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】利用二倍角的正切公式计算即可求得结论.
【详解】因为
，所以
．
故选：C.
【用和、差角的正弦公式化简、求值 2025 江苏南京阶段测试】
5．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用正弦的和角公式，即可求出结果.
【详解】因为
，
故选：D.
【用和、差角的正切公式化简、求值 2025 四川内江期中】
6．在
中，
和
是方程
的两实数根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用韦达定理、诱导公式及和角的正切公式求解即得.
【详解】由
和
是方程
的两实数根，得
，
在
中，
.
故选：D
【逆用和、差角的正切公式化简、求值 2025 河北衡水阶段练习】
7．
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据两角和的正切公式进行求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以有
，
故选：D．
【cos2x 的降幂公式及应用 2024 云南保山三模】
8．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由二倍角的余弦公式求出
、
的值，代入计算即可得解.
【详解】因为
，则
，
，
因此，
.
故选：B.
【三角恒等变换的化简问题 2025 浙江丽水模拟】
9．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由同角的商数关系，两角和的正弦公式，降幂公式，诱导公式化简求值即可．
【详解】
，
故选：A．
【已知正（余）弦求和、差余弦 2025 江苏省镇江市一模】
10．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用三角函数的平方关系求得
，
，再利用余弦定理的和差公式即可
得解.
【详解】因为
，
，
，
所以
，
，
则
.
故选：A.
二．多选题.
【给值求角型问题 2025 云南昆明模拟预测】
11．若
，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】首先由两角和的正切公式得出
，即可得到
的取值；
【详解】解：由题意得
，
所以
，
所以
的值可能为
，
．
故选：AC
【二倍角的正弦公式 2025 河北廊坊模拟测试】
12．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】由同角三角函数关系求得
,再根据正弦的二倍角公式求值.
【详解】解: 因为
，所以
，
．
所以
．
故选: AD
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,考查正弦的二倍角公式,属于基础题.
【半角公式 2025 江西吉安阶段测试】
13．下列有关三角函数的公式中，正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由二倍角公式及诱导公式求解．
【详解】由
，
得
，故A，B 两项正确；
，故C 项正确；
，故D 项错误，
故选：ABC
【给值求值型问题 2024 湖北孝感一模】
14．已知
，
，其中
，
，以下判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由已知求出
，
，分别利用二倍角公式以及两角和差的正余弦公式判断
各选项，即可得答案.
【详解】由于
，
，
，
，
故
，
，
故
，A 错误；
，B 正确；
，C 正确；
，D 正确，
故选：BCD
【sinα±cosα 和sinα·cosα 的关系 2025 河南鹤壁阶段测试】
15．已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可判断；对于B，结合选
项A 中结论即可判断；对于D，利用选项C 中的结论求得
，
进而求得
，再
根据二倍角的正切公式即可求解.
【详解】由
①，以及
，
对等式①两边取平方得
，
②，故A 正确；
，
，由②，
，
，故B 正确；
③，故C 错误；
①③联立解得
，所以
，
，故D 正确．
故选：ABD．
【三角化简、求值的综合应用 2025 黑龙江绥化期中】
16．已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，
【答案】BCD
【分析】以
为整体，利用诱导公式、倍角公式以及两角和差公式逐项分析求解.
【详解】因为
，
对于选项A：
，故A 错误；
对于选项B：
，故B 正确；
对于选项C：
，故C 正确；
对于选项D：若
，则
，
且
，则
，
，
可得
，所以
，故D 正确.
故选：BCD．
三．填空题.
17．
．
【答案】
【分析】利用和差化积公式即可求解．
【详解】由
．
故答案为：
．
【积化和差公式 2024 山东潍坊二模】
18．求值：
．
【答案】
【分析】应用积化和差，将函数式化为含特殊角的三角函数式，即可求值.
【详解】原式
．
故答案为：
【降幂公式及应用 2025 重庆涪陵阶段测试】
19．若
是第四象限角，且25cos2θ＋cosθ－24＝0，则
＝
【答案】
##0.2
【分析】先解关于
的一元二次方程可得
，然后由降幂公式可得.
【详解】解方程25cos2θ＋cosθ－24＝0，得
或
因为
是第四象限角，所以
所以
.
故答案为：
【用和、差角的余弦公式化简、求值 2025 江苏常州阶段练习】
20．
．
【答案】
【分析】首先变换角
，再结合两角和的余弦公式，即可求解.
【详解】
．
故答案为：
【已知正切值求和、差角的正切 2025 广西贵港期末】
21．若
，
，则
.
【答案】
【解析】直接利用两角和的正切公式计算可得.
【详解】解：
，
，
.
故答案为：
【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，属于基础题.
【二倍角的余弦公式 2025 北京平谷区模拟测试】
22．已知
，则
．
【答案】
##
【分析】利用余弦函数的二倍角公式即可得解；
【详解】因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，解得
或
（舍去）.
故答案为：
.
【已知正、余弦值求和、差角的正弦 2024 山东烟台三模】
23．若
，
且
，
，则
.
【答案】
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】因为
且
，所以
，
又因为
且
，所以
，
所以
，
故答案为：
【sinxcosx 的降幂公式及应用 2025 安徽蚌埠·阶段练习】
24．求值：
．
【答案】
【分析】由于
，所以原式可化为
，乘进去后
再利用降幂公式化简可得
，再逆用两角和的正弦公式可得答案
【详解】解：
，
故答案为：
【判断三角形的形状 2025 浙江金华阶段测试】
25．在
中给出下列四个命题：
①若
，则
是等腰三角形；
②若
且
，则
是直角三角形；
③若
，则
是等边三角形；
④若
，则
是等腰三角形．
其中正确的是 ．
【答案】②③④
【分析】举例说明判断①，利用正弦、余弦函数的性质判断②③，和角的正弦公式及正弦
函数的性质判断④作答.
【详解】在
中，当
时，
，显然
不是等腰三角
形，①不正确；
在
中，
，则A 为锐角，由
得：B 为锐角，且
，
因此有
，即
，则有
是直角三角形，②正确；
在
中，
，则
，
因
，则有
，
于是得
，
是等边三角形，③正确；
在
中，
，则
，
即
，而
，则有
，
是等腰三角形，④正确.
故答案为：②③④
试题特点分析：三角恒等变换试题通常具有以下特点：综合性强、技巧性高、对角的范
围及三角函数值的符号情况有要求、计算量较大、与实际问题结合、，所以三角恒等变换
试题不仅考察学生对基础知识的掌握，还考察学生的思维能力和解决问题的能力.
解题方法阐述：三角恒等变换的解题方法主要包括以下几种：化切为弦、公式逆用、抓
住整体、角的拆变、降次公式.以上方法可以帮助学生更好地理解和掌握三角恒等变换的解
题技巧.在实际解题过程中，应该根据具体问题的特点选择合适的方法，并通过大量的练习
来提高自己的解题能力.
解题经验分享：三角恒等变换的本质是得到所需形式的代数式，既可能是化简也可能是
变形，甚至还可能是化繁（多数情况下最终会得到更简化的结果）.所以首先要明确变换的
目标，在弄清已知与未知之间的关系或联系，确定大致变换思路后，再进行后续操作，这
样往往能起到事半功倍的效果，切忌盲目套公式和运算.
