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微专题拓展02 利用五大经典代数不等式求最值参考答案
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
知识点1、柯西不等式（Cauchy 不等式）........................................................................................2
知识点2、权方和不等式.....................................................................................................................2
知识点3、排序不等式.........................................................................................................................2
知识点4、切比雪夫不等式.................................................................................................................2
知识点5、琴生不等式.........................................................................................................................3
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 4
题型一：柯西不等式求最值................................................................................................................4
题型二：反柯西不等式求最值............................................................................................................5
题型三：权方和不等式求最值............................................................................................................5
题型四：排序不等式求最值................................................................................................................6
题型五：切比雪夫不等式求最值........................................................................................................7
题型六：琴生不等式求最值................................................................................................................7
03 课后拓展精练..............................................................................................................................9
知识点1、柯西不等式（Cauchy 不等式）
（1）二元柯西不等式：对于任意的
，都有
．
（2 ）
元柯西不等式：
，取等条件：
或
（
）．
知识点2、权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
对于任意的
，都有
．当且仅当
时，等号成立．
（2）一般形式的权方和不等式
若
，
，
，则
，当
时等号成立．
知识点3、排序不等式
给定两组实数
．如果
．那么
其中
是
的
一个排列．
知识点4、切比雪夫不等式
对于两个实数数列
，若有
，
则有
，
类似地，若有
，则有
．
知识点5、琴生不等式
凹函数的定义
设连续函数
的定义域为
，对于区间
内任意两点
，都有
，则称
为
上的凹函数.
（1）琴生不等式：若
是区间
上的凹函数，则对任意的点
，有
（当且仅当
时取“=”）．
（2）加权琴生不等式：若
在
上为凹函数，则对任意
，有
题型一：柯西不等式求最值
例1．（2026·高三·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德
国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当
时等号成立.根据柯西不等式，已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．
二维柯西不等式为
，当且仅当
时等号成立．已知
，直线
与曲线
相切，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2026·高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
，当且仅当
等号成立，已知
，请
你用柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
变式1．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
变式2．（2026·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流
数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将
这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
等号成立当且仅当
已知
，请你
用柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
题型二：反柯西不等式求最值
例4．（2026·高三·安徽·阶段检测）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设
了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知
识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量
时，有
，即
，当且仅当
时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数
变换，得到了一个新不等式：
，当且仅当
时等号成立，并取名
为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当
时，
的最小值是______．
例5．
的最小值为 ．
例6．函数
的最小值为 ．
题型三：权方和不等式求最值
例7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，
，，
，则
，当且仅当
时等号成立.根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．39
B．52
C．49
D．36
例8．（2026·高三·全国·一轮复习）已知正实数x、y、z 的和为1，则
的最小值为______．
例9．已知是一个锐角，那么
的最小值是_____.
变式3．（2026·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名
的．其具体内容为：设
，则
，
当且仅当
时，等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小
值时，的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：排序不等式求最值
例10．（2026·高三·全国·一轮复习）设
是
的一个排列，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
例11．（2026·高三·全国·一轮复习）若
，
，其中
都是正数，则A 与B 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
例12．已知数组（
）与（
）均是1，2，…，n 的一个排列.则
的最
大值为__________.
变式4．已知
，
，…，
都是正整数，且
.则
的最大值是
__________．
题型五：切比雪夫不等式求最值
例13．设
，对任意，
，总存在
，使得
成立，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例14．已知
对任意
成立，则不超过
的最大整数是______．
题型六：琴生不等式求最值
例15．在锐角
中，
的最小值为______．
例16．已知函数
，则
的最小值是________.
例17．（2026·高三·全国·一轮复习）在
中，
的最大值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
变式5．（多选题）（2026·高三·安徽·期中）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6．函数的凹凸性是函数的重要性质之一，下面给出函数凹凸性的定义：
定义1：设函数
在区间上有定义，
称为上的下凸函数.
，
，有
，当且仅当
时等号成立.
定义2：设函数
在区间上有定义，
称为上的下凸函数.
，有
，当且仅当
时等号成立.将定义1 和定义2 中
的“≤”改为“≥”，则相应地称函数
为上的下凹函数.
可以证明定义1 与定义2 等价.试运用以上信息解答下面的问题：
(1)若
，试根据定义判断
在
上的凹凸性；
(2)已知
为
上的下凸函数，设
，且
，求
的最小值；
(3)设
为大于或等于1 的实数，试根据定义证明：
.（提示：
可设
）
变式7．（2026·上海金山·一模）现给出“
函数”的定义与性质．
定义：若函数
在区间
上连续，且对于区间
内任意两数
，如果都有
成立，则称函数
为区间
上的“
函数”；
性质：若函数
为区间
上的“
函数”，则对于任意
和满足
的正数
，有
成立．
(1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“
函数”（不需要说明理由）
①
；
②
．
(2)若函数
为区间
上的“
函数”，求实数的取值范围；
(3)若
，记
为函数
的图像与轴所围成的图
形面积，当
且
时，求
的最小值．
1．（2026·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学
家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当
时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．12
D．20
2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学
家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当
时即
时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯
西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量
,
,由
得到
,当且仅当
时取等号.现已知
,
,
,则
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设a，b，c 为正数，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知实数a，b，c，d，e 满足
则e 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
6．若实数a，b，c，d 满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．以上答案都不对
7．（2026·浙江·一模）若
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
8．已知，，为非负实数，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，
，，
，则
，当且仅当
时等号成立.根据权方和不等式，函数
的最小值为_____
10．（2026·高三·江苏南通·阶段检测）已知正实数、
且满足
，求
的最小值
___________.
11．已知a，b 为正实数，
，且满足
，则
的最小值为__________.
12．求
的最大值为______________
13．已知正数，
，满足
，则
的最小值为______________
14．设A，B，C 是
的三个内角，则
的最大值是________.
15．权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授
于1985 年命名并系统研究，其二元形式为：
，其中
均为正实数，当且仅当
时，等号成立．更一般的元形式为：
，其中
均为正实数，当且仅当
时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等
式解决下列问题：（其他方法不给分）
(1)已知
均为正实数，且
，求证：
；
(2)已知
均为正实数，且
，求
的最小值；
(3)对任意实数
，
，不等式
恒成立，求正实数a 的取值范围．
16．某数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函
数的图象，例如函数
和
，虽然它们在
上都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通
过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．已知定义：设连续函数
的定义
域为
，如果对于
内任意两数
，
，都有
，则称
为
上的
凹函数；若
，则
为
上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，
小组成员又了解到了琴生不等式：若
是区间
上的凹函数，则对任意的
，
，…，
，
有不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）．
小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问
题时，关键是构造函数．小组成员选择了反比例型函数
来研究函数的凹凸性．
(1)设
，
，…，
，
，且
，求
的最小值．
(2)设，
，…，
为大于或等于1 的实数，证明：
．（提示：可
设
）
17．无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震
撼，“930 烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严
金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名
字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合
唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1 就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，
其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧
棱
交
的延长线于点
，经测量
，且
(1)写出三条正六棱台的结构特征.
(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，
估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：
）
(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的
数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数
，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“.....”
亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下
的最大值吧.
注：可以参考（不限于）下面公式：
①元均值不等式：
②琴生不等式：
若函数
在
上为“凸函数”，且
为
上任意个实数，则
注：
在
是“凸函数”
③柯西不等式：
注：其二元形式为
