文档文本内容
【第9 讲：幂函数的图像与性质】
一．求幂函数的解析式（共4 小题）
二．由幂函数的解析式求解参数（共3 小题）
三．求幂函数的定义域（共2 小题）
四．幂函数型复合函数的定义域（共2 小题）
五．求幂函数的值域（共1 小题）
六．幂函数型复合函数的值域（共4 小题）
七．幂函数图象特征与幂指数的关系（共3 小题）
八．求幂函数及幂函数型复合函数的单调性（共3 小题）
九．由幂函数的单调性求解参数（共4 小题）
十．求幂函数及幂函数型复合函数的最值（共2 小题）
十一．求解幂函数的奇偶性（共3 小题）
十二．幂函数的奇偶性与函数图象的对称性（共5 小题）
【知识点清单】
1.由幂函数的解析式求解参数
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．对于幂函数，我们只研究a
＝1，2，3，1
2，﹣1 时的图像与性质．
【解题方法点拨】
﹣分析幂函数的解析式，代入已知条件，求解参数值．
﹣验证求解结果的正确性，结合实际问题分析幂函数及其应用．
2【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．对于幂函数，我们只研究a
＝1，2，3，1
2，﹣1 时的图像与性质．
幂函数的定义域是指自变量x 取值的范围，对于幂函数y＝xa，定义域与指数a 的取值有关．
【解题方法点拨】
﹣当a 为正整数时，定义域为全体实数，即x∈（﹣∞，+∞）．
﹣当a 为负整数时，定义域为x≠0 的全体实数，即x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
﹣当a 为分数时，若分母为偶数，则定义域为x≥0；若分母为奇数，则定义域为x∈（﹣∞，+∞）．
题型梳理
总览
3．求幂函数的值域
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．对于幂函数，我们只研究a
＝1，2，3，1
2，﹣1 时的图像与性质．
幂函数的值域是指函数输出值的范围，幂函数的值域与指数a 有关．
【解题方法点拨】
﹣当n 为正整数时，值域为全体实数y∈（﹣∞，+∞）．
﹣当n 为负整数时，值域为正实数y∈（0，+∞）．
﹣当n 为正分数时，若分母为偶数，值域为非负实数y∈[0，+∞）；若分母为奇数，值域为全体实数．
4．幂函数型复合函数的值域
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．对于幂函数，我们只研究a
＝1，2，3，1
2，﹣1 时的图像与性质．
幂函数的值域是指函数输出值的范围，幂函数的值域与指数a 有关．
幂函数型复合函数的值域是指函数输出值的范围，涉及复合函数的内外层函数．
【解题方法点拨】
﹣当n 为正整数时，值域为全体实数y∈（﹣∞，+∞）．
﹣当n 为负整数时，值域为正实数y∈（0，+∞）．
﹣当n 为正分数时，若分母为偶数，值域为非负实数y∈[0，+∞）；若分母为奇数，值域为全体实数．
﹣确定内层函数的值域．
﹣将内层函数的值域代入外层幂函数，分析外层函数的值域．
﹣结合内外层函数的值域，确定复合函数的值域．
5．幂函数的图象
【知识点的认识】
6．幂函数图象特征与幂指数的关系
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．对于幂函数，我们只研究a
＝1，2，3，1
2，﹣1 时的图像与性质．
幂函数的图象特征与其幂指数a 密切相关，不同幂指数的幂函数图象有不同的形态．
【解题方法点拨】
﹣当a 为正整数时，图象在第一、三象限呈对称分布．
﹣当a 为负整数时，图象在第二、四象限呈对称分布，且x 越大，y 越小．
﹣当a 为正分数时，图象在第一象限，开口向右上方．
﹣当a 为负分数时，图象在第一、二象限，开口向左下方．
7．求幂函数及幂函数型复合函数的单调性
【知识点的认识】
幂函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y= x
1
2； （5）y＝x﹣1
y＝x
y＝x2
y＝x3
y= x
1
2
y＝x﹣1
定义域
R
R
R
[0，+∞）
{x|x≠0}
值域
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，+∞）
时，增
x∈（﹣∞，0]
时，减
增
增
x∈（0，+∞）
时，减
x∈（﹣∞，
0）时，减
公共点
（1，1）
（0，0）
（1，1）（0，
0）
（1，1）（0，
0）
（1，1）
（0，0）
（1，1）
﹣【解题方法点拨】
﹣分析幂函数的解析式，确定其单调性：当a＞0 时，幂函数单调递增；当a＜0 时，幂函数单调递减．
﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层幂函数的单调性，确定复合函数的整体单调性．
﹣验证单调性的准确性．
【命题方向】
题目通常涉及分析幂函数及其复合函数的单调性，结合解析式和实际问题确定函数的单调区间及性质．
7.由幂函数的单调性求解参数
【知识点的认识】
通过已知幂函数的单调性，反向求解函数的参数值，要求学生理解单调性与参数的关系．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y= x
1
2； （5）y＝x﹣1
y＝x
y＝x2
y＝x3
y= x
1
2
y＝x﹣1
定义域
R
R
R
[0，+∞）
{x|x≠0}
值域
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，+∞）
时，增
增
增
x∈（0，+∞）
时，减
x∈（﹣∞，0]
时，减
x∈（﹣∞，
0）时，减
公共点
（1，1）
（0，0）
（1，1）（0，
0）
（1，1）（0，
0）
（1，1）
（0，0）
（1，1）
﹣【解题方法点拨】
﹣分析已知单调性条件，设定幂函数的形式．
﹣利用单调性条件，求解幂函数的参数．
﹣验证求解结果的正确性．
【命题方向】
题目通常包括通过单调性反求幂函数的参数，结合解析式和实际问题分析单调性及其应用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/6 16:09:37；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663
一．求幂函数的解析式（共4 小题）
1．“m＝﹣3 或m＝2”是“幂函数f ( x)=(m
2+m−5)x
m
2+m为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】求幂函数的解析式；充分不必要条件的判断．
版权所有
【分析】运用幂函数定义及充要条件的定义判断．
【解答】解：由f ( x)=(m
2+m−5)x
m
2+m为幂函数，可得m2+m﹣5＝1，解得m＝﹣3 或m＝2，
且m＝2 时，m2+m＝6，f（x）＝x6为偶函数；当m＝﹣3 时，m2+m＝6，f（x）＝x6也为偶函数，
故“m＝﹣3 或m＝2”是“幂函数f ( x)=(m
2+m−5)x
m
2+m为偶函数”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了偶函数的定义，幂函数的定义，充要条件的定义，是基础题．
2 ．已知幂函数y = x
m
2−3(m∈N
∗)的图象关于y 轴对称，且在（0 ，+∞）上单调递减，则满足
(a+3)
m
5 ＜(1−a)
m
5 的a 的取值范围为（ ）
A．（0，+∞）
B．（1，+∞）
C．（﹣1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）
【考点】求幂函数的解析式；由幂函数的单调性求解参数．
版权所有
【分析】根据幂函数的性质求出m 的值，再根据幂函数的单调性求解不等式．
【解答】解：幂函数y= x
m
2−3在（0，+∞）上单调递减，则m2﹣3＜0，解得−❑√3＜m＜❑√3，
知识讲解与常考题型
题型分类
因为m∈N*，所以m＝1，
此时幂函数为y＝x﹣2，其图象关于y 轴对称，满足条件，所以m＝1，
将m＝1 代入不等式(a+3)
m
5 ＜(1−a)
m
5 ，得(a+3)
1
5 ＜(1−a)
1
5，
因为幂函数y = x
1
5在R 上单调递增，所以a+3＜1﹣a，
解不等式a+3＜1﹣a，得a＜﹣1，
满足不等式的a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质应用问题，是基础题．
3．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm+1的定义域为R，则m 的值为（ ）
A．﹣1
B．3
C．﹣1 或3
D．2
【考点】求幂函数的解析式．
版权所有
【分析】根据幂函数的定义进行求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）为幂函数，且定义域为R，所以m2﹣2m﹣2＝1，且m+1＞0，
得m＝3 或m＝﹣1（舍去）．
故选：B．
【点评】本题主要考查求幂函数的解析式，属于基础题．
4．已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm是R 上的偶函数，且函数g（x）＝f（x）﹣2ax 在区间[1，3]上单
调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．[3，+∞）
B．（﹣∞，1]
C．（﹣∞，1）
D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）
【考点】求幂函数的解析式；由幂函数的单调性求解参数．
版权所有
【分析】根据幂函数的性质得到m＝2，则g（x）＝x2﹣2ax，其对称轴方程为x＝a，根据单调性得到不
等式，求出答案．
【解答】解：因为f（x）＝（m2﹣3m+3）xm是幂函数且为R 上的偶函数，
所以m2﹣3m+3＝1，解得m＝1 或m＝2，
当m＝1 时，f（x）＝x，该函数是奇函数，不合题意；
当m＝2 时，f（x）＝x2，该函数是定义域为R 的偶函数，符合题意，所以f（x）＝x2，
则g（x）＝x2﹣2ax，其对称轴方程为x＝a，
因为g（x）在区间[1，3]上单调递减，则由二次函数的性质，a≥3．
故选：A．
【点评】本题主要考查由函数的单调性求参数取值范围，属于中档题．
二．由幂函数的解析式求解参数（共3 小题）
5．已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）•xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上递增，则实数m＝（ ）
A．﹣1
B．﹣1 或3
C．3
D．2
【考点】由幂函数的解析式求解参数．
版权所有
【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案．
【解答】解：由题意知：m2﹣2m﹣2＝1，即（m+1）（m﹣3）＝0，解得m＝﹣1 或m＝3，
∴当m＝﹣1 时，m﹣2＝﹣3，则f（x）＝x﹣3在（0，+∞）上单调递减，不合题意；
当m＝3 时，m﹣2＝1，则f（x）＝x 在（0，+∞）上单调递增，符合题意，
∴m＝3，
故选：C．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
6．已知幂函数f（x）＝（﹣2m2+m+2）xm+1为偶函数，则实数m 的值为（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．1
D．−1
2或1
【考点】由幂函数的解析式求解参数；奇函数偶函数的性质．
版权所有
【分析】由幂函数的定义，再结合偶函数求解即可．
【解答】解：根据幂函数的定义知，﹣2m2+m+2＝1，整理得2m2﹣m﹣1＝0，解得m＝1 或m=−1
2，
m＝1 时，f（x）＝x2是偶函数，满足题意，
m=−1
2时，f ( x)= x
1
2，定义域为[0，+∞），没有奇偶性，不合题意，
所以m＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
7．已知幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）xa在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g（x）＝bx+a﹣1（b＞0 且
b≠1）的图像过定点 （
1 ，
0 ）
．
【考点】由幂函数的解析式求解参数；指数函数图象特征与底数的关系．
版权所有
【分析】由幂函数的定义和性质求解a 的值，代入g（x）解析式，再结合指数函数的性质求解．
【解答】解：幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）xa在区间（0，+∞）上单调递减，
则a2﹣2a﹣2＝1 且a＜0，
解得a＝﹣1，
所以g（x）＝bx﹣1﹣1（b＞1），
令x﹣1＝0 得x＝1，此时g（1）＝0，
故g（x）＝bx+a﹣1（b＞1）的图像过定点（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题主要考查了幂函数和指数函数的性质，属于基础题．
三．求幂函数的定义域（共2 小题）
8．请写出一个幂函数f（x）满足以下条件：①定义域为[0，+∞）；②f（x）为增函数．则f（x）＝
x
1
2（答案不唯一） ．
【考点】求幂函数的定义域．
版权所有
【分析】根据幂函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据幂函数的性质，f（x）= x
1
2，
故答案为：f（x）= x
1
2（答案不唯一）．
【点评】本题考查幂函数的基本性质，属于基础题．
9．若幂函数f（x）＝xa的图像经过点（3，❑√3），则函数y＝f（x）的定义域为
[0
，
+ ∞）
．
【考点】求幂函数的定义域．
版权所有
【分析】把点的坐标代入幂函数f（x）的解析式，求出a 的值，进而求出函数f（x）的定义域．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xa的图像经过点（3，❑√3），
∴3a= ❑√3，
解得a= 1
2，
∴f（x）= x
1
2 = ❑√x，
∴函数y＝f（x）的定义域为[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
四．幂函数型复合函数的定义域（共2 小题）
10．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，❑√3），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（ ）
A．（﹣2，2）
B．（0，2）
C．（0，2]
D．[0，2]
【考点】幂函数型复合函数的定义域．
版权所有
【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求出f（x）的解析式，从而求出f（x）的定义域，进而求
出函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域．
【解答】解：∵幂函数y＝f（x）的图象过点（3，❑√3），设f（x）＝xα，
∴3α= ❑√3，∴α= 1
2，f（x）= x
1
2 = ❑√x，故该函数的定义域为[0，+∞）．
则对于函数y＝f（x）+f（2﹣x），应有{
x ≥0
2−x ≥0)，求得0≤x≤2，
可得函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为[0，2]．
故选：D．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，函数的定义域的求法，属于基础题．
11．已知幂函数f（x）的图象过点(8，
❑√2
4 )，则f（x﹣2x2）的定义域为（ ）
A．（0，2）
B．(0，1
2 )
C．（0，2]
D．[0，1
2 ]
【考点】幂函数型复合函数的定义域．
版权所有
【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可．
【解答】解：∵f（x）是幂函数，
∴设f（x）＝xm，将(8，
❑√2
4 )代入解析式，
得8
m=
❑√2
4 ，解得m=−1
2，故f ( x)= x
−1
2 = 1
❑√x
，则f ( x−2 x
2)=
1
❑√x−2 x
2，
故x﹣2x2＞0，解得x∈(0，1
2 )．
故选：B．
【点评】本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
五．求幂函数的值域（共1 小题）
12．写出一个同时具有下列三个性质的一个幂函数：
y ＝
x ﹣ 2 （答案不唯一）
．
（1）偶函数；
（2）值域是{y|y＞0}；
（3）在（﹣∞，0）上是增函数．
【考点】求幂函数的值域．
版权所有
【分析】根据幂函数的奇偶性以及单调性，即可直接写出．
【解答】解：函数y＝f（x）＝x﹣2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
显然f (−x)=(−x)
−2=
1
(−x)
2 = x
−2= f ( x)，即函数f（x）是偶函数，
由于x
−2= 1
x
2 ＞0，因此函数f（x）的值域是{y|y＞0}；
函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，
所以y＝x﹣2是同时具有给定三个性质的一个幂函数．
故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
六．幂函数型复合函数的值域（共4 小题）
13．已知函数f ( x)={
−1
x +2，x＜c
x
2−2 x +3，c≤x ≤3)
，若f（x）的值域为[2，6]，则实数c 的取值范围是（ ）
A．[−1，−1
4 ]
B．[−1
4 ，0)
C．[﹣1，0）
D．[−1，−1
2 ]
【考点】幂函数型复合函数的值域．
版权所有
【分析】结合幂函数及二次函数的性质，作出图象，结合图象即可得答案．
【解答】解：因为当x＜c 时，y=−1
x +2，在定义域内单调递增，
且有2≤−1
x +2≤6，解得x≤−1
4 ，即c≤−1
4 ；
又因为当c≤x≤3 时，f（x）＝x2﹣2x+3，
当x＝3 时，y＝6；
当x＝1 时，y＝2；
当x＝﹣1 时，y＝6；
又因为函数的值域为[2，6]，
又因为当x＜0 时，−1
x +2＞2，
所以﹣1≤c≤−1
4 ．
故选：A．
【点评】本题考查了幂函数、二次函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
14．若幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，8），则g( x)=α −x + ❑√x−1的值域为（ ）
A．(−∞，9
4 ]
B．[2，+∞）
C．[ 9
4 ，+ ∞)
D．（﹣∞，2]
【考点】幂函数型复合函数的值域．
版权所有
【分析】先求出α＝3，再结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，8），
则2α＝8，解得α＝3，
g( x)=α −x + ❑√x−1=3﹣x+ ❑√x−1，
令❑√x−1=t，即t≥0，
故y＝3﹣（t2+1）+t＝﹣t2+t+2=−(t −1
2 )
2+ 9
4 ，
当t= 1
2时，y 取得最大值9
4 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂函数的应用，属于基础题．
（多选）15．下列函数中，值域为[1，+∞）的是（ ）
A．f ( x)=
❑√x
2+1
B．f ( x)= 2 x +1
x +1
C．f ( x)= x +1−❑√2 x−1
D．f（x）＝x3+1
【考点】幂函数型复合函数的值域．
版权所有
【分析】结合二次函数，幂函数，反比例函数的性质先求出各选项中函数的值域，然后检验各选项即可
判断．
【解答】解：A：f（x）=
❑√x
2+1≥1，符合题意；
B：f（x）= 2 x +1
x +1 =2−
1
x +1 ≠2，不符合题意；
C：令t= ❑√2 x−1，则x= 1+t
2
2
且t≥0，
所以y＝1+ 1+t
2
2
−t= 1
2 (t
2−2t +3)= 1
2（t﹣1）2+1≥1，符合题意；
根据幂函数性质可得f（x）＝1+x3的值域为R，不符合题意．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了函数值域的求解，熟练掌握函数值域的求解方法是解决问题的关键．
16．已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1（m∈R）为幂函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m 的值，并写出f（x）的解析式；
（2）令g( x)= ❑√f ( x)−❑√2 x +1，x∈[−1
2 ，1]，求g（x）的值域．
【考点】幂函数型复合函数的值域．
版权所有
【分析】（1）由幂函数的定义可得m2﹣2m﹣2＝1，再结合f（x）的单调性，可求出m 的值，进而得到
f（x）的解析式．
（2）分x∈[−1
2，0]和x∈[0，1]两段，利用换元法，结合二次函数的性质，求出f（x）的值域即可．
【解答】解：（1）由题意可知m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝﹣1 或3，
又∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m﹣1＞0，即m＞1，
∴m＝3，f（x）＝x2．
（2）g（x）=
❑√x
2−❑√2 x +1=|x|−❑√2 x +1，x∈[−1
2，1]，
①当x∈[−1
2，0]时，g（x）＝﹣x−❑√2 x +1在[−1
2，0]上单调递减，
∴g（0）≤g（x）≤g（−1
2），
即﹣1≤g（x）≤1
2，
②当x∈[0，1]时，g（x）＝x−❑√2 x +1，
设u= ❑√2 x +1，u∈[1，❑√3]，则x= u
2−1
2
，
∴y＝x−❑√2 x +1= u
2−1
2
−u= 1
2 u
2−u−1
2 = 1
2 (u−1)
2−1∈[﹣1，1−❑√3]，
此时g（x）∈[﹣1，1−❑√3]，
综上所求，g（x）的值域为[﹣1，1
2]．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了求函数的值域，属于中档题．
七．幂函数图象特征与幂指数的关系（共3 小题）
17．下列关于幂函数y＝xα的描述中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1）
B．幂函数的图象不经过第三象限
C．当指数α 取1，3，1
2时，幂函数y＝xα是其定义域上的严格增函数
D．若幂函数的图像过点( 1
4 ，8)，则它的图像也经过点(9，1
18 )
【考点】幂函数图象特征与幂指数的关系；幂函数的图象．
版权所有
【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可．
【解答】解：对于A，y= 1
x 不过原点，故A 错误；
对于B，y＝x 过第三象限，故B 错误；
当α＝3，幂函数为y＝x3，在定义域单调递增，
当α＝1，幂函数为y＝x，在定义域单调递增，
当α = 1
2，幂函数为y = x
1
2，在定义域单调递增，故C 正确；
若幂函数的图像过点( 1
4 ，8)，则8=( 1
4 )
α
⇒α =−3
2，
所以幂函数为y = x
−3
2，当x＝9 时，此时y = 1
27 ，故D 错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
18．图中C1、C2、C3分别为幂函数y = x
α1，y = x
α2，y = x
α3在第一象限内的图像，则α1，α2，α3依次可以
是（ ）
A．3，1
2，﹣1
B．3，﹣1，1
2
C．1
2，3，﹣1
D．1
2，﹣1，3
【考点】幂函数图象特征与幂指数的关系．
版权所有
【分析】利用幂函数的图象与性质求解．
【解答】解：C1、C2、C3分别为幂函数y = x
α1，y = x
α2，y = x
α3在第一象限内的图像，如图，
数形结合得：
α3＜0，0＜α2＜1＜α1，
∴α1，α2，α3依次可以是3，1
2，﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，则①对应的幂函数可以是（ ）
A．y = x
−1
2
B．y = x
2
3
C．y = x
3
4
D．y = x
3
2
【考点】幂函数图象特征与幂指数的关系．
版权所有
【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可．
【解答】解：如图，①②③④对应四个幂函数的图像，
由图可知，①对应的幂函数，
函数的定义域为[0，+∞），在第一象限内单调递增，
且图象呈现上凸趋势，则指数α 的值满足0＜α＜1，故排除选项AD；
∵y = x
2
3 =
3√x
2的定义域为R，∴y = x
2
3不符合题意，故排除选项B；
y = x
3
4 =
4√x
3的定义域为[0，+∞），y = x
3
4符合题意，故C 正确．
故选：C．
【点评】本题考查幂函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
八．求幂函数及幂函数型复合函数的单调性（共3 小题）
20．已知幂函数f（x）的图象经过点(2，1
4 )，则f（x）（ ）
A．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增
B．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减
C．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增
D．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减
【考点】求幂函数及幂函数型复合函数的单调性．
版权所有
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质，即可求解．
【解答】解：设幂函数为f（x）＝xα，
幂函数f（x）的图象经过点(2，1
4 )，
则2
α = 1
4 ，解得α＝﹣2，
故f（x）＝x﹣2，
所以f（x）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减．
故选：B．
【点评】本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
（多选）21．下列大小关系正确的是（ ）
A．( 2
3 )
3
2 ＜( 2
3 )
4
3
B．( 3
5 )
1
2 ＜( 1
2 )
3
5
C．( 2
5 )
1
5 ＜( 2
3 )
2
5
D．( 3
2 )
−1
2 ＞( 5
4 )
−1
2
【考点】求幂函数及幂函数型复合函数的单调性；求指数函数及指数型复合函数的单调性．
版权所有
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：对于A，因为y=( 2
3 )
x
是定义域R 上的减函数，且3
2 ＞4
3 ，所以( 2
3 )
3
2 ＜( 2
3 )
4
3，选项A 正
确；
对于B，根据幂函数y= x
1
2是定义域[0，+∞）上的单调增函数，得( 3
5 )
1
2 ＞( 1
2 )
1
2，
根据指数函数y=( 1
2 )
x
是定义域R 上的减函数，得( 1
2 )
1
2 ＞( 1
2 )
3
5，
所以( 3
5 )
1
2 ＞( 1
2 )
3
5，选项B 错误；
对于C，因为( 2
3 )
2
5 =( 4
9 )
1
5，且2
5 ＜4
9 ，所以( 2
5 )
1
5 ＜( 4
9 )
1
5 =( 2
3 )
2
5，选项C 正确；
对于D，因为幂函数y= x
−1
2在（0，+∞）单调递减，且3
2 ＞5
4 ，所以( 3
2 )
−1
2 ＜( 5
4 )
−1
2，选项D 错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了利用函数的单调性判断大小的问题，是基础题．
22．已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，则不等式f（2﹣x）＞1 的解集是
（
1 ，
2 ）
．
【考点】求幂函数及幂函数型复合函数的单调性．
版权所有
【分析】根据幂函数的定义求得m＝1 或m＝3，然后利用单调性得m＝﹣1，然后代入解析式，解不等
式即可．
【解答】解：因为f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2是幂函数，
所以m2﹣4m+4＝1，即m2﹣4m+3＝0，
解得m＝1 或m＝3．
又因为f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以m﹣2＜0，m＜2，
解得m＝1，则f ( x)= 1
x ．
由f (2−x)=
1
2−x ＞1，
即
1
2−x −1= x−1
2−x ＞0，
解得1＜x＜2，
所以不等式f（2﹣x）＞1 的解集是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了幂函数的性质、分式不等式的解法，属于基础题．
九．由幂函数的单调性求解参数（共4 小题）
23．已知幂函数f（x）＝（3m2﹣7m﹣5）xm﹣1在（0，+∞）上是增函数，则m＝（ ）
A．−2
3或3
B．−2
3
C．3
D．1
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
版权所有
【分析】根据幂函数的定义和其单调性进行求解．
【解答】解：由题意得，3m2﹣7m﹣5＝1，解得m＝3 或m=−2
3，又f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以m﹣1＞0，
故m＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查由幂函数的单调性求参数，属于中档题．
24．已知幂函数f ( x)=(2a
2+a)x
a−1
3在定义域内单调递增，则a＝（ ）
A．﹣1
B．1
4
C．1
2
D．2
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
版权所有
【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得即可．
【解答】解：因为幂函数f ( x)=(2a
2+a)x
a−1
3在定义域内单调递增，
所以2a2+a＝1，且a−1
3 ＞0，解得a= 1
2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂函数定义及性质的应用，属于基础题．
25．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm+2在（0，+∞）上单调递增，则m 的值为（ ）
A．1
B．﹣3
C．﹣4
D．1 或﹣3
【考点】由幂函数的单调性求解参数；求幂函数的解析式．
版权所有
【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于m 的方程和不等式即可求解．
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm+2在（0，+∞）上单调递增，
所以{
m
2+2m−2=1
m+2＞0 )，
解得m＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
26．幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm，∀x1，x2∈（0，+∞）都有
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＜0成立，则下列说法正确
的是（ ）
A．m＝2
B．m＝2 或m＝﹣1
C．f（x）是偶函数
D．f（x）是奇函数
【考点】由幂函数的单调性求解参数；奇函数偶函数的判断．
版权所有
【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到m 的值，再根据奇偶性定义可得到结果．
【解答】解：因为f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，
所以m2﹣m﹣1＝1，
解得m＝﹣1 或m＝2，
因为∀x1，x2∈（0，+∞），都有
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＜0成立，
所以函数f（x）在（0，+∞）是减函数，
所以m＜0，
所以m＝﹣1，故A 错误，B 错误；
所以f ( x)= x
−1= 1
x ，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
又f (−x)= 1
−x =−f ( x)，
所以f（x）是奇函数，故D 正确，C 错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
十．求幂函数及幂函数型复合函数的最值（共2 小题）
27．设幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣2在（0，+∞）单调递增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设不等式f（x）≤4x+5 的解集为函数g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]的定义域，记g（x）
的最小值为h（a），求h（a）的解析式．
【考点】求幂函数及幂函数型复合函数的最值．
版权所有
【分析】（1）根据幂函数的定义形式和单调性，即可得到解析式；
（2）解出不等式，得到函数定义域，则题目转化为求含参二次函数在定区间上的最小值，分类比较对
称轴和区间的关系，即可求得h（a）的解析式．
【解答】解：（1）∵f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣2是幂函数且在（0，+∞）单调递增，
∴{
m
2−3m−3=1
m−2＞0 )，解得m＝4，∴f（x）＝x2．
（2）f（x）≤4x+5 即x2﹣4x﹣5≤0，解得﹣1≤x≤5，
∴g（x）的定义域为[﹣1，5]，
g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]＝2x2+a[（x+1）2﹣x2]＝2x2+2ax+a，
对称轴为x=−a
2，
当−a
2 ≤−1，即a≥2 时，g（x）min＝g（﹣1）＝2﹣2a+a＝2﹣a；
当−1＜−a
2 ＜5，即﹣10＜a＜2 时，g( x)min= g(−a
2 )=2×(−a
2 )
2+2a×(−a
2 )+a=−a
2
2 +a；
当−a
2 ≥5，即a≤﹣10 时，g( x)min= g(5)=2×5
2+2a×5+a=11a+50．
所以，ℎ(a)={
11a+50，a≤−10
−a
2
2 +a，−10＜a＜2
2−a，a≥2
)
．
【点评】本题考查幂函数的图象和性质，以及二次函数在闭区间上的最值求法，考查分类讨论思想、方
程思想和运算能力，属于中档题．
28．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1，且f（x）＝f（﹣x）．
（1）求函数f（x）的解析式：
（2）若g（x）=
f ( x)
f ( x)+1，a，b 均为正数且g（a）+g（b）＝1，求f（a）+f（b）的最小值．
【考点】求幂函数及幂函数型复合函数的最值．
版权所有
【分析】（1）根据幂函数的定义和偶函数的性质得出m 满足的关系，解之即可；
（2）由条件得到a 与b 的关系，再根据基本不等式得到目标式的最值．
【解答】解：（1）由于f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1是幂函数，且f（x）＝f（﹣x），则m2﹣5m+7＝1
且m﹣1 为偶数，即m2﹣5m+6＝0 且m 为奇数，故m＝3，于是f（x）的解析式为：f（x）＝x2：
（2 ）g （x ）=
f ( x)
f ( x)+1 =
x
2
x
2+1
=1−
1
x
2+1
，由于g （a ）+g （b ）＝1 ，即
1
a
2+1
+
1
b
2+1
=1，即
a
2+b
2+2=(a
2+1)(b
2+1)≤( a
2+b
2+2
2
)
2，故a2+b2+2≥4，故f（a）+f（b）＝a2+b2≥2，当且仅当a＝
b＝1 取等号，故f（a）+f（b）的最小值为2．
【点评】本题考查幂函数的基本概念与性质，以及基本不等式求最值，属于中档题．
十一．求解幂函数的奇偶性（共3 小题）
（多选）29．已知函数f ( x)=(m−1)x
m
2−m为幂函数，则（ ）
A．函数f（x）为奇函数
B．函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增
C．函数f（x）为偶函数
D．函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减
【考点】求解幂函数的奇偶性．
版权所有
【分析】由已知结合幂函数定义先求出m，然后结合幂函数性质检验各选项即可判断．
【解答】解：因为f ( x)=(m−1)x
m
2−m为幂函数，
所以m﹣1＝1，即m＝2，
此时f（x）＝x2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，A 错误，B 正确，C 正确，D 错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了幂函数定义及性质的应用，属于基础题．
30．若幂函数f ( x)=(n
2+n−1)x
n
2−2n(n∈Z )是奇函数，则n＝
1
．
【考点】求解幂函数的奇偶性．
版权所有
【分析】根据函数为幂函数，则n2+n﹣1＝1，解出n，代入函数，分别检验即可．
【解答】解：根据幂函数的定义知，令n2+n﹣1＝1，解得n＝﹣2 或n＝1，
当n＝﹣2 时，n2﹣2n＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝8，f（x）＝x8，是定义域R 上的偶函数，不合题意；
当n＝1 时，n2﹣2n＝12﹣2×1＝﹣1，f（x）＝x﹣1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
且f（﹣x）＝（﹣x）﹣1＝﹣x﹣1＝﹣f（x），是奇函数，满足题意；
综上，n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质应用问题，是基础题．
31．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm﹣1为偶函数，且在（0，+∞）上严格单调递减，则实数m 的值为
﹣
1
．
【考点】求解幂函数的奇偶性．
版权所有
【分析】由幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm﹣1为偶函数，且在（0，+∞）上严格单调递减，可得m2﹣
m﹣1＝1，m﹣1＜0 且m﹣1 为偶数．解出即可．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm﹣1为偶函数，且在（0，+∞）上严格单调递减，
∴m2﹣m﹣1＝1，m﹣1＜0 且m﹣1 为偶数．
解得m＝﹣1 或2，
只有m＝﹣1 时满足m﹣1＜0 且m﹣1 为偶数．
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了幂函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
十二．幂函数的奇偶性与函数图象的对称性（共5 小题）
32．若f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm 为幂函数，且函数y＝f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1 对称，则m＝（
）
A．﹣1
B．1
C．﹣2
D．2
【考点】幂函数的奇偶性与函数图象的对称性；求幂函数的解析式．
版权所有
【分析】由幂函数的定义列出等式求得m，再结合对称性判断即可．
【解答】解：根据幂函数的定义知，m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2 或m＝﹣1．
当m＝﹣1 时，f（x）＝x﹣1，y＝f（x+1）＝（x+1）﹣1，图象不关于直线x＝﹣1 对称；
当m＝2 时，f（x）＝x2，y＝f（x+1）＝（x+1）2，图象关于直线x＝﹣1 对称；
综上，m 的值为2．
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质应用问题，是基础题．
33．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1（m∈R）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是减函数，则
m＝（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．3
【考点】幂函数的奇偶性与函数图象的对称性；求幂函数及幂函数型复合函数的单调性．
版权所有
【分析】利用幂函数的定义与性质即可得解．
【解答】解：因为f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1是幂函数，
所以m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝3 或m＝﹣1，
又f（x）在（0，+∞）上是减函数，则m﹣1＜0，即m＜1，
所以m＝﹣1，此时f（x）＝x﹣2，易知其为偶函数，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题．
34．已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+3为偶函数，则2m+log2m＝（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【考点】幂函数的奇偶性与函数图象的对称性；幂函数的特征及辨识．
版权所有
【分析】利用幂函数的定义与奇偶性求得m，从而得解．
【解答】解：因为函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+3为幂函数，
所以m2﹣3m+3＝1，解得m＝1 或m＝2，
又因为f（x）为偶函数，所以m＝1，
所以2
m+lo g2m=2
1+lo g21=2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了幂函数定义及性质的应用，属于基础题．
（多选）35．已知幂函数f ( x)= x
n
m（m，n∈N*，m，n 互质），下列关于f（x）的结论正确的是（ ）
A．m，n 是奇数时，幂函数f（x）是奇函数
B．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数f（x）是偶函数
C．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数f（x）是偶函数
D．0＜m
n ＜1时，幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数
【考点】幂函数的奇偶性与函数图象的对称性；求解幂函数的奇偶性．
版权所有
【分析】根据题意，由幂函数的性质依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，幂函数f ( x)= x
n
m =
m√x
n，（m，n∈N*，m，n 互质），
依次分析选项：
对于A，函数f（x）=
m√x
n，当m，n 是奇数时，f（x）的定义域为R，有f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为
奇函数，A 正确；
对于B，函数f（x）=
m√x
n，当m 是偶数，n 是奇数时，f（x）的定义域为[0，+∞），f（x）既不是奇函
数也不是偶函数，B 错误；
对于C，函数f（x）=
m√x
n，当m 是偶数，n 是奇数时，f（x）的定义域为R，有f（﹣x）＝f（x），f
（x）为偶函数，C 正确；
对于D，当0＜m
n ＜1时，幂函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，D 错误．
故选：AC．
【点评】本题考查幂函数的奇偶性和单调性，注意幂函数的性质，属于基础题．
36．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是
2
．
【考点】幂函数的奇偶性与函数图象的对称性．
版权所有
【分析】结合幂函数的定义、奇偶性来求m 的值．
【解答】解：f（x）是幂函数，所以m2﹣5m+7＝1，m2﹣5m+6＝0，解得m＝2 或m＝3，
当m＝2 时，f（x）＝x2 为偶函数，符合题意．
当m＝3 时，f（x）＝x3为奇函数，不符合题意．
综上所述，m 的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题．
一、单选题
1．已知点
在幂函数
的图象上，设
，
，则
的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上单调递减，则满足
的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知幂函数
在
上单调递增，函数
时，总存在
使得
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下面给出4 个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（ ）
A．①
，②
，③
，④
B．①
，②
，③
，④
C．①
，②
，③
，④
课后针对训练
D．①
，②
，③
，④
.
5．若直线
与幂函数
的图象依次交于不同的三点
，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．以上说法都不正确
6．若直线
与幂函数
，
，
的图象从左到右依次交于不同的三点
，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
在其定义域上单调递减
C．
D．
10．已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调递减，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数
过点
，则
B．函数
表示幂函数
C．若幂函数
在
单调递增，则
D．幂函数的图象都过点
和
12．已知幂函数
的图象经过点
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域是
C．
为奇函数
D．
为定义域上的减函数
13．已知幂函数
，则（ ）
A．
B．
的定义域为
C．
为非奇非偶函数
D．不等式
的解集为
14．已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的图象都经过点
B．函数
的图象不经过第四象限
C．若
，则函数
在
上单调递增
D．若
，则对任意实数
，有
三、填空题
15．已知幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上单调递减，则满足
的实数
的取值范围为 ．
16．请写出一个幂函数
满足以下两个条件：①定义域为
；②
为减函数，则
.
17．函数
的值域为 ．
18．函数
图象的对称中心坐标是 ；函数
的值域是 ．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
D
A
D
D
C
A
题号
11
12
13
14
答案
AC
AB
AB
BCD
1．D
【分析】根据已知条件求出
的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项.
【详解】由于点
在幂函数
的图象上，所以
在
上单
调递减．
由于
，所以
，
又
，所以
，
所以
，即
故选：D
2．D
【分析】根据幂函数的性质求出
的值，再根据幂函数的单调性求解不等式.
【详解】已知幂函数
在
上单调递减，则
解不等式得：
，所以
此时幂函数为
，其图像关于
轴对称，满足条件，所以
将
代入不等式
，得：
因为幂函数
在
上单调递增，所以由
可得：
解不等式
，得：
满足不等式的
的取值范围是
故选：D.
3．B
【分析】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数，利用函数单调性求最值或值域．
【详解】由已知
，得
或
．当
时，
，当
时，
．
又
在
单调递增，
，
在
上的值域为
在
上的值域为
，
因为函数
时，总存在
使得
，
是
的子集，
，即
．
故选：B．
4．B
【分析】根据幂函数的性质逐一验证即可求解.
【详解】图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D．
图象②中幂函数是偶函数且在第一象限单调递增，幂指数必为正偶数，排除C．
故选：B.
5．D
【分析】根据题给条件写出
三点的坐标，计算
的长度逐一判断即可.
【详解】
因为
，由
得
；
得
；
得
.
则
.
因为
，所以
是关于
的减函数.
因为
，所以
，则
.
故以上选项都不对.
故选：D.
6．A
【分析】求得交点
的横坐标，比较大小可求
.
【详解】当
时，由
，得
；由
，得
；由
，得
.
因为
，所以
是关于
的减函数.
又
，所以
，所以
.
故选：A.
7．D
【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性即可判断.
【详解】方法一:因为指数函数
是增函数，且
，所以
，即
；
因为函数
是减函数，且
，所以
，即
.
综上，
．
方法二 因为函数
是增函数，且
，所以
，即
；
因为幂函数
在
上单调递增，且
，所以
，即
．
综上，
．
故选：D.
8．D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式.
【详解】由于
，所以
是偶函数，
又因为
，由当
时，
在
上是减函数，
所以
在
上是减函数，
则
，可得
，
平方得：
，解得
，
故选：D.
9．C
【分析】由幂函数的定义求出
，由函数奇偶性得到A 错误，求出定义域，求导得到函数的单调性，
从而判断BCD.
【详解】因为
是幂函数，根据幂函数的定义可知
，
当
时，
，等式成立，
因为
在R 上单调递增，故
为唯一解.
此时
，其定义域为
.
A 选项，
，所以
是偶函数，A 选项错误.
B 选项，对
求导，可得
.
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在其定义域上不单调递减的，B 错误；
C 选项，
，
在
上单调递减.
因为
，所以
，即
，C 选项正确.
D 选项，
，
在
上单调递增，
，
所以
，即
，D 错误.
故选：C.
10．A
【分析】根据幂函数的性质得到
，则
，其对称轴方程为
，根据单调性得到不等
式，求出答案.
【详解】因为幂函数
是
上的偶函数，
则
，解得
或
，
当
时，
，该函数是奇函数，不合乎题意；
当
时，
，该函数是定义域为
的偶函数，合乎题意，所以
，
则
，其对称轴方程为
，
因为
在区间
上单调递减，则
.
故选：A.
11．AC
【分析】对于A，利用待定系数法求解判断，对于B，根据幂函数的定义分析判断，对于C，根据幂函数
的性质分析判断，对于D，举例判断即可.
【详解】对于A，设幂函数为
，则
，所以
，所以A 正确，
对于B，因为
的系数为2，所以函数
不是幂函数，所以B 错误，
对于C，因为幂函数
在
单调递增，
所以
，解得
，所以C 正确，
对于D，因为幂函数
的图象不过
，所以D 错误.
故选：AC
12．AB
【分析】根据题意求得
.对于AB：根据函数解析式求定义域和值域；对于CD：举反例说明即可.
【详解】设幂函数
，
因为幂函数
的图象经过点
，
则
，可得
，即
，
对于选项A：令
，可得
，
所以
的定义域为
，故A 正确；
对于选项B：因为
，则
，可得
，
所以
的值域是
，故B 正确；
对于选项CD：因为
，
所以
不为奇函数，且在定义域内不为减函数，故CD 错误；
故选：AB.
13．AB
【分析】根据幂函数得
，进而确定其定义域、奇偶性、区间单调性，并应用单调性解不等式判断各
项正误.
【详解】对于A：由题意
，解得
，正确；
对于B：
的定义域为
，正确；
对于C：
，所以函数
为偶函数，错误；
对于D：
为偶函数且在
单调递增，
由
得
，解得
或
，错误；
故选：AB
14．BCD
【分析】A 选项，举出反例；B 选项，
时，
，B 正确；C 选项，根据幂函数性质得到C 正确；D
选项，作差法比较出大小.
【详解】A 选项，当
时，
，不经过原点，A 错误；
B 选项，当
时，
，故图象不经过第四象限，B 正确；
C 选项，若
，则函数
在
上单调递增，C 正确；
D 选项，
，
，
，
故
，当且仅当
时，等号成立，
故
，D 正确.
故选：BCD
15．
【分析】先根据幂函数单调性和对称性求得
，然后探究函数
的性质，利用单调性解不等式组
即可求解.
【详解】因为幂函数
在
上单调递减，所以
，解得
，
又
，所以
．
又幂函数
的图象关于
轴对称，所以
为偶数，
所以
，故不等式为
，
因为函数
的定义域为
，且在
和
上单调递减，
当
时，
，当
时，
，
故不等式
可化为
或
或
，解得
或
，
即实数
的取值范围为
．
故答案为：
16．
（答案不唯一）.
【分析】举例
，再分析其定义域与单调性即可.
【详解】举例
，其定义域为定义域为
，且
为减函数，
故答案为：
（答案不唯一）.
17．
【分析】分
和
两种情况，结合幂函数以及指数函数单调性求值域.
【详解】若
，则
，可知
在
内单调递减，
当
时，
；当
时，
；
所以
；
若
，则
，
对于
，可知
在
内单调递增，
当
时，
；当
时，
；
所以当
时，
；
综上所述：函数
的值域为
.
故答案为：
.
18．
【分析】将函数解析式变形为
，结合图象的平移得到其对称中心；又
，结合不等式的性质求出函数的值域.
【详解】因为
，
将奇函数
图象向左平移个单位，再向上平移
个单位得到
图象，
所以
图象的对称中心为
；
，因为
，所以
，
则
，所以
.
故答案为：
；
