文档文本内容
第 01 讲 函数的概念及其表示
目录
第一部分：基础知识..............................................................1
第二部分：高考真题回顾..........................................................3
第三部分：高频考点一遍过........................................................4
高频考点一：函数的概念......................................................4
高频考点二：函数定义域......................................................6
角度1：具体函数的定义域.................................................6
角度2：抽象函数定义域...................................................6
角度3：已知定义域求参数.................................................7
高频考点三：函数解析式......................................................9
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）.....................................9
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）..................................10
角度3：待定系数法......................................................11
角度4：方程组消去法....................................................12
高频考点四：分段函数.......................................................15
角度1：分段函数求值....................................................15
角度2：已知分段函数的值求参数..........................................16
角度3：分段函数求值域（最值）..........................................17
高频考点五：函数的值域.....................................................20
角度1：二次函数求值域..................................................20
角度2：分式型函数求值域................................................21
角度3：根式型函数求值域................................................22
角度4：根据值域求参数..................................................23
第四部分：典型易错题型.........................................................27
备注：求函数解析式容易忽略定义域...........................................27
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“ ”的取值范围叫定义域........28
第五部分：新定义题（解答题）...................................................29
第一部分：基础知识
1、函数的概念
设 、 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在
集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么称 为从集合 到集合 的一个函数，记作
， .
其中： 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法
就是把变量 ， 之间的关 就是把 ， 之间的关系绘
就是将变量 ， 的取值列
系用一个关系式 来 制成图象，图象上每个点的
成表格，由表格直接反映出
表示，通过关系式可以由 坐标就是相应的变量 ，
两者的关系.
的值求出 的值. 的值.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4) 的定义域是 .
(5) ( 且 )， ， 的定义域均为 .
(6) ( 且 )的定义域为 .
(7) 的定义域为 .
5.2函数求值域
（1）分离常数法：
将形如 ( )的函数分离常数，变形过程为：
，再结合 的取值范围确定 的取值范围，从而确定
函数的值域.
（2）换元法：如：函数 ，可以令 ，得到 ，函数
可以化为 ( )，接下来求解关于t的二次函数的值域问
题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）已知函数 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把 代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数 ，所以 .
故答案为：1
2．（2022·北京·统考高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论，可知， 符合条件， 不符合条
件， 时函数 没有最小值，故 的最小值只能取 的最小值，根据定义域讨论可知
或 ， 解得 .
【详解】解：若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题
目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，当 时，
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的概念
典型例题
例题1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中学校考阶段练习）下列四个图形中，不是以 为自变量
的函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数定义作出判断.
【详解】根据函数定义，在定义域内，对于任意的 ，只能有唯一确定的 与其对应，ABC满足要求，
D选项，在定义域内对于 ，有两个确定的 与其对应，D错误.
故选：D
例题2．（2024上·四川泸州·高一统考期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花 ”根据函数的概念判
断：下列对应关系是集合 到集合 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，集合 中的元素 按对应关系 ，在集合 中没有元素与之对应，A不是；
对于B，集合 中的元素 按对应关系 ，在集合 中没有元素与之对应，B不是；
对于C，集合 中的每个元素按对应关系 ，在集合 中都有唯一元素与之对应，C是；
对于D，集合 中的元素 按对应关系 ，在集合 中没有元素与之对应，D不是.
故选：C
练透核心考点
1．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数 的对应关系如下表所示，函数
的图象是如下图所示，则 的值为（ ）
1 2 3
4 3
A． B．0 C．3D．4
【答案】D
【分析】观察函数图象得 ，再利用数表求解即得.
【详解】观察函数 的图象，得 ，由数表得 ，
所以 .
故选：D
2．（多选）（2024上·陕西安康·高一校考期末）下列各图中，是函数 图象的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个 值都有唯一的一个 值与之对应，
可看出BD满足.
故选：BD
高频考点二：函数定义域
角度1：具体函数的定义域
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数 的定义域为（ ）
A． 且 B． C． D．
【答案】C
【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.
【详解】由题得 ，解得 ，即函数 的定义域为 .
故选：
例题2．（2024上·北京东城·高三统考期末）函数 的定义域为 .
【答案】
【分析】根据分式的分母不为 ，对数的真数大于 求解即可.
【详解】 ，
解得 且 ，函数 的定义域为 .
故答案为： .
角度2：抽象函数定义域
典型例题
例题1．（2024上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数 的定义域是 ，则
的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数的定义域可得 满足 ，结合根式的意义即可求解.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以 满足 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，解得 .
所以函数 的定义域为 .
故选：D.
例题2．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）若幂函数 的图象过点 ，则
的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据幂函数 的图象过点 求出 的值，即可求出 的定义域，再根据抽
象函数的定义域计算规则得到 ，解得即可.
【详解】设 ，依题意可得 ，解得 ，所以 ，
所以 的定义域为 ，值域为 ，且 ，对于函数 ，则 ，解得 ，
即函数 的定义域是 .
故选：B
角度3：已知定义域求参数
典型例题
例题1．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数 的定义域是R，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答.
【详解】依题意， ，不等式 恒成立，
当 时， 恒成立，则 ，
当 时，有 ，解得 ，则 ，因此
所以 的取值范围是
例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则 的值为
．
【答案】
【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．
【详解】由题意 的解是 ，
所以 ，解得 ， ，所以 ．
故答案为： ．
练透核心考点
1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函数 的定义域为 ，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 ，再解不等式组即可.
【详解】根据题意可得 ，解得 且 ．
故选：C
.
故选：C
2．（2024上·山西长治·高一校联考期末）函数 的定义域为 .
【答案】
【分析】根据根号下部分大于等于0建立不等式求解即可.
【详解】令 ，则 或 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意转化为 在 恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求
解.
【详解】由函数 的定义域为 ，即 在 恒成立，
结合一元二次方程的性质，则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
4．（2024·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，则实数 的值为 ．
【答案】【分析】函数定义域满足 ，根据解集结合根与系数的关系解得答案.
【详解】 的定义域满足： ，解集为 ，
故 且 ，解得 .
故答案为：
高频考点三：函数解析式
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知 ，则函数 ， = ．
【答案】 11
【分析】利用换元法可求出 ，进一步可得 .
【详解】令 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为： ； .
例题2．（2024上·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校联考期末）已知 （a，b均为常
数），且 ．
(1)求函数 的解析式；
【答案】(1)
【分析】（1）由 ，代入函数解析式求出 ，得函数 的解析式；
【详解】（1）由 ，得 ，即 ，
由 ，
可得 解得
所以角度2：换元法求解析式（换元必换范围）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据换元法求函数解析式.
【详解】令 ，可得 .
所以 ，
因此 的解析式为 .
故选：D.
例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，求 的解析式.
【答案】
【分析】令 ，则 ，代入函数解析式可得解.
【详解】由 ，令 ，则 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查了已知 的解析式求 解析式的求解，解题的关键是换元法，但是需要主
要定义域的变化，属于基础题
角度3：待定系数法
典型例题例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数 是一次函数，且 ，则 （ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】A
【分析】设 ，根据 恒成立可得a，b，然后可解.
【详解】设 ，
则 ，
整理得 ，
所以 ，解 ，
所以 ，所以 .
故选：A
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）设二次函数 满足 ，且 ，求 的
解析式.
【答案】
【分析】根据题意设 ，由 求出c，由 可求得 ，即可得答
案.
【详解】设二次函数为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，
即 ，
所以 ，解得： ，
所以函数解析式为 .
角度4：方程组消去法
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知 满足 ，则 解析式为 ．
【答案】【分析】用 代 得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式.
【详解】由 ①
用 代 可得， ②
由 ① ②可得：
故答案为：
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）已知 ，求函数 的解析式．
【答案】
【分析】通过构造方程组的方法来求得 的解析式.
【详解】 ①，
以 替换 ，得 ②，
得： ，
所以 .
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：D.
2．（2024·江苏·高一专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法直接求解即可.
【详解】令 ， ，则 ， ，
所以 ，
所以 的解析式为：
故选：B.
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数 满足方程 且 ，则：
（1） ；（2） ．
【答案】
【分析】令 可得 ；用 替换 ，再解方程组可得答案.
【详解】令 可得： ，所以 ；
由 ①得， ②，
联立①②可得： .
故答案为：① ；② .
4．（2024·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 满足 ，则
.
【答案】
【解析】由题意利用方程思想求得函数的解析式即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
同除以2得 ，
两式相加可得 ，即 .
故答案为： .
【点睛】求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与 或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，
通过解方程组求出f(x)．
5．（2024·江苏·高一专题练习）求下列函数的解析式
(1)设函数 是一次函数，且满足 ，求 的解析式
(2)设 满足 ，求 的解析式
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）利用消元法求函数解析式.
【详解】（1）设一次函数 的解析式为 ，
则 ，
所以 ，解得 ，或 ，
所以 或 .
（2）由 ①，
得 ②，
① ②得 ，
即 .
6．（2024·江苏·高一专题练习）（1）已知 是一次函数，且满足 ，求 的
解析式；
（2）已知 ，求 的解析式；
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）设出 ，根据题目条件得到方程组，求出 ， ，得到函数解析式；
（2）换元法求出函数解析式，注意自变量取值范围.
【详解】（1）由题意，设函数为 ，
，
，
即 ，由恒等式性质，得 ，
， ，
所求函数解析式为
（2）令 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 .
高频考点四：分段函数
角度1：分段函数求值
典型例题
例题1．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）已知函数 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】由题意首先将 代入得 的值，进一步将 代入即可求解.
【详解】由题意 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
例题2．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知函数 ，则．
【答案】
【分析】由 ，从而可求解.
【详解】由题意知当 ， ，则 ，
所以 .
故答案为： .
角度2：已知分段函数的值求参数
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 且 ，则
（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
【答案】C
【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
故选：C
例题2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）已知函数 若 ，则实数
的值为 ．
【答案】
【分析】利用分段函数求解即可.
【详解】 ， ， ．
故答案为：角度3：分段函数求值域（最值）
典型例题
例题1．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一，根据题意，分别求出当 时与当 时的最值，即可得到分段函数的值域；
法二，画出 的草图，数形结合可求出值域；
【详解】法一：因为 且 ，
所以当 时， ，当 时， ；
当 时， ，
所以函数 的最小值为 ，最大值为3，故函数 的值域为 .
法二：画出 的草图，如图所示，由图象可知函数 的最小值为 ，最大值为3，故函数 的值域
为 .
故选：D
例题2．（2024上·四川达州·高一统考期末）已知函数 ，则 的最大值
是（ ）
A．60 B．58 C．56 D．52
【答案】C
【分析】分 和 两种情况讨论，结合二次函数和反比例函数的性质即可得解.
【详解】当 时， ，
此时 ，当 时， 在 上单调递减，
此时 ，
综上所述， .
故选：C.
练透核心考点
1．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知 ， ，则函数 的值
域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得到 ，再作出其图象求解.
【详解】解：由题意得： ，
其图象，如图所示：
由图象知：函数y的值域为 ，
故选：A
2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.【详解】函数 ，则 ，
所以 .
故选：A
3．（多选）（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知 ，若 ，则 所有可能
的值是（ ）
A．－1 B． C．1 D．
【答案】BD
【分析】利用函数 的解析式，结合指数、对数运算可求得结果.
【详解】由已知可得
或 或 ，
解得 ，或 .
故选：BD
4．（2024·全国·模拟预测）函数 的值域为 ．
【答案】
【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
所以 的值域为 ．
故答案为： .高频考点五：函数的值域
角度1：二次函数求值域
典型例题
例题1．（2024上·上海·高一校考期末）函数 ， 的最小值是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为 的图象开口向上，对称轴为 ，
又 ，所以 的最小值是 .
故答案为： .
例题2．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）已知二次函数 满足 ．
(1)求 的解析式．
(2)求 在 上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令 ，则 ，利用换元法代入可求得 的解析式；
（2）由（1）可得函数 的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.
【详解】（1）令 ，则 ，
，∴ .
（2）因为 ，
所以 的图象对称轴为 ，在 上递减，在 上递增，
∴ ， ，
即 的值域为 .角度2：分式型函数求值域
典型例题
例题1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域.
【详解】 ，
而 由函数 向右平移3个单位得到，
所以 得值域和 的值域相同，都为 ，
所以 得值域为 ，
故选：B
例题2．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）函数 的值域是 ．
【答案】
【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案.
【详解】由题意可知，函数 ，
由 ， ， 或 ，则 或 ，
即函数值域为 .
故答案为：
角度3：根式型函数求值域
典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ， ，可得 ，利用函数单调性求值域.
【详解】令 ， ，则 ，
所以函数 ，函数在 上单调递增，
时， 有最小值 ，
所以函数 的值域为 .
故选：C
例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函数 .
(1)求 的解析式；
(2)求 的值域.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）换元法求解析式；
（2）求复合函数的值域，先由内层二次函数配方法求值域，再由幂函数的性质可得函数值域.
【详解】（1）令 ，则 ，
所以 ，
故 .
（2）由（1）知 ，
设 ，图象开口向上，
由 ，
， 的值域为 ，
令 ，则 的值域即函数 的值域，由函数 在 单调递增，则 ， 的值域为 .
故 的值域为 .
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数 ，若 的值域
为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助 的值域为 可得 要取遍所有的正数，对 进行分类讨论即可得.
【详解】若函数 的值域为 ，则 要取遍所有的正数．
所以 或 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A．
例题2．（2024·上海·高一假期作业）已知 ，若函数 的值域为 ，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】分类讨论，在 时由 可得．
【详解】 时， 不合题意，
因此 且 ，∴ ，
故答案为： ．
例题3．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）已知函数 的值域为 ，
则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求解出 时 的值域，然后根据 分类讨论 时 的值域，由此确
定出 的取值范围.
【详解】当 时， ，此时 ，当 且 时， ，
此时 ，且 ，所以不满足；
当 且 时， ，
由对勾函数单调性可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，此时 ，
若要满足 的值域为 ，只需要 ，解得 ；
当 且 时，因为 均在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，且 时， ， 时， ，
所以此时 ，此时显然能满足 的值域为 ；
综上可知， 的取值范围是 ，
故答案为： .
练透核心考点
1．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】设 ，根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.
【详解】由 ，解得 ，故 的定义域为 .
设 ，
则 ，
其中， ，
∵ ，则 ，
∴当 ，即 时，
取最大值 ，即函数 的最大值是 .故选：B.
2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数 的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 和 的图象如下图所示：
由图可知，当 或 时，两图象相交，
若 的值域是 ，以实数 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 ；
同理当 ,值域也不是 ；
当 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王
子”美誉的高斯提出了取整函数 ， 表示不超过x的最大整数，例如 ．已知
， ，则函数 的值域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，将 变形，分析其取值范围，结合取整函数 定义，分析得到答案.
【详解】根据题意，设 ，
则 ，
当 时， ，所以 ，即 ，所以 ，此时 的取值为1；当 时， ，所以 ，即 ，所以 ，此时 的取值为
；
综上， 的值域为 ，
故答案为： .
4．（2024·全国·高三专题练习）函数 的值域是 或 ，则此函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用反函数,可将原函数化为 ,(其中 或 ),求出 的值域即得 的定义域.
【详解】 ，其中 或 ，
当 时, 是减函数,此时 ，
当 时, 是减函数,此时 ，
∴函数 的定义域为 .
故答案为： .
5．（2024·全国·高三专题练习）求函数 的值域为 .
【答案】
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，
要在定义域内求值域.
【详解】令 ，则 ，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为 ，
，所以该函数在 时取到最大值 ，当 时，函数取得最小值 ，
所以函数 值域为 .
故答案为：
6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则常数 ．【答案】7或
【详解】因为 ，所以 ，
，即 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 是方程 的两个根，
所以 ， ，
解得 或 ，所以 7或 .
故答案为：7或 .
7．（2024·江苏·高一假期作业）求下列函数的值域.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法结合单调性求二次函数的值域；
（2）利用分式的性质，结合基本不等式的应用进行求解．
【详解】（1） ,函数的定义域为 ,在 上单调递增，在 上单调递减，
,又因为 ,所以 .
所以函数的值域为
（2） ,
当且仅当 取等号,函数的值域为 .第四部分：典型易错题型
备注：求函数解析式容易忽略定义域
1．（2023上·广东佛山·高一校考期中）已知函数 ，则函数 的解析式为 ．
【答案】
【分析】利用换元法求函数解析式即可.
【详解】函数 ，
设 ，则 ，且 ，
所以 ， ，
则 ．
故答案为： ．
2．（2023上·江苏盐城·高一校考期中）若函数 ，则 ．
【答案】 （ ）
【分析】根据函数解析式利用换元法求解即可.
【详解】函数 ，令 ，则 ，所以
则函数化为
所以 （ ）.
故答案为： （ ）.
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“ ”的取值范围叫定义域
1．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】根据条件先求解出 的定义域，然后结合分式分母不 、对数的真数大于 列出关于 的不等
式组，由此求解出 的定义域.
【详解】依题意，函数 的定义域为 ，
所以 ，即函数 的定义域为 ，
所以在函数 中有 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，
故选：A.
2．（2023上·江西赣州·高一江西省信丰中学校考阶段练习）若函数 的定义域是 ，则函数
的定义域是 .
【答案】
【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出 的定义域，和 的解集，即可求解.
【详解】由题意得函数 的定义域是 ，
令 ，所以 ，即 ，解得 ，
由 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数 的定义域为 ，若存在实数 ，使得 ，都
满足 ，则称函数 为“三倍函数”.(1)判断函数 是否为“三倍函数”，并说明理由；
(2)若函数 ， 为“三倍函数”，求 的取值范围.
【答案】(1) 不是“三倍函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）假设 是“三倍函数”，得到 ，从而得以判断；
（2）变换得到 ， 的值域是 ，根据值域关系排除 的情况，
得到 ，分析可得 ，从而得解.
【详解】（1） 不是“三倍函数”，理由如下：
因为 ， ，
假设 是“三倍函数”，
则存在实数 ，使得 ，都 满足 ，
即 ，即 ，
因为 的值域为 ， 的值域为 ，不满足条件，
故函数 不是“三倍函数”.
（2）因为 ， 为“三倍函数”，
所以存在 ， ，都 ，有 ，即 ，
当 时， 的值域是 ，
则 在 的值域包含 ，
当 时， ，则 ，
若 ，即 ，则 ， ，
此时 值域的区间长度不超过 ，而区间 长度为 ，不满足题意；
于是 ，即 ， ，
要使 在 的值域包含 ，
则 在 的最小值至少要小于等于 ，
又 时， 在 上单调递减且 ，
故有 ，解得 ，
此时取 ， 的值域是 ，
而 ， ，故 在 的值域包含 ，满足题意；
所以 的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，从而得解.
