文档文本内容
第 07 讲 抛物线 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：抛物线的定义及其应用
题型二：抛物线的标准方程
题型三：抛物线的简单几何性质
题型四：与抛物线有关的最值问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （其中定点 不在定直线 上）的距离相等的点的
轨迹叫做抛物线，定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式： ( 为点 到准线 的距离).
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质
y 2 =2px （ y 2 =−2px （ x 2 =2py x2 =−2py （
标准方程
） ） （ ） ）
图形
，
范围 ， ， ，
对称轴 轴 轴 轴 轴
p p p p
焦点坐标 F( ,0) F(− ,0) F(0, ) F(0,− )
2 2 2 2p p
p p
准线方程
x=− x= y=− y=
2 2 2 2
顶点坐标
离心率
通径长
知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（ 为焦准距）
（1）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（2）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（3）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（4）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 .
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：抛物线的定义及其应用
典型例题
例题1．（2022·贵州·高二期中）设抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在平面上，到点 的距离等于到直线 的距离的动点
的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
例题3．（2022·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，
点 在 上， 于 ，若 ，则 （ ）
A．4 B．12 C． D．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，若抛物线上的点 与点
间的距离为3，则 （ ）.A． B． C． 或 D．4或
2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）已知抛物线 ： 上一点 到其
焦点 的距离等于 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京市十一学校高二期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 上点 到焦
点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
题型二：抛物线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）以椭圆 的左焦点为焦点的抛物线的标准
方程是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））在平面坐标系中，动点 和点
满足 ，则动点 的轨迹方程为_____________．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线的顶点在原点，准线与其平行线 的距离为 ，则抛
物线的方程为______．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为坐标原点，
的准线 与 轴相交于点 ， 为 上的一点，直线 与直线 相交于点 ，若 ，
，则 的标准方程为______．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C与双曲线 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物
线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津一中高二期中）已知直线 与抛物线 ： 的准线相交于点A，O为坐
标原点，若 则抛物线的方程为___________.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线过点 ，则抛物线的标准方程为______．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线 上一点 的纵坐标为 ，该点到准线的距
离为6，则该抛物线的标准方程为______．题型三：抛物线的简单几何性质
典型例题
例题1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）已知圆 与抛物线 相
交于 ， ，且 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
例题2．（2022·江苏·宝应中学高二期中）已知抛物线 上一点 到其准线及对称轴的距
离分别为3和 ，则 （ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
例题3．（2022·全国·高二单元测试）已知 ， ， 是抛物线 ： 上一点，则
的最小值是______．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）抛物线 的对称轴是直线
A． B．
C． D．
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为 轴
3．（多选）（2022·全国·高二单元测试）下列四个方程所表示的曲线中既关于 轴对称，又关于 轴对称
的是（ ）
A． B． C． D．
题型四：与抛物线有关的最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线 焦点的坐标为 ， 为抛物线上的任意一
点， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
例题2．（2022·江西抚州·高二期中）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，若点 ，
则 的最小值为______.
例题3．（2022·北京市十一学校高二期中）已知抛物线 的焦点为 ，点 为该抛物线上一个动点，点 ，则 的最小值为______．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 为抛物线 上的一个动点， 为圆 上的一个动
点，那么点 到点 的距离与点 到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
2．（2022·重庆长寿·高二期末）已知P为抛物线 上任意一点，F为抛物线的焦点， 为平面
内一定点，则 的最小值为__________．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线 的焦点是 ，点 是抛物线上的动点，若 ，则
的最小值为______，此时点 的坐标为______．
