考点09 函数的周期性和对称性2 类常见考点全归纳
1.了解函数的周期性及其几何意义.
2.能通
平移
过
,分析得出一般的
称和中心
称公式和推
轴对
对
论.
3.会依据函数的性
行
的
用
质进
简单
应
.
考点一 函数的周期性
考向1 由函数周期性求值
考向2 由函数周期性求解析式
考点二 函数的对称性
考向1 自对称中的轴对称
考向2 自对称中的中心对称
考向3 互对称问题
考向4 双重对称问题
考向5 函数对称性的证明
考向6 函数对称性的应用
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D 都有x＋
T∈D,且f ( x ＋
T ) ＝
f ( x ) ,那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的
最小正周期.
2.一个函数的自对称
（1）轴对称:函数f(x+a)是偶函数⇔f(a+x)=f(a−x)或f(x)=f(2a−x)⇔ 函数y=f(x)的图
象关于直线x=a对称.特别地，当a =0时，f(x)=f(−x)，则函数y=f(x)的图象关于y轴对称，函数为
偶函数.推广：若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b−x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+ b
2
对称.
（2 ）中心对称: 函数f(x+a)是奇函数⇔f(a+x)+f(a−x)=0或f(x)+f(2a−x)=0⇔ 函数
y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.特别地，当a =0时，f(x)+f(−x)=0，则函数y=f(x)的图象关于
原点对称，函数为奇函数.推广：若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a−x)=2c,则函数y=f(x)的图象关
于点(a,c)对称.
2.两个函数的互对称
（1）函数y=f(x)与y=f(−x)的图象关于y轴对称.
（2）函数y=f(x)与y=−f(x)的图象关于x轴对称.
（3）函数y=f(x)与y=−f(−x)的图象关于原点成中心对称.
3.双重对称
（1）若函数f(x)的图象在定义域内有两条对称轴x=a,x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期
T=2(b−a)（不一定是最小正周期，下同）.
（2）若函数f(x)的图象在定义域内有两个对称中心A(a,0)，B(b,0)(a<b)，则函数f(x)是周期函
数，且周期T=2(b−a).
（3）若函数f(x)的图象在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b,0)(a≠b)，则函数f(x)
是周期函数，且周期T=4|b−a|.
4.奇函数、偶函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a 对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点( a ,0)
对称.
(3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x ＝
a ；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心
为( a ,0)
.
5.熟记函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝
1
f ( x) ,则T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝－
1
f ( x) ,则T＝2|a|.
6.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a 和x＝b 对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a 和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|.
考点一 函数的周期性
考向1 由函数周期性求值
【典例1】已知函数
，则
（ ）
A．-6
B．0
C．4
D．6
【典例2】已知函数
满足
，且当
时，
，则
_______________．
解题策略：
(1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决
问题.
(3)
周期函数f(x)满足的条件
周期
a
f(x＋a)＝f(x－a)
2a
f(x＋a)＝－f(x－a)
4a
f(x＋a)＝－f(x)
2a
2a
2a
关于直线x＝a 与x＝b 对称或
2|b－a|
偶函数，关于直线x＝a 对称或
2a
关于点(a,0)与点(b,0)对称或
2|b－a|
奇函数，关于(a，0)对称或
2a
关于直线x＝a 与点(b,0)对称或
4|b－a|
奇函数，关于直线x＝a 对称或
4a
偶函数，关于(a，0)对称或
4a
4a
2a
f(x)＋f(x＋a)＝k(k 为常数)
2a
f(x)·f(x＋a)＝k(k 为常数)
2a
f(x+1)=f(x)-f(x-1)
6
【巩固训练】
1．（江苏省南通市2026 届高三上学期九月份调研测试数学试卷）定义在R 上的函数
是周期为
的偶
函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·上海·开学考试）已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
.
3．（22-23 高一上·北京·阶段练习）设
是奇函数且满足
，当
时，
，则
（ ）
A．-1.6
B．-1.2
C．0.7
D．0.84
考向2 由函数周期性求解析式
【典例1】已知
是定义在
上周期为
的函数，当
时，
，那么当
时，
______.
【巩固训练】
1．（2025 高三·全国·专题练习）设
是定义在
上的函数，且对一切
均有
，
当
时，
．
(1)求当
时，函数
的解析式；
(2)求当
时，函数
的解析式．
2．（24-25 高三上·江苏·期末）已知函数
满足
，且当
时，
，
若关于
的方程
在区间
上有
个不同的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
满足
．
(1)求证：
是周期函数
(2)若
，求
的值．
(3)若
时，
，试求
时，函数
的解析式．
考点二 函数的对称性
考向1 自对称中的轴对称
【典例1】(多选)设f(x)是R 上的奇函数,且对∀x∈R,都有f(2－x)＝f(x),当x [0,1]
∈
时,f(x)＝x2,则下列说法正
确的是( )
A.f(x)在[3,5]上单调递增
B.f(x)的最大值是1,最小值是0
C.直线x＝1 是函数f(x)的一条对称轴
D.当3≤x≤4 时,f(x)＝－(x－4)2
【典例2】(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则函数f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)＝x＋1
x＋3
B.f(x)＝ex－3＋e3－x
C.f(x)＝x4－18x2
D.f(x)＝|x2－6x|
解题策略：
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b
2
对称.
【巩固训练】
1．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的定义域为
B．
在区间
上单调递增
C．
在区间
上单调递减
D．
的图象关于直线
对称
2．（25-26 高三上·江苏南通·阶段练习）（多选）已知对任意
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
3．（24-25 高一上·福建厦门·期中）已知函数
对称轴为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考向2 自对称中的中心对称
【典例1】(多选)下列说法中,正确的是( )
A.函数f(x)＝2x
1
−
x＋2
的图象关于点(－2,2)中心对称
B.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称
C.若函数y＝f(x)过定点(0,1),则函数y＝f(x－1)＋1 过定点(1,2)
D.函数y＝x
1
−
x−b
的图象关于点(3,c)中心对称,则b＋c＝2
【典例2】已知函数
的图象关于点
对称，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【典例3】研究下列函数的对称性：
（1）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（2）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（3）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（4）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（5）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（6）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（7）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（8）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（9）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（10）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（11）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（12）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（13）若
的图象关于点
对称，则
图象的对称中心是 ；
（14）若
的图象关于直线
对称，则
图象的对称轴是 ；
（15）
的图象关于直线 对称；
（16）
的图象关于点 对称．
解题策略：
函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b
2
⇔b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋
f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点(
a＋b
2
,c
2)成中心对称.
【巩固训练】
1．（25-26 高三上·北京平谷·开学考试）函数
的值域为 ；
的图象对称中
心是
2．（24-25 高一上·浙江衢州·期末）已知函数
的图象关于点
中心对称的充要条件是函数
为奇函数，则函数
图象的对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知直线
，
过函数
图象的对称中心，则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
考向3 互对称问题
【典例1】已知函数y＝f(x)是定义域为R 的函数,则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象( )
A.关于直线x＝1 对称
B.关于直线x＝3 对称
C.关于直线y＝3 对称
D.关于点(3,0)对称
【典例2】若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，其中
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【巩固训练】
1.（2025·甘肃白银·三模）函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
考向4 双重对称问题
【典例1】函数
和
均为
上的奇函数，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【典例2】【多选】已知定义域为R的函数f(x)在( 1,0]
−
上单调递增，f(1+x)=f(1−x)，且图象关
于点(2,0)对称，则（ ）
A. f(0)=f(2)
B. f(x)在(1,2]上单调递减
C. 2 是f(x)的一个周期
D. f(2025)>f(2026)>f(2027)
【典例3】（25-26 高二上·湖北武汉·阶段练习）已知函数
的定义域为R，满足
，若
的图像关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．92
B．-205
C．100
D．-19
解题策略：
双重对称问题，隐含周期，注意借助对称性与周期性的相关结论解题,辅以草图则更为直观.
【巩固训练】
1.（2025 高二·全国·专题练习）已知函数
的图象既关于直线
对称，又关于点
对称，且当
时，
，则
．
2.（24-25 高二下·福建福州·期末）已知定义在
上的奇函数
的图象关于直线
对称．当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
3.已知函数
的图像既关于点
对称，又关于直线
对称，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（22-23 高二上·广东深圳·期末）已知定义域为R 的函数
满足
是奇函数，
是偶函数，
则下列结论错误的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
的图象关于点
对称
C．
D．
的一个周期为8
5.（22-23 高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数
，
的定义域均为R，且
，
，若
的图象关于直线
对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考向5 函数对称性的证明
【典例】已知函数
．
(1)求不等式
的解集；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若关于
的不等式
在
上有解，求实数
的取值范围．
【巩固训练】
1.（25-26 高二上·山东日照·开学考试）函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是
．已知函数
．
(1)判断函数
的单调性，并利用定义证明；
(2)求证：函数
的图象关于点
中心对称；
(3)若对
，且
，恒有
成立，求实数
的取值范围．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
．
(1)求
的定义域、值域；
(2)讨论
的对称性；
(3)讨论
的单调性．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.证明：曲线
是中心对称图
形；
考向6 函数对称性的应用
【典例】已知函数
满足
，函数
．且
与
的图象交点为
，
，
，
…
，则
．
【巩固训练】
1.（25-26 高三上·山西太原·阶段练习）已知函数
满足
，若函数
与
的图象有6 个交点，交点横坐标为
，则
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
2．（25-26 高三上·广东·开学考试）已知函数
的定义域为
，函数
是偶函数，函数
的图象关于直线
对称，若当
时，
，则
（ ）
A．－1
B．0
C．1
D．2
3．（2025 高一上·全国·专题练习）已知函数
的定义域均为
，且
．若
的图象关于直线
对称，
，则
（ ）附注：
．
A．－21
B．－22
C．－23
D．－24
1．设函数
是以2 为最小正周期的周期函数,且当
时,
.求
,
的值.
2．已知函数
的定义域为R,且函数图像关于
对称,
在区间
是增函数,判断
在
上的单调性.
3．证明函数
的图象关于y 轴对称.
4．设a 为给定实数，函数
的定义域为A.
（1）若对于任意
，都有
，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由.
（2）若对于任意
，都有
，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由.
5．已知函数
的图像与函数
的图像关于
对称，求
的解析式．
6．设函数
定义在
上，它的图象关于直线
对称，且当
时，
，试比较
，
，
的大小．
7．已知函数
对任意实数x 都有
，并且对任意
，总有
，比较
下列各组值的大小：
(1)
和
；
(2)
和
；
(3)
和
；
(4)
和
．
8．已知函数
是定义在R 上周期为2 的奇函数，若
，求
的值.
9．函数
满足
，那么，它是以
为周期的函数吗？
10．函数
是周期为2 的周期函数，且
，
．
(1)画出函数
在区间
上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
(2)求
的值；
(3)求
在区间
上的解析式，其中
．
11．已知函数
的定义域为
，且函数图像关于点
对称，
在区间
上是增函数，判断
在区间
上的单调性.
12．周期函数
的图象如图．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)写出函数
的解析式．
13．我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.
（1）求函数
图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出
函数
“
的图象关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数
为
偶函数
的一个推广结论
”
.
