重点04 分式不等式与集合
目录
1
知识点01 分式不等式的解法....................................................................2
2
知识点02 分式不等式与集合的交并补运算............................................3
3
题型一、解分式不等式.............................................................................3
4
题型二、分式不等式不集合的交并补运算.............................................3
1 知识点01 分式不等式的解法
(1)
不等号右边为0
【例题1】2- x
x -3 ≥0
令分母等于零：x -3=0⇒x =3（分母为零的根是取不到的）
令分子等于零：2- x =0⇒x =2
令x的系数相乘，判断系数积的正负：-1×1=-1<0
重点：系数积为正开口向上，系数积为负开口向下
穿针引线：
原式≥0，故取x轴上方部分，对应的解集为{x|2≤x<3}
【例题2】x -2
x +1 ≥0
令分母等于零：x +1=0⇒x =-1（分母为零的根是取不到的）
令分子等于零：x -2=0⇒x =2
令x的系数相乘，判断系数积的正负：1×1=1>0
重点：系数积为正开口向上，系数积为负开口向下
穿针引线：
原式≥0，故取x轴上方部分，对应的解集为{x| x<-1或x ≥2}
不等号右边不为0
【例题3】3 x +1
3- x >-1
移向：3 x +1
3- x +1>0
合并：3 x +1
3- x + 3- x
3- x >0
3
2
2
-1
合并：2 x + 4
3- x >0
令分母等于零：3- x =0⇒x =3（分母为零的根是取不到的）
令分子等于零：2 x + 4 =0⇒x =-2
令x的系数相乘，判断系数积的正负：-1×2=-2<0
重点：系数积为正开口向上，系数积为负开口向下
穿针引线：
原式>0，故取x轴上方部分，对应的解集为{x|-2< x<3}
2 知识点02 分式不等式与集合的交并补运算
【例题4】已知集合A = {x∣x ≥1, x∈N },B ={x∣
1
x -3 ≤0}，则A ∩B =
（ ）
A．1,3)
B．[1,3]
C．{1,2}
D．{1,2,3}
【例题5】已知集合A ={x| x
2+ x -2≤0},B ={x| x -2
x +1 ≥0}，则A ∩B =（ ）
A．
B．{x|-2≤x ≤1}
C．{x|-2≤x ≤-1}
D．{x|-2≤x<-1}
【例题6】已知集合A ={x| x -2
x +1 ≥0}，B ={x|-2< x<1}，则A ∩(∁R B)=
（ ）
A．(– 2,2)
B．[-1,1]
C．-∞,-2 ∪2,+ ∞)
D．(– ∞,-1)∪(1,+∞)
【例题7】已知集合A ={x∣x -2
x +1 ≤0}，集合B = {x|-1< x<4}，求A ∪B
3
-2
1 题型一、解分式不等式
1．解下列不等式：
（1）2 x -1
x +1 ≤0．
（2）2 x -1
x +3 ≥0
（3）x - 4
x -1 ≤0
2．解下列不等式：
（1）x -5
x -9 ≥0
（2）4
x -1 +1≤0
（3）2 x +1
1- x <0
3．解下列不等式:
（1）1- x
2+ x >0.
（2）x -3
2- x ≥0
4．解下列不等式
（1）x -2
2 x +3 ≤0.
（2）2 x -1
x +2 ≤0；
5．解下列不等式：
（1）3-2 x
x -1 <0；
（2）1- x
x +1 >0
6．解下列不等式：
（1）2 x +1
x -2 ≥1.
（2）x +1
3 x -2 ≥2；
（3）¿
7．解下列不等式
（1）2 x -3
x -1 >1
（2）2 x +1
x +2 ≥1
（3）3 x +1
3- x ≤1
2
8．解下列不等式：
（1）x +1
2 x -3 ≤1
（2）|
2 x +3
3 x -2|≤1
（3）x -3
x
>2
（4）x +1
2- x ≥3
9．解下列不等式
（1）3 x -2
x +1 ≤1
（2）1-2 x
x + 4 <1
（3）x +2
2 x -1 ≥1
10．解下列不等式
（1）2 x +1
1- x ≤1．
（2）5 x -2
2 x +1 ≤3
（3）2 x
x -2 ≤1
11．求下列不等式的解集.
（1）x +1
2 x -3 ≤1
（2）3 x +1
3- x ≤1
2
12．解下列不等式
（1）x +2
3 x -1 ≥1；
（2）2<
1
3 x -1 ≤3
（3）1
x - 4 ≤1-
x
4 - x
13．解下列不等式：
(1) x +1
x -2 >0；
(2)1
x <1；
(3)
2
3- 4 x ≥1；
(4) 5
x +2 ≤2；
(5)4 x +3
x -1 >5．
2 题型二、分式不等式不集合的交并补运算
1．已知集合A =¿，则A ∩(∁R B)=（ ）
A．(- 1
2 ,1)
B．(1,2]
C．[- 1
2 ,1)
D．[-3,-2)
2．已知集合A =¿，B =¿，则A ∩(∁R B)=（ ）
A．(0,4)
B．[0,4)
C．[-3,0]∪(4,5]
D．[-3,0)∪(4,5]
3．已知集合A ={x|
1
x -1 < 1
2 }，B ={x| x
2-6 x +8<0}，则(∁R A)∪B =
（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
4．已知集合A = {-3,-2,-1,0,1,2,3}，B =¿，则A ∩(∁R B)=（ ）
A．{-1,0,1,2}
B．{-1,0,1}
C．{-3,3}
D．{-3,-2,3}
5．已知全集U = R，集合A ={x∈Z | x -3
x +1 ≤0},B = {x| x>2}，则A ∩∁U B =
（ ）
A．{0,1,2}
B．{-1,0,1,2}
C．{x|-1≤x ≤2}
D．{x|-1< x ≤2}
6．已知集合A = {-1,0,1}，B ={x| 1
x -1 ≥0}
，则A ∩∁R B =（ ）
A．{-1,0,1}
B．∅ C．{0,1}
D．{-1,0}
7．已知集合A =¿，则(∁R A)∩B =（ ）
A．(-∞,-1]∪(4 ,+ ∞)
B．(-∞,-1)∪(4 ,+∞)
C．(-5,-1) D．(-5,-1]
8．已知集合M =¿，N =¿，则M ∩N =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
9．若集合A ={x∣0≤x<1}，B =¿，则A ∪B =（ ）
A．(0,1)
B．[0,1)
C．[0,2)
D．(0,2)
10．已知集合A = {0,1,2,3,4},B =¿，则A ∩B =（ ）
A．¿
B．¿
C．{0,3,4}
D．{0,2,3,4}
11．已知集合A ={x| x
2- x -6≤0}，B ={x| x -1
x -5 ≤0}
，则A ∪B =（ ）
A．[-2,5)
B．[1,3]
C．[1,5)
D．[-2,1]∪[3,5)
12．已知集合A =¿，则A ∩B =（ ）
A．{-2,-1,0,1}
B．{-1,0,1}
C．{0,1}
D．{0,1,2}
13．已知集合A ={x∣x
2≤1},B ={x∣2
x ≥1}
则A ∩B =（ ）
A．{x|-1≤x ≤1}
B．{x|0< x ≤1}
C．{x|0< x ≤2}
D．{x|1≤x ≤2}
14．设集合A ={x| 3
|x|>1, x∈Z}
，B = {x|-2< x<5}，则A ∩B中元素的个数
为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
15．设集合A =¿，则A ∩B中所有元素之和为（ ）
A．3
B．8
C．9
D．12
16．已知集合A =¿，集合B = {-2,-1,0,6}，则A ∩B =（ ）
A．{6}
B．{-2,-1}
C．{-2,-1,6}
D．{-2,-1,0,6}
