重难点01 不等式恒成立、能成立问题（举一反三专项训练）
【全国通用】
【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】.............................................................................................2
【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】.........................................................................................3
【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】.....................................................................................3
【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】.................................................................................................3
【题型5 一元二次不等式在某区间上有解问题】.................................................................................................4
【题型6 基本不等式求解恒成立、有解问题】.....................................................................................................5
【题型7 不等式恒成立、能成立问题综合】.........................................................................................................5
1、不等式恒成立、能成立问题
一元二次不等式是高考数学中的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立
问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识
点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及
的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，对锻炼学生的综合解题
能力，培养其思维能力都起到很好的作用，复习时需要加强这方面的训练.
知识点
1
不等式恒成立、能成立问题
1．一元二次不等式恒成立、能成立问题
不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R
的条件
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R 的条件为
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为∅的条件为
．
2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法
(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R 上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，
谁就是参数.
若
①
ax2+bx+c>0 恒成立，则有a>0，且∆<0；若ax2+bx+c<0 恒成立，则有a<0，且∆<0.
对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解
②
(也可采用分离参数的方法).
3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的
范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求
解.
4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立
a>f(x)max；
若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解
a>f(x)min；
若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解
a≤f(x)min.
(2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立
a<f(x)min；
若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解
a<f(x)max；
若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解
a≥f(x)max.
【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】
【例1】（2025·福建厦门·二模）“b∈(0,4)”是“∀x∈R，b x
2−bx +1>0成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【变式1-1】（2025·四川德阳·模拟预测）已知p:0≤a≤2，q：任意x∈R ,a x
2−ax +1≥0，则p 是q 成
立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【变式1-2】（2025·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x
2−2kx + 4>0恒成立，则k的取值范围
是（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−∞,−4)
C．(−4,4)
D．(−2,2)
【变式1-3】（24-25 高一上·安徽淮北·阶段练习）下列条件中，为“关于x 的不等式m x
2−mx +1>0对
∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A．0≤m<4
B．0<m<2
C．1<m<6
D．−1<m<6
【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】
【例2】（2025·辽宁鞍山·二模）若对任意的x∈(0,+ ∞), x
2−mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是
（ ）
A．(−2,2)
B．(2,+ ∞)
C．(−∞,2)
D．(−∞,2]
【变式2-1】（24-25 高一上·云南文山·期末）命题“∀x∈[1,2), x
2+1−a≤0”为真命题的一个充分不必
要条件是（ ）
A．a>5
B．a≥5
C．a≥3
D．a≥2
【变式2-2】（24-25 高二下·北京·期中）“−1≤m≤1”是“不等式x
2−2mx +1≥0在x∈(0,+∞)上恒成
立”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】（24-25 高一上·安徽宿州·期中）已知∀x∈[0,+∞)，x
2+ax + 4≥0恒成立，则实数a的取值
范围为（ ）
A．[−4,4)
B．[−4 ,+∞)
C．(−∞,4)
D．(−∞,−4)∪(4 ,+∞)
【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】
【例3】（24-25 高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“∃−1≤a≤3，a x
2−(2a−1) x +3−a<0”为假命
题，则实数x 的取值范围为（ ）
A．{x|−1≤x ≤4))
B．{x|0≤x ≤5
3))
C．{x|−1≤x ≤0 或5
3 ≤x ≤4))
D．{x|−1≤x<0 或5
3 < x ≤4))
【变式3-1】（24-25 高一下·河南濮阳·期中）已知当−1≤a≤1时，x
2+(a−4) x + 4−2a>0恒成立，则实
数x的取值范围是（ ）
A．(−∞,3)
B．(−∞,1¿∪)3,+∞¿¿
C．(−∞,1)
D．(−∞,1)∪(3,+∞)
【变式3-2】（2008·宁夏·高考真题）已知a1>a2>a3>0，则使得(1−ai x)
2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范
围是（ ）
A．(0, 1
a1)
B．(0, 2
a1)
C．(0, 1
a3)
D．(0, 2
a3)
【变式3-3】（24-25 高一上·广东深圳·阶段练习）当1≤m≤2时，m x
2−mx −1<0恒成立，则实数x的取
值范围是（ ）
A．1−❑√2
2
< x< 1+ ❑√2
2
B．1−❑√3
2
< x< 1+ ❑√3
2
C．1−❑√5
2
< x< 1+ ❑√5
2
D．1−❑√7
2
< x< 1+ ❑√7
2
【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】
【例4】（24-25 高一上·江苏苏州·期末）若命题“∀x∈R , x
2−x +m≥0”是假命题，则实数m的取值范
围是（ ）
A．(−∞, 1
4)
B．(−∞, 1
4)
C． (
1
4 ,+∞)
D． [
1
4 ,+∞)
【变式4-1】（24-25 高一上·山东济南·期末）若∃x∈R ,m x
2+2(m−3) x + 4≤0，则实数m的取值范围
为（ ）
A．(1,9)
B．(−∞,0)
C．(−∞,1)∪(9,+∞)D．(−∞,1)∪[9,+ ∞)
【变式4-2】（24-25 高一上·海南·阶段练习）命题“∃x∈R ,使得x
2+ x +2m≤0”是真命题，则实数m的
取值范围是（ ）
A．m< 1
8
B．m≤1
8
C．m> 1
8
D．m≥1
8
【变式4-3】（24-25 高一上·山东临沂·阶段练习）若不等式−x
2+ax−1>0有解，则实数a的取值范围为
（ ）
A．a<−2或a>2 B．−2<a<2
C．a≠±2
D．1<a<3
【题型5 一元二次不等式在某区间上有解问题】
【例5】（24-25 高一上·北京·期中）已知存在x∈[0,1)，使得x
2−4 x ≥m
2−4 m成立，则m的取值范围是
（ ）
A．[0,1)
B．[1,3)
C．[0,4)
D．[0,+ ∞)
【变式5-1】（24-25 高一上·福建·期中）若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3−|3 x−a)> x
2+2 x
成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−37
4 ,3)
B．(−3, 13
4 )
C．(−37
4 , 13
4 )
D．(−3,3)
【变式5-2】（2025·甘肃张掖·模拟预测）若关于x的不等式x
2−6 x +2−a>0在区间[0,5)内有解，则实数a
的取值范围是（ ）
A．(2,+∞)
B．(−∞,5)
C．(−∞,−3)
D．(−∞,2)
【变式5-3】（24-25 高一上·江西南昌·阶段练习）若关于x的不等式x
2−4 x>a
2−5a在区间[0,4)内有解，
则实数a的取值范围是（ ）
A．(0,5)
B．(1,4)
C．(−∞，0)∪(5，+ ∞)
D．(−∞，1)∪(4，+∞)
【题型6 基本不等式求解恒成立、有解问题】
【例6】（24-25 高一上·河南驻马店·阶段练习）已知x>0，y >0且4 x + y = xy.若x + y >m
2+8m恒成立，
则实数m的取值范围是（ ）
A．¿
B．¿
C．{m|m>1))
D．¿
【变式6-1】（2025·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y 满足4 x + y =2 xy，且不等式x + y
4 <m
2−m
有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A．{m∣−1<m<2}
B．{m∣m<−1或m>2}
C．{m∣−2<m<1}
D．{m∣m<−2或m>1}
【变式6-2】（24-25 高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）两个正实数x , y满足1
x + 4
y =1，若不等式
x + y
4 <m
2+3m有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．{m|−1<m<4))
B．¿
C．{m|−4<m<1))
D．¿
【变式6-3】（24-25 高一上·江西·阶段练习）若对于任意x∈(0,2)，不等式1
x +
1
2−x ≥m
2+m恒成立，则
实数m 的取值范围为（ ）
A．m≤−2或m≥1
B．−2≤m≤1
C．−1−❑√17
2
≤m≤−1+ ❑√17
2
D．m≤−1−❑√17
2
或m≥−1+ ❑√17
2
【题型7 不等式恒成立、能成立问题综合】
【例7】（24-25 高一上·河北·阶段练习）设命题p：对任意−1≤x ≤1，不等式x
2−2 x−4 +m<0恒成立；
命题q：存在0≤x ≤1，使得不等式2 x−2≥m
2−3m成立，若p，q 中至少有一个是假命题，则实数m 的取
值范围为（ ）
A．{m∣m<−1)
B．{m∣0≤m≤3)
C．{m∣0≤m<1)
D．(−∞,0)∪[1,+∞)
【变式7-1】（24-25 高一上·北京·阶段练习）已知命题p:∃x∈R，(m+1)(x
2+1)≤0，命题q:∀x∈R，
x
2−mx +1>0恒成立.若p和q至多有一个为真命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．[2,+ ∞)
B．(−1,2]
C．(−∞,−2]∪[2,+∞)
D．(−∞,−2]∪(−1,+∞)
【变式7-2】（24-25 高一上·山东青岛·阶段练习）已知不等式2 x−1>m(x
2+2)．
(1)若∀x∈R，使不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)若∃x>1，使不等式能成立，求m的取值范围；
(3)是否存在实数x，使不等式对−1≤m≤1恒成立．若存在，求出x取值范围；若不存在，请说明理由．
【变式7-3】（24-25 高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数f (x)=2 x
2−2ax +2−a
2，
g(x)= x
2+3 x−a
2−4 (a∈R)．
(1)当a=1时，解不等式f (x)> g(x)；
(2)若对任意x>0，都有f (x)> g(x)成立，求实数a的取值范围；
(3)若对∀x1∈[0,1)，∃x2∈[0,1)，使得不等式f (x1)> g(x2)成立，求实数a的取值范围．
一、单选题
1．（2025·重庆·一模）已知a∈R，则“x
2+2 x +a>0的解集为R”是“a>0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·浙江·模拟预测）若不等式k x
2+(k −6) x +2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是（ ）
A．2≤k ≤18
B．−18<k <−2
C．2<k <18
D．0<k <2
3．（2025·福建宁德·模拟预测）命题“∃x∈[1,2], x
2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥1
B．a≥4
C．a≥−2
D．a≤4
4．（2025·山东泰安·模拟预测）“c∈(−2❑√3,2❑√3)”是“∀x∈R , x
2−cx +3≥0
成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025·福建厦门·二模）不等式a x
2−2 x +1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a>2
B．a≥1
C．a>1
D．0<a< 1
2
6．（2025·辽宁鞍山·二模）已知当x>0时，不等式：x
2−mx +16>0恒成立，则实数m的取值范围是
（ ）
A．(−8,8)
B．(−∞,8)
C．(−∞,8)
D．(8,+∞)
7．（2025·河南·模拟预测）已知命题“∃x0∈[−1,1)，−x0
2+3 x0+a>0”为真命题，则实数a的取值范
围是（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−∞,4)
C．(−2,+∞)
D．(4 ,+ ∞)
8．（2025·宁夏中卫·二模）已知点A(1,4)在直线x
a + y
b =1(a>0,b>0)上，若关于t的不等式
a+b≥t
2+5t +3恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A．[−6,1)
B．[−1,6)
C．(−∞,−1)∪[6,+ ∞)
D．(−∞,−6)∪[1,+∞)
二、多选题
9．（2025·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式4 x
2−5 x +1>0的解集是{x|x> 1
4 或x<1))
B．不等式2 x
2−x−6≤0的解集是{x|x ≤−3
2 或x ≥2))
C．若不等式a x
2+8ax +21<0恒成立，则a 的取值范围是∅
D．若关于x 的不等式2 x
2+ px−3<0的解集是(q ,1)，则p+q的值为−1
2
10．（24-25 高一上·四川成都·阶段练习）已知函数f ( x)= x
2−ax + 4 ,a∈R，则下列叙述正确的是
（ ）
A．若对∀x∈R都有f ( x)≥0成立，则−4≤a≤4
B．若∃x∈[1,2]使得f ( x)≥0有解，则a≤4
C．若∃x1, x2>0且x1≠x2使得f ( x1)= f ( x2)=0，则a>4
D．若f ( x)≤0的解集是[1,4 ]，则a=5
11．（24-25 高一上·湖北·期中）下列说法正确的有（ ）
A．当x∈R时，不等式k x
2−kx +1>0恒成立，则k 的取值范围是[0,4)
B．x
2−kx + k −1<0在(1,2)上恒成立，则实数k 的取值范围是[3,+∞)
C．当x>0时，不等式x
2−ax +16>0恒成立，则实数a 的取值范围是(−∞,8)
D．若不等式x
2−ax + 4≥0对任意x∈[1,3)恒成立，则实数a 的取值范围(−∞,5)
三、填空题
12．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式m x
2+2mx−4<2 x
2+ 4 x对任意x∈R都成立，则实数m的取
值范围是
．
13．（24-25 高一上·新疆哈密·期末）已知关于x的不等式−x
2+ 4 x ≥a
2−3a在x∈[1,4 ]上有解，则实数a
的取值范围是
．
14．（2025·河南南阳·模拟预测）已知p,q∈R，若当x∈[0,2)时，不等式|p(x
2+1)+q)≤2恒成立，则
7 p+3q的取值范围是
.
四、解答题
15．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=|2 x−a)，且f (x)≤b的解集为[−1,3)．
(1)求a和b的值；
(2)若f (x)≤|x−t )在[−1,0)上恒成立，求实数t的取值范围．
16．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数f (x)=| x−1|+| x +2|.
（1）求不等式f (x)≤5的解集；
（2）若不等式f (x)≥x
2−ax +1的解集包含[−1,1)，求实数a的取值范围.
17．（23-24 高一上·江苏·阶段练习）设函数f ( x)=a x
2+(1−a)x +a−2.
（1）若关于x的不等式f (x)≥−2有实数解，求实数a的取值范围；
（2）若不等式f (x)≥−2对于实数a∈[−1,1)时恒成立，求实数x的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f ( x)<a−1,(a∈R).
18．（24-25 高一上·山东菏泽·期中）已知函数f (x)= x
2−(a+1) x +2.
(1)解关于x的不等式f (x)>−a+2；
(2)∀x1
，x2∈[1,2)，都有|f (x1)−f (x2))<4恒成立，求实数a的取值范围.
19．（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x的不等式a x
2−3 x +6>0的解集为{x|−2< x<1}．
(1)求实数a的值；
(2)∀x∈{x|1≤x ≤3}，都有a x
2−3 x +6≥t，求实数t的取值范围
(3)若存在实数x∈{x|1≤x ≤3}，使不等式a x
2−3 x +6≥t成立，求实数t的取值范围．
