文档文本内容
重难点2-4 函数的零点与方程的解
三年考情分析
考题统计
2026 年考向预测
从近几年高考命题来看，高考对
函数与方程也经常以不同的方式
进行考查，比如：函数零点的个
数问题、位置问题、近似解问
题，以选择题、填空题、解答题
等形式出现在试卷中的不同位
置，且考查得较为灵活、深刻，
值得广大师生关注．
2025 年天津卷，单选题，5 分
2024 年全国2 卷，单选题，15 分
2024 年全国1 卷，单选题，5 分
2023 年天津卷，天空题，5 分
2022 年天津卷，第15 题，5 分
2021 年天津卷，第9 题，5 分
2021 年北京卷，第15 题，5 分
2026 年，预测高考对函数与方程
的考查，肯定集中对函数零点的
个数问题、位置问题、近似解问
题重点考察，多以选择题、填空
题为主。
一、函数的零点
对于函数
，我们把使
的实数
叫做函数
的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程
有实数根
函数
的图像与
轴有公共点
函数
有零点.
三、零点存在性定理
如果函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
也就是方程
的根.
四、二分法
对于区间
上连续不断且
的函数
，通过不断地把函数
的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求
方程
的近似解就是求函数
零点的近似值.
五、用二分法求函数
零点近似值的步骤
（1）确定区间
，验证
，给定精度
.
（2）求区间
的中点
.
（3）计算
.若
则
就是函数
的零点；若
，则令
（此时零点
）.若
，则令
（此时零点
）
（4）判断是否达到精确度
，即若
，则函数零点的近似值为
（或
）；否则重复第（2）
—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
重难点题型【一】、求函数的零点或零点所在区间
1．函数
的零点所在的大致区间的
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】用二分法求近似解的条件、零点存在性定理的应用
【分析】函数是单调递增函数，则只需
时，函数在区间（a，b）上存在零点.
【详解】函数
,在x>0 上单调递增，
，
函数f（x）零点所在的大致区间是
；
故选B
【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先
要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若
确定零点所在的区间.
2．函数
所有零点的和等于（ ）
A．6
B．7.5
C．9
D．12
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】求函数的零点、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、正弦函数图象的应用、求零点
的和
【分析】首先确定函数定义域为
，分别画出函数
与函数
的图象，再根据
在端点处的斜率关系求出零点个数为6 个，再由对称性可求出所有零点之和为9.
【详解】易知
，可得
，即函数
的定义域为
，
函数的零点即方程
的解，即函数
与函数
的图象交点的横坐
标.
，
，故两函数的图象都是从原点出发，且
是一个交点，
且两个函数的图象都关于直线
对称.
函数
对应的曲线方程为
，表示一个半圆，如图所示：
半圆在
、
处的切线斜率不存在，
而
在
、
处的切线斜率分别为
，
，
可见，这两个函数的图象在区间
上有6 个交点，且这些交点关于直线
对称，
而两个关于直线
对称的点的横坐标之和等于3，故函数
所有零点的和是9
故选：C
3．（2025·安徽滁州·二模）函数
所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知三角函数值求角、求函数的零点
【分析】分类求出函数的零点后可得正确的选项.
【详解】由
或
可得
或
或
或
，
故函数的零点之和为
，
故选：C.
4．（24-25 高三上·重庆长寿·期末）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求余弦（型）函数的奇偶性、求函数的零点、函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据奇函数的定义和零点的定义逐个分析判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为
，因为
，所以此函数为偶函数，所以A
错误，
对于B，函数的定义域为
，因为
，所以此函数为奇函数，
因为
无解，所以此函数无零点，所以B 错误，
对于C，函数的定义域为
，因为
，所以此函数为奇函数，
由
，得
，方程无解，所以此函数无零点，所以C 错误，
对于D，函数的定义域为
，因为
，所以此函数为奇函数，
由
，得
，解得
，所以此函数存在零点，所以D 正确.
故选：D
5．函数
的零点为（ ）
A．4
B．4 或5
C．5
D．
或5
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】运用换底公式化简计算、求对数型复合函数的定义域、对数函数单调性的应用、求函数的零点
【分析】求出函数
的定义域，根据零点的定义结合对数的运算求解即可.
【详解】由题意可得
，解得
，故
的定义域为
，
令
，得
，即
，
因为函数
在定义域内单调递增，所以
，
整理得
，解得
或
，
又
，所以
.
故选：C.
重难点题型【二】、根据函数的零点或零点所在区间求参数的取值范围
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上有零点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】对数的运算、根据零点所在的区间求参数范围
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可.
【详解】因为
在
上单调递增，
所以
，即
，
解得
．
故选：D.
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围
【分析】令
，分析可知函数
在
上为增函数，且该函数在区间
内有零点，可得出
，即可解得实数
的取值范围.
【详解】当
时，由
可得
，
令
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
故函数
在
上为增函数，
因为函数
在区间
内有零点，则函数
在区间
内有零点，
所以，
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：D.
3．（2023·宁夏银川·三模）函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据零点所在的区间求参数范围、零点存在性定理的应用
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数
在区间
上存在零点，
由函数
在
的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足
，
即
，
解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D.
4．（2024·河南南阳·一模）已知函数
在区间
上有最小值，则整数
的一
个取值可以是 ．
【答案】
（答案不唯一，
中的任意整数均可）
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数、根据零点所在的区间求参数范围
【分析】将问题“
在
上有最小值”转化为
在
上有变号零点且在零点两侧的函数值左负
右正，结合二次函数零点分布求解即可.
【详解】由
可知，
，
又
在
上有最小值，
所以
在
上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令
，则
在
上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
所以
，解得
，
又因为
，所以
.
故答案为：
（答案不唯一，
中的任意整数均可）.
5．函数
在
上存在零点，则整数t 的值为 ．
【答案】1
【难度】0.94
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据零点所在的区间求参数范围、零点存在性定理的应用
【分析】得到
的单调性，结合零点存在性定理及特殊值求出答案.
【详解】
在R 上单调递增，由零点存在性定理可知，
，
由于
，
故整数
.
故答案为：1
重难点题型【三】、求函数零点个数或方程解的个数
1．（2025·湖南长沙·三模）已知函数
，方程
的根的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、指数函数图像应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据解析式画出
和
的函数图象，判断图象交点个数即可.
【详解】当
时，
，故
是
的一个周期，
又
时，
，则
，
作出函数
和
的函数图象，
因
，
，
结合图象可知，
和
的函数图象交点个数为.
故选：B
2．（2025·北京·模拟预测）已知函数
，则
的极值点的个数情况可能为 （ ）
A．没有极值点
B．有无穷多个极值点
C．恰有 2025 个极值点
D．恰有 2026 个极值点
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数极值点的辨析、求已知函数的极值点
【分析】先对函数
求导，然后令导数为
，将问题转化为两个函数图象的交点问题，通过分析交点个
数来确定极值点的个数.
【详解】对
求导，可得
.
令
，即
，移项可得
.
那么
的极值点个数就等价于函数
与
图象的交点（不算切点）的个数.
当
时，
，
与
只有一个交点
，且在该点两侧导数符号改变变，所以此时
有1 个极值点；
当
时，
与
都是奇函数，图象关于原点对称，
是周期函数，
是过原点的直线，
随着
的取值不同，由正弦函数的对称性及有界性，两函数图象的交点（不算切点）的个数只能是有限个，
且是奇数个（因为关于原点对称）.
所以该函数可能恰有2025 个极值点.
故选：C
3．（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线
与直线
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求函数零点或方程根的个数、余弦函数图象的应用
【分析】作出
与
的大致图象，由图象即可判断交点个数.
【详解】
，
，
，
作出
与
的大致图象，易知共有3 个交点.
故选：A.
4．（2025·上海·三模）函数
的零点个数为
【答案】3
【难度】0.65
【知识点】求函数的零点、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据
的零点转化为
与
的图象的交点，由图即可
得出答案.
【详解】根据
的零点个数转化为
与
的图象的交点个数，
时，函数
取最大值
，
时函数
的值为
，
又因为
，结合图象可知，两函数图象具有个交点.
所以
的零点个数为个.
故答案为：.
5．（2024 高三·全国·专题练习）函数
的零点个数为 ．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】求函数零点或方程根的个数、求函数的零点、函数与方程的综合应用
【分析】由
可得
或
，对于
的零点个数，考虑将其转化成两函数
，
的交点个数,通过作图即得.
【详解】令
，得
或
．
设
，
，在平面直角坐标系中先画出
的图象，
保留
轴上方的部分图象并把
轴下方的图象向上翻折即得
的图象，
再作出
的图象，如图所示，由图可知两者共有3 个交点.
综上所述，函数
共有4 个零点．
故答案为：4.
重难点题型【四】、根据函数的零点个数求参数的取值范围
1．（2025·浙江丽水·一模）若关于
的方程
恰有四个不同的实根
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与
最值的综合应用、利用导数研究方程的根
【分析】令
，可得
或
，构造函数
，则
，结合导数
可得函数
性质，从而得到
与
的根的关系，即可得
间关系，从而可得
与
间
关系；再借助作差法，结合导数计算可得
与
关系，即可得解.
【详解】由
，则
或
，
则
或
，令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递减，在
上单调递增，
又当
时，
，
，
故当
或
时，
仅有一根，当
时，
有两根，
又
，则
最多有两根，
由题意可得
与
共有四个不同根，
故
，设
两根分别为
、
，且
，
则
两根分别为
、
，则
，
则有
或
，
若
，则
、
、
、
，
若
，则
、
、
、
，
故
，
，
由
，则
，即有
，故D 正确，C 错误；
，
，
则
，
令
，则
，
则当
时，
，则
在
上单调递增，
由
，则
，即
，
即
，即有
，故A、B 错误.
故选：D.
2．已知定义在R 上的函数
，若函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点
【分析】将问题化为
与
有两个交点，利用导数研究
过原点的切线斜率，数形结合判断参
数
的范围.
【详解】作出函数
的图象，如图示：
当
时，
，则
，
若切点为
，则
，则切线为
，
由切线过原点，则
，所以
为
的一条切线方程，
当
时，
，则
，
若切点为
，则
，则切线为
，
由切线过原点，则
，即
，所以
为
的一条切线，
当
时，
，则
，
若切点为
，则
，则切线为
，
由切线过原点，则
，即
，所以
为
的一条切线，
综上，考虑直线
，
，
与曲线
相切，
由图知，当
时
与
有两个交点，
所以
时函数
恰有两个零点．
故选：B
3．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）已知关于
的方程
恰有两个互异的实数解，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根
【分析】先将方程变形转化为
，将方程的实数解的问题转化为函数
与
，
交点个数的问题，再利用函数导数分析函数
的极值（最值），结合函数
的图象分析即可
得.
【详解】由题意知
，所以方程
变形为：
，
.
设函数
，
.
则关于
的方程
恰有两个互异的实数解的问题转化为直线
与函数
的图象有两个不同
的交点，
由
，
当
时，由
，
，此时
，所以函数
在
上单调递减，
当
且
时，由
，
，此时
，所以函数
在
和
上单调递
增.
所以函数在
处有极小值
，也即函数
的最小值.
当
时，
，
，且
，
.所以
且
.
当
从左侧
时，
且
，
.所以函数
且
.
当
从右侧
时，
且
，
.所以函数
且
.
当
，
，
，所以函数
，
所以函数
大致图象如图所示：
由图可知，
与函数
的图象有两个不同的交点，得
.
故
的取值范围是
.
故选：C.
4．（2025·浙江宁波·一模）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点
【分析】根据已知函数的性质，把函数有两个零点转化为方程有两个不同的根，构造函数并求导，利用导
数分析函数单调性，从而求解实数
的取值范围．
【详解】
函数
有两个零点，
有两个不同的根，
当
时，左边为
，右边为
，左边不等于右边，故
不是方程的解；
当
时，
，
令
，求导得
，
，
，
在
上单调递增，在
上单调递增，
当
时，
，且
,
当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
，
函数图像如下图所示，
要使
与
的图像有两个交点，则需满足
，此时
与
在
和
上各有一个交点．
实数
的取值范围为
，
故答案为：
．
5．）已知函数
，关于
的方程
有且只有一个实数根，则实数
的取
值范围是 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜
率）、利用导数研究函数的零点
【分析】将条件转化为函数
与
的图像有且只有一个交点，利用数形结合思想求解.
【详解】方程
有且只有一个实数根，等价于
有且只有一个实数根，
则
，画出
与
的函数图像如图所示：
①当
时：
直线
过点
、斜率为负值：
当
时，
，得
，
由
，得
，此时根为
，抛物线与直线相切.
当
时，
，直线
，无交点.
故当
时，方程仅有一个实根.
②当
时，方程为
，但
，故无解.
③当
时：
直线
过点
、斜率为正值：
当
时，直线过点
（因
），解方程
，当
时，根为
和
，故至少2
个交点，不符合条件.
当
时：
当
时，抛物线
在
上
，直线
（因为
），故无交点.
当
：结合
图象，与直线
只有一个交点.
时
,函数在
处的切线斜率为
，
切线方程为
,该切线恰好过点
,
所以，当
：结合图象直线
在
上与
只有1 个交点.
综上，则实数
的取值范围为
.
故答案为：
重难点题型【五】、嵌套（自我嵌套）函数的零点问题
1．（2025·河北邯郸·一模）已知函数
的定义域为
，
，且
，若
，则
的零点为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求函数的零点
【分析】首先分析
在
上单调递增，再利用换元法设
，得到
，解出值，则
得到
，再令
，解出即可.
【详解】由题意知
在
上单调递增，
设
，且为正常数。
则
，则
，
，解得
或
（舍去），
则
，
，令
，解得
.
故选：C.
2．（2025·安徽·模拟预测）定义一种新运算：
，函数
，则方程
的根的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】先外后内解方程，判断方程根的个数.
【详解】由已知
，令
，
则
，
则
①或
②；
解①得
，解②得
；
则
③或
④，
解③得
或
；
对于④由
的几何意义：
轴上的点
到两定点
的距离之差的绝对值.
而
，可知④无解，
综上，方程
的根的个数为
，
故选：C.
3．（2025·天津·二模）已知函数
，若方程
有且只有一个解，则实数a
的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.15
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】第一步换元，分两大类：当
时，
，或当
时，
，解得
或
即可得解.
【详解】设
，则
，
情形一：当
时，
，解得
或
，
因为
，故不可能有
，
从而只能是
有唯一的解，
这就要求
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，解得
，这与
矛盾，
此时满足题意的
的取值范围是
；
情形二：当
时，
，解得
，
这就要求
，
由于
，故只能是
，解得
，
这就要求
，
此时满足题意的
的取值范围是
；
综上所述，满足题意的
的取值范围是
.
故答案为：
.
4．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数
，若函数
所有零点的乘积为
1，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据函数
的零点可得
，再结合指、对数性质分析可知方程
有根，方程
无根，结合图象即可得结果.
【详解】当
时，可得
；
当
时，可得
，当且仅当
时，等号成立，
即函数
有且仅有1 个零点1，
若函数
有零点，则
，
显然
，可得
，
假设方程
有根，可知方程
有两个不相等根，
设为
，且
，
则
，可得
，即
，
假设方程
有根，可知方程
有且仅有1 个根，设为
，
结合题意可知：方程
有根，方程
无根，
即
与
无交点，与
有2 个交点，
结合图象可知：
或
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
重难点题型【六】、嵌套（与二次函数嵌套）函数的零点问题
1．（2025·宁夏银川·三模）若函数
，则
的零点个数
为（ ）.
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数
【分析】令
，可得
或
，分
，
求导判断
的单调性及极值，进而可
得
，
的解的个数，进而可得
的零点个数.
【详解】令
，则
，所以
，
解得
，解得
或
，
当
时，
，求导得
，
令
，则
，解得
，
若
时，
，若
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
当
时，
在
上单调递增，且
，
所以
有3 个解，
有2 个解，
所以
的零点个数为5 个.
故选：D.
2．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数
，关于
的方程
的根的
个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用
【分析】首先解得
或
，再根据函数
的图象，利用数形结合，即可求解.
【详解】由
得
，解得
或
，
画出
的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10 个交点．（图中只显示了6 个交点，当
或
时，
和
与图象还有4 个交点，）
故选：D.
3．（2025·广东·一模）已知函数
，
，若关于
的方程
有个不
同的实数解，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】指数函数图像应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围
【分析】原方程等价于
或
，则只需
有
个根，数形结合即可得答案.
【详解】函数
是偶函数，大致图象，如图所示：
方程
，
分解因式得
，
解得：
或
，
由函数
的图象可知，
只有个根，
所以
需有
个根才满足题意，
所以实数
的取值范围是：
，
故答案为：
．
4．（2025·四川自贡·一模）若函数
有3 个零点，则实数k 的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点
【分析】根据函数零点和方程的解的关系，以及函数单调性和函数导数的关系，构造函数，判断函数单调
性，求出方程有三个解时，参数的范围即可.
【详解】当函数
有3 个零点时，即方程
有三个解；
当
时，方程无解，
即当
时，方程
有三个解；
设函数
且
，
，
令
，即
，解得
或
，
当
时，
，则
，即
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，则
，即
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，则
，即
，函数
在
上单调递增，
可知
时，
，
时，
，
因为
，所以当
有三个解时，
，即实数k 的取值范围为
.
故答案为：
.
5．（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数
，若关于
的方程
有4 个不同的实数根，则
的取值范围是
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】作出
的图象，由题意知
在
内有两个不等实根，再结合二次方程
根的分布列不等式即可求得m 的范围.
【详解】作出
的图象，
令
，则方程
，即为
，
有4 个不同的实数根，则
在
内有两个不等实根，
所以
，解得
，
所以实数m 的取值范围为
.
故答案为：
.
重难点题型【七】、分段函数的零点问题
1．（24-25 高三下·江苏扬州·期末）已知函数
，
，若函数
有5 个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应
用、利用导数研究函数的零点
【分析】
是1 个零点，进而得
时，函数
有4 个零点，将问题转化成
与
有4 个交点分析计算求解即可.
【详解】由题意，可知：
当
时，
，故
为
的1 个零点；
故当
时，函数
有4 个零点，即
有4 个非0 实数根，
即
有4 个非0 实数根，
即
与
图象有4 个交点，
当
时，
，
当
时，则
，令
得
，
所以当
时
，当
时
，
则函数
在
单调递增，在
上单调递减，
又
，
时
，
时
，
且
时
，
时，
，
所以
图象如图所示：
由图可得
，解得
.
故选：D.
2．（2025·山东临沂·三模）已知函数
，若函数
的零点个数恰为2
个，则（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据题意画出函数
的图象，将原问题转换为
的图象与
的图象的交点个数为2，对
分类讨论即可求解.
【详解】根据题意画出函数
的图象，如图：
函数
的零点个数恰为2 个，等价于方程
的根的个数有2 个，
显然
不是方程的根，所以有
的根的个数有2 个，
即
的图象与
的图象的交点个数为2，易知
，
若
，则
，解得
；
若
，因为左支已交于一点，所以右支必然只能交于一点，
而函数图像在第四象限内的极小值点为
，对应的极小值为
，
所以
且有且只有一个
使得等号成立，
故
且有且只有一个
使得等号成立，
故
，设
，
则
，
故当
时，
；当
时，
，
故
即
综上，
或
，
故选：D．
3．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数
，若方程
的实数解恰有两个，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用
【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数
的取值范围.
【详解】当
时，函数
在
上单调递减，函数值集合为
，
在
上单调递增，函数值集合为
；
当
时，
在
上递增，函数值集合为R，
在直角坐标系内作出函数
的图象与直线
，
由图象知，当
或
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
即方程
有两个实数解.
故选：C.
4．（2025·江苏·模拟预测）已知函数
，若存在实数
，使函数
恰有个零
点，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参
数范围
【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数
使得函数
恰有3 个零点”问
题转化为函数
与直线
有三个交点的问题，结合图象即可求得
的取值范围.
【详解】当
时，
，求导得
，
所以
在
上单调递增，最大值为
.
当
时，
.
当
时，
；当
时，
，
画出
的图象如下：
因为存在实数
使得函数
恰有3 个零点，这个问题可以转化为函数
与直线
有三个交
点的问题.
由图可知
时，存在实数
使得函数
与直线
最多有2 个交点，不合题意.
当
时，存在实数
使得函数
与直线
最多有2 个交点，不合题意.
当
时，由图可以知道，存在实数
使得函数
与直线
恰有3 个交点，符合题意.
故答案为：
.
5．（2025·北京海淀·三模）已知函数
，若函数
有三个零点，则实数
m 的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】分离变量，转化成
与
的交点问题，作出
的图像，即可得到答案.
【详解】易知
为
的零点，当
时，令
，得
，
令
，可得到
，作出
的图像，
如下图，依题意，只需
与
有两个交点即可.
由图可得
.
故答案为：
6．（2025·山西·三模）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据题意当
时，函数有一个零点，所以只要
时，函数
有一个零点即可，利用二次
函数的相关性质可解.
【详解】因为当
时，
解得
，函数
有一个零点；
因此，要使函数
有两个零点，只需
时，函数
有一个零点．
当
时，函数
对称轴为
，
若
，只需
，解得
；
若
，只需
，可得
；
若
，
有且只有一个零点，不满足条件，
综上，
的取值范围为
．
故答案为：
重难点题型【八】、等高线问题
1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数
，存在实数b，使得方程
有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应
用
【分析】根据零点个数得二次函数在
不单调且在该范围上的最小值小于
上的上确界，从而可
取参数的范围.
【详解】由题意知，存在实数
，使得
有3 个不同的实数解，
即二次函数
在区间
不单调，所以
；
且二次函数
的最小值要小于一次函数
的上确界，
即
，解得
，综上得
．
故选：C.
2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
，函数
有三个零点
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函
数的零点
【分析】由
有三个零点，可转化为
与
图象有三个不同的交点
，作出
图象，可得a 的范围，根据韦达定理可得，
，根据对数的性质，可得
，即可得
的
表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案.
【详解】当
时，
，为开口向下，对称轴为
的抛物线，
因为
有三个零点
，不妨令
，
所以
有三个不相等的根
，
即
与
图象有三个不同的交点
，
作出图象，如图所示
所以
，
因为
为方程
，即
的两个不相等实根，
所以
，
因为
为方程
的根，所以
，
所以
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
.
故选：D
3．（2025·海南·模拟预测）已知函数
，若存在不相等的实数
，满
足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值
【分析】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得
，利用对数运算可得
，再利用函数
图象及性质求出
的取值范围即可.
【详解】函数
的图象对称轴
，
，
函数
在
上单调递增，函数值集合为
，在
上单调递减，函数值集合为
，
在
单调递减，函数值集合为
，在
上单调递增，函数值集合为
，
令
，则函数
的图象与直线
有4 个交点，
在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
，
观察图象，得
，
，由
，得
，
由
，得
，则
，
函数
在
上单调递减，
，因此
，
所以
的取值范围为
.
故选：C
4．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，方程
有4 个不同的根
，且满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用
【分析】根据函数
的图象易知
，且
.设
，则
，
，
，代入
中利用换元法及基本不等式即可求解.
【详解】在同一平面直角坐标系下，作出函数
和
的图象如下图所示：
依题意得：
，且
，则
.
设
，则
，
，
，
所以
，令
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
5．（2024·江西·二模）已知函数
（
，
）的图象在y 轴上的截距为
，
在y 轴右侧的第一个零点为
，当
时，若方程
恰有三个不同的根，分别记为
，
，
，则
的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角函数图象的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】先根据已知条件确定
，通过换元将问题转化成方程
在
恰
有三个根，结合函数
图像，利用函数对称特征可得
范围，再转化成求
范围即
可.
【详解】
将
代入得到
，又
，所以
，
因为在y 轴右侧的第一个零点为
，所以令
，解得
，
所以
；令
，由
可得：
，
依题可知方程
在
时恰有三个不同的根，记为
，
，
，
则
（
，2，3），画出
与
在
上的图象.
由图象易知
，
关于直线
对称，则
，
又由图知
，则
，
又
，即
，
解得
.
故答案为：
6．（2024·北京朝阳·一模）已知函数
，若实数
满足
，
则
；
的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用
【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得
，且
时，
关于
对称，即可得解.
【详解】由
，故
在
、
上单调递减，
在
上单调递增，且有
，
，
，
，
，
；
由
，则
，
由
时，
，则
关于
对称，故
，
则
.
故答案为：
；
.
重难点题型【九】、唯一零点问题
1．（2025·贵州·模拟预测）已知函数
，
是
的一个极值点，且
在
上有且仅有一个零点，则实数b 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据极值点求参数
【分析】根据
得出
，再根据
的单调性以及极值即可得出.
【详解】由
，得
，
因为
是
的一个极值点，所以
，
所以
，
，
，
在
上有
得
或
，
得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
因
，
由函数
在
上有且仅有一个零点，
则
，
，解得
，
所以实数b 的取值范围为
．
故选：A
2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数
，
，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由函数对称性求函数值或参数
【分析】构造函数
，再求证
，即可结合对称性得出
求出
值.
【详解】令函数
，
可得
，
即
，所以函数
的图象关于直线
对称，
因为函数
与
恰有一个交点，所以
，
可得
，解得
.
故选：C.
3．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数
，若
在区间
上
有且仅有一个零点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据题意，得到
，得到函数
是
上的偶函数，结合
有且仅
有一个零点，得到
，列出方程，即可求解.
【详解】由函数
，
可得
，
则
，
所以函数
是
上的偶函数，
因为函数
在
上有且仅有一个零点，所以
，即
，解得
．
故选：D．
4．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
有且仅有一个零点，则实数
的
值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】由偶函数的定义得到函数
为偶函数，结合偶函数的图象性质以及
有且只有一个零点，
可知
，从而得到
的值.
【详解】函数
，其定义域为
，
且
，所以函数
是偶函数.
由于偶函数图象关于
轴对称，且
有且仅有一个零点，所以有
，
即
，所以
.
故选：C.
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
在
上有且仅有一个零点，
则
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】正弦函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】结合余弦函数图象以及复合函数单调性和零点存在性定理即可求解.
【详解】当
时，设
，
，
故
时，
，而
，
有且仅有一个零点
，
令
，易知
在
上单调递减，
而
，
，所以，
．
当
时，
，
无零点，不符合题意，舍去；
当
，设
，故
，
所以
，易知
在
上单调递减，
而
，
，所以，
.
综上，
．
故答案为：
6．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共
点，则
.
【答案】0 或2
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】求出曲线在点
处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去
，利用判别式为零可求
的值.
【详解】由
得
，当
时，切线的斜率
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，
因为它与
只有一个公共点，所以
有唯一解，
即
有唯一解，
故
或
，
解得
或
，
故答案为：0 或2
一、单选题
1．用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【分析】先判断函数
的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定
理判断即可.
【详解】设函数
，
因为函数
和
都是增函数，
所以函数
在
上单调递增；
又
，
，
因此，所取的第一个区间可以是
，
故选：B.
2．（2025·云南楚雄·模拟预测）若函数
恰好有一个零点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式
【分析】根据题意直线
与曲线
相切，切点坐标为
，然后求
和
即可.
【详解】令
，可得
.因为函数
恰好有一个零点
，
所以由指数函数图象可知，直线
与曲线
相切.
易知
，设切点坐标为
，则
，解得
.
又切点
在切线
上，所以
，
所以
.
故选：B
3．（2025·广东广州·模拟预测）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】当
时，画出曲线
与
的图象即可得解.
【详解】当
时，曲线
与
的图象如图所示，
由图可知，当
时，曲线
与
的交点个数为4.
故选：B.
4．（2025·重庆·模拟预测）已知
，若函数
存在两个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】由题意得
，构造函数
得
，再构造函
数
，结合图象即可得答案．
【详解】由
，
，知
故
，
即
即
令
则上述式子即为
由于
，且
，
故
在
是单调递增函数，
故由
可得
即
，令
，
，
由
，得
，
当
时，
，
当
时，
，
故
，
，且当
时，
恒成立，
由此可得出
的大致图象如下：
由题意要求函数
存在两个零点，等价于函数
与
的图象有两
个交点，
由图可得：
．
故选：C．
5．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数
，若关于
的方程
有
个不相等的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】将所求方程因式分解后可知当
时，
或
；作出
图象，根据交点个数可
确定
，当
时可知不合题意，进而求得
的范围.
【详解】由
得：
，
当
时，
或
；
作出
图象如下图所示，
则
有三个不等实根，
与
有四个不同交点，
，解得：
；
当
时，
，此时方程有
三个不等实根，不合题意；
综上所述：实数
的取值范围为
.
故选：D.
6．（2025·陕西西安·三模）设函数
.若函数
与
都没有零点，则函数
与
（ ）
A．都没有零点
B．都有零点
C．至少有一个没有零点
D．至少有一个有零点
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求函数零点或方程根的个数
【分析】假设函数
与
都有零点，再根据反证法证明假设不成立即可得答案.
【详解】解：因为
的开口向上，
所以，设
最小值分别为
，
假设函数
与
都有零点，
则存在
使得
，令
，则
；
存在
使得
，令
，则
；
所以
，
下面分三种情况讨论：
假设
，则函数
，即函数
与
有零点，与函数
与
都没有零点矛盾，故不成立；
假设
，则
使得
，此时
，即函数
存在零点
，与
没有零点矛盾，故不成立；
假设
，则
使得
，此时
，即函数
存在零点
，与
没有零点矛盾，故不成立；
综上，假设函数
与
都有零点不成立，即函数
与
至少有一
个没有零点.
故选：C
7．（2025·河北保定·二模）已知函数
记函数
的
个零点为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求函数的零点、零点存在性定理的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】令
，则
，
时，求出
的零点
；
时，利用零点存
在定理得存在零点
；
时，利用导数研究其单调性，进而得
在
上无零点，则
有两个零点
，从而求出函数
的零点，即可得解．
【详解】由题可知
，
令
，则
，
当
时，
，此时
有唯一的零点
；
当
时，
，
当
时，
单调递减，且
，
所以存在
，使得
；
当
时，
，则
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，所以
，
所以
在
上无零点，
所以
在其定义域
上有两个零点
．
当
时，因为
，所以由
，得
，解得
；
当
时，由
，得
，
或
，
所以函数
共有3 个零点，分别为
，
所以
．
故选：A．
8．（2025·山东临沂·三模）已知函数
，若函数
有8 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据题意对实数
进行讨论，分
，
，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求
解.
【详解】⑴ 当
，
时，
，对称轴为
，
所以
在
单调递增，函数图象如下：
令
，
，解得
或
，
即
或
，根据图象
有2 个解，
有1 个解，
所以此时
有3 个零点，不符合题意；
当
，
时，
，对称轴为
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，函数图像如下：
令
，
，解得
或
或
，
根据图象
有2 个解，
有3 个解，
又
有8 个零点，所以
要有3 个解，
即
，解得
，
故选：D.
9．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数
，
，若关于
的方程
有3 个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合
应用
【分析】令
，作出函数函数
的大致的图象，结合图象得出关于x 的方程根的情况，再根据一
元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.
【详解】由题意，作出函数
的大致图象，如图．
令
，由图可知，当
时，关于
的方程
有2 个不同的实数根；
当
时，关于
的方程
无实数根；
当
或
时，关于
的方程
只有1 个实数根．
因为关于
的方程
有3 个不同实数根，
所以关于
的方程
的一个根在
内，
另一个根在
内，或一个根为0，另一个根在
内．
当
为方程
的根时，
，且方程的另一根为
．
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意；
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意．
当
为方程
的根时，有
，则
或
．
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意；
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意．
所以关于
的方程
的一个根在
内，另一个根在
内．
令
，
则
即
解得
．
综上所述，实数的取值范围是
．
故选：B.
10．（24-25 高二下·河南·期中）设函数
，若函数
的图象与直线
有三个交
点，则实数b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据题意，先画
的图像，求导得到其单调性以及极值，然后再画
的图像，结合函数
的图像，即可得到结果.
【详解】
当
时，
，则
．
由
得
，所以
在
上单调递减；
由
得
，所以
在
上单调递增．
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，
当
时，
取得极小值
，
．
又当
时，
，所以函数
的大致图象如图．
由图可知，当
时，函数
的图象与直线
有三个交点，
所以实数b 的取值范围是
，
故选：D．
11．（23-24 高一下·湖南长沙·期中）已知函数
，若关于x 的方程
有4 个不
同的实根
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、对数函数图象的应用、函数图象的
应用
【分析】由对数函数图象可得
，即
，再由二次函数
图象关于
对
称，可得
，求得
可得结果.
【详解】由关于x 的方程
有4 个不同的实根，得函数
与
图象有4 个交点；
作出函数
与
的图象，如图：
观察图象得
，
，
由
，得
，即
，则
，
而二次函数
图象关于
对称，则
，因此
，
由
，解得
或
，则
，
所以
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确作出函数的图象，借助对数函数、二次函数的性质数形结合
求解.
12．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数
（
且
）在
上有唯一零点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点
【分析】将问题转化成两图象的交点问题，利用导数分析单调性数形结合求解.
【详解】由题意可得
在
上有唯一解，即
，
令
，则
，则
，
令
，则
，
则
，
当
时，
的
，开口向上，恒大于零，
所以
为递增函数，
为递减函数，
因为
，所以
在
上无解；
当
时，
必须成立，若
，会出现
图象的情况，
即
在
上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且
），
所以图象只能为
，只需交点横坐标小于1 即可，所以令
可得
，
又
，所以
的范围为
.
故选：B
二、填空题
13．（2024·湖北·二模）已知函数
有零点，当
取最小值时，
的值为
．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据零点求函数解析式中的参数
【分析】首先将方程转化为
，再通过构造几何意义，转化为求函数
的最大值，
再结合几何意义，即可求解.
【详解】设
的零点为，则
，即
，
设
为直线
上的一点，
坐标原点
到直线的距离为
，因为
到原点的距离
，
下求的最小值，令
，则
在
为减函数，在
为增函数，即
，
此时
，所以的斜率为
，
此时
的最小值为
，此时
，
（此时
）．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点以及难点是构造几何意义，将点
看成直线
上的任一点，从而根据几何意义解决问题.
14．（2025·广东江门·模拟预测）函数
的零点个数为 ．
【答案】2
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数
【分析】先求出函数的定义域，求导分析函数单调性及极值，分析函数的极限及最大值，进而利用零点存
在定理得出零点个数．
【详解】
的定义域为
，
函数
的定义域为
，
求导得
，令
，则
，
解得
，
，
，设
，
当
时，
，函数
单调递增；当
时，
，函数
单调递减；
在
处取得极大值，
当
时，
，故
；
当
时，
，故
；
极大值
为最大值，
函数在
从
增至正极大值，穿过
轴一次，有一个零点；
在
从正极大值递减至
必穿过
轴一次，有另一个零点，
函数共有2 个零点．
故答案为：2．
15．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
若关于
的函数
有8 个不同的零点，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】作出函数的图象，则在
时直线
与
的图象有4 个交点，令
，只需方
程
有2 个不同的解，根据一元二次方程根的分布，列不等式求解即可．
【详解】如图，作出函数
的图象，易知
，
当
时，此时
有4 个不同的实数根，
当
或
时，此时
有3 个不同的实数根，
当
时，此时
有2 个不同的实数根，
当
时，此时
有1 个不同的实数根，
当
时，此时
没有实数根，
因此只有在
时直线
与
的图象有4 个交点，
要满足关于
的函数
有8 个不同的零点，
令
，则方程
在
上有两个不等实根，
则有
解得
．
故答案为：
.
16．（22-23 高一上·辽宁大连·期末）已知函数
，其中
.若方程
有且只有一个解，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用
【分析】作出函数
的图象，令
，则
，再分
和
两种情
况讨论，结合图象即可得出答案.
【详解】如图，作出函数
的图象，
令
，则
，
当
时，由
，得
或
，
即
或
，
若方程
只有一个解，
则
，解得
，
若方程
只有一个解，
则
，解得
，
此时方程
必有解，与题意矛盾，所以
，
当
时，由
，得
，即
，
令
，解得
，
要使方程
只有一个解，
则
，解得
，
综上所述，a 的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
17．（2025·河南·三模）已知函数
，若存在实数b，使函数
恰有三个零点，
则a 的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、求幂函数的值域、根据函数零点的个数求参数
范围
【分析】根据幂函数、对数函数的性质，讨论
、
、
结合已知零点个数确定参数范围即
可.
【详解】由
在
上单调递增，且值域为
，
对于
，
当
，则
，而
，此时
最多有两个零点；
当
时，则
，此时
的大致图象如下，
由
在
上单调递增，且
，结合上图，
当
，即
时，
，
恰有三个零点，
当
，即
时，
，
恰有三个零点；
当
时，
在
上单调递增，此时函数
最多有两个零点，不符题意；
综上，
.
故答案为：
18．已知函数
及其导函数
的图象如图所
示，若函数
在
上恰有3 个不同的零点
，且
，则
= .
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、由图象确定正（余）
弦型函数解析式
【分析】根据给定的图象，结合导数可得
在
上递增，由此求出
，借助最大值点求出
，再
作出
在
上的图象，数形结合求解即得.
【详解】因为在区间
上，两个函数图象均为正值，则原函数在区间
上单调递增，
因此最大值为
的函数图象是原函数的图象，
由
及
，得
，解得
，
于是
，由
，得
，即
，
，
而
，则
，因此
，
依题意，
在
上的图象与直线
有3 个交点，
在同一坐标系内作出直线
与函数
在
上的图象，如图，
观察图象知，
，
，所以
.
故答案为：
19．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数
，
，若曲线
与
恰有
一个交点，则实数
．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】通过构造函数
，求证
为偶函数，根据零点个数得到
，计算即可.
【详解】令
，定义域为R，
则
，则
为偶函数，
由于曲线
与
恰有一个交点，则
只有唯一的零点，
则
，解得
.
故答案为：
.
