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重难点培优01 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题
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01 知识重构·重难梳理固根基.............................................................................................................1
02 题型精研·技巧通法提能力.............................................................................................................4
题型01 复合函数的单调性（★★★★★）...................................................................................................4
题型02 复合函数的最值、值域（★★★★★）...........................................................................................5
题型03 复合函数的奇偶性（含综合解不等式）（★★★★★）...............................................................6
题型04 内外自复合型f (f ( x))的零点问题（★★★★）...........................................................................7
题型05 内外双函数复合型f (g( x))的零点问题（★★★★）...................................................................8
题型06 二次型因式分解型a[f ( x)]
2+bf ( x)+c的零点问题（★★★★★）...........................................9
03 实战检测·分层突破验成效...........................................................................................................10
重难知识巩固......................................................................................................................................................10
创新能力提升......................................................................................................................................................13
知识重构·重难梳理固根基
知识点01 复合函数
1、复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：
，令：
，则
转化为
其中叫作中间变
量.
叫作内层函数，
叫作外层函数.
2、求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数
分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在
上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增
增
增
增
减
减
知识点02 常见奇偶性函数模型与技巧
1、常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
2、奇偶性技巧
（1）若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
.
（2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
（3）若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
，
，则
.
（4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如
.
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.
（5）复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
知识点03 函数的零点
一、函数的零点
1、函数零点的概念：对于一般函数
，我们把使
的实数
叫做函数
的零点．
即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．
【注】（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
（2）函数的零点也就是函数
的图象与x 轴交点的横坐标；
（3）函数
的零点就是方程
的实数根．
2、函数的零点与方程的解的关系
函数
的零点就是方程
的实数解，也就是函数
的图象与
轴的公共点的横坐
标．所以方程
有实数根函数
的图象与
轴有交点函数
有零点．
二、函数零点存在定理
1、函数零点存在定理
如果函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，且
，那么，函数
在区间
内至少有一个零点，即存在
，使得
，这个
也就是方程
的解．
2、函数零点存在定理的重要推论
（1）推论1：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，
，且
具有
单调性，则函数
在区间
内只有一个零点．
（2）推论2：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，函数
在区间
内有零
点，且函数
具有单调性，则
．
三、零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令
，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间
上是连续不断的曲线，且
，结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
3、图象法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
的图象，函数
的图象与
轴交点的个数就
是函数
的零点个数．
②两个函数图象：将函数
拆成两个函数
和
的差，根据
，则函
数
的零点个数就是函数
和
的图象的交点个数．
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函
数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．
题型精研·技巧通法提能力
题型01 复合函数的单调性
【技巧通法·提分快招】
在
上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增
增
增
增
减
减
1．函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期末）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
是定义域为
的减函数，则
是（ ）
A．定义域为
的增函数
B．定义域为
的增函数
C．定义域为
的减函数
D．定义域为
的减函数
6．（多选题）在下列区间中，函数
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 复合函数的最值、值域
【技巧通法·提分快招】
复合函数的值域求解
①指数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，将求原函数的值域转化为求
的
值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域，再利用
的单调性求出
的值域．
②对数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域
，再利用
在
上的单调性，再求出
的值域．
（2）形如
（
，且
）的函数的值域：令
，先求出
的值域，
再利用
的单调性求出
的值域．
1．函数
的定义域､值域分别是（ ）
A．
B．
C．
，且
D．
，且
2．（2024·甘肃庆阳·一模）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
的最小值为
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
4．已知
，
，则函数
的最大值为（ ）
A．6
B．-3
C．22
D．13
5．函数
在区间
的最大值为______.
6．已知函数
，若
的值域为
，则实数
的最小值为______.
7．函数
的最小值为_____.
题型03 复合函数的奇偶性（含综合解不等式）
【技巧通法·提分快招】
1、函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做偶函数
关于
轴对称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做奇函数
关于原点对称
2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①
在
上是奇函数，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
在
上是奇函数，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
②
在
上是偶函数，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不
变号加绝对值）；
在
上是偶函数，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（变号
加绝对值）；
③
关于
对称，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
关于
对称，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
④
关于
对称，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
关于
对称，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
1．（25-26 高三下·青海西宁·阶段检测）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·山东青岛·三模）若函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设函数
，则使得
成立的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．定义在
上的函数
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．[0，1]
D．
5．“
”是“函数
是奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
6．已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 内外自复合型f (f ( x))的零点问题
【技巧通法·提分快招】
对于嵌套型复合函数
的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数
和外层函数
；
（2）确定外层函数
的零点
；
（3）确定直线
与内层函数
图象的交点个数分别为，
则函数
的零点个数为
.
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
1．函数
，则函数
的所有零点之和为_________．
2．已知函数
．若关于
的方程
有
个不同的实数根，则实数
的取值范围为
___．
3．已知函数
，若函数
有8 个零点，则实数
的取值范围为
___________．
4．（多选题）已知函数
，下列是关于函数
的零点的判断，其中正确的
是（ ）
A．在
内一定有零点
B．在
内一定有零点
C．当
时，有
个零点
D．当
时，有个零点
5．（多选题）（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
设
是三个不同
的实数，且满足
，
，则下列选项中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
的最小值为
D．
的最大值为
题型05 内外双函数复合型f (g( x))的零点问题
1．已知函数
，则方程
实数根的个数为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．5
2．（25-26 高三上·北京海淀·阶段检测）设函数
，若函数
与
都没有零点，则函数
与
（ ）
A．恰有一个零点
B．至少有一个没有零点
C．至少有一个有零点
D．无法确定
3．（多选题）已知函数
，
，若方程
有且仅有5 个不
相等的整数解，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．最大的整数解是4
D．最小的整数解是
4．已知函数
，若
有6 个零点，则
的取值范围为
_________
5．已知定义在
上的单调函数
满足
，若方程
有2 个
不相等的实数根，则实数
的取值范围是______．
题型06 二次型因式分解型a[f ( x)]
2+bf ( x)+c的零点问题
1．（2026·山西临汾·二模）已知函数
若方程
有三个不同
的实数根，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，若方程
有且仅有个不同实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·福建泉州·期中）函数
，若
恰有6
个不同实数解，则正实数
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，若有另一函数
有且仅有5 个不同零点，则
常数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，
，若关于x 的方程
有19 个不等实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
实战检测·分层突破验成效
重难知识巩固
1．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
在区间
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·浙江温州·期末）已知
是奇函数，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
5．已知函数
在
单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．关于函数
的结论正确的是（ ）
A．值域是
B．单调递增区间是
C．值域是
D．单调递增区间是
7．已知函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．函数
，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
的图象关于
轴对称
C．
在定义域上是减函数
D．
的值域为
10．（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为
.若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·山东威海·一模）已知函数
且
的值域为
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·重庆·一模）已知函数
，若关于
的不等式
成立，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知函数
，若函数
恰有5 个不同的零点，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．已知函数
，若
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．已知函数
，则函数
的零点个数不可能为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
17．已知函数
若关于
的方程
恰有6 个不同的实数
解，则正实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2026·吉林延边·三模）已知函数
，若函数
有
4 个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2026·福建三明·二模）已知函数
与
的图象关于直线
对称，函数
，若方程
在区间
上有两解，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．若函数
（
且
）有最小值，则实数a 的取值范围是__________.
21．（25-26 高三下·北京·阶段检测）已知函数
，则函数
的零点为______；
若函数
有3 个零点，则实数
的取值范围为________．
22．（25-26 高三下·湖北武汉·阶段检测）已知函数
，若
，则函数
的零点个数是___________．
23．已知函数
，若
有6 个零点，则实数m 的取值
范围为______.
创新能力提升
1．（2026·山西晋中·三模）已知
且
，若函数
的值域为
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）已知函数
，若满足
，则实数m 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，有
成立，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，关于
的方程
有且仅有4 个不同的实根，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选题）已知函数
，
，若函数
有3 个不同的零点
，
，
，且
，则
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选题）已知函数
，若方程
有四个实数根
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
若函数
恰有5 个零点，则实数
的取值范围为
________．
8．（2026·河北沧州·二模）已知函数
，若函数
恰有10
个不相等的实数根，则实数
的取值范围为______.
