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难点专题02 数列
（40 题难题）（10 单选10 多选10 填空10 大题）
1. 等差数列通项公式：
或
2. 等差中项：若
，
，
三个数成等差数列，则
，其中
叫做
，
的等差中项
3. 若
，
为等差数列，则
，
仍为等差数列
4. 等差数列前n 项和公式：
或
5. 等差数列的前
项和中，
，（
为奇数）
6. 等比数列通项公式：
7. 等比中项：若
，
，
三个数成等比数列，则
,其中
叫做
，
的等比
中项
8. 若
，
为等比数列，则
，
仍为等比数列
9. 等比数列前
项和公式：
10. 已知
与
的关系
11. 分组求和若
为等差数列，
为等比数列，则
可用分组求和
12. 裂项相消求和
13. 等差数列任意前n 项和的关系
14. 等比数列任意前n 项和的关系
15. 数列不动点
定义：方程
x
x
f
)
(
的根称为函数
)
(x
f
的不动点
利用递推数列
)
(x
f
的不动点，可将某些递推关系
)
(
1
n
n
a
f
a
所确定的数列化为等比数列或较易求
通项的数列，这种方法称为不动点法
定理1：若
),
1
,0
(
)
(
a
a
b
ax
x
f
p 是
)
(x
f
的不动点，
n
a 满足递推关系
)1
(
),
(
1
n
a
f
a
n
n
，则
)
(
1
p
a
a
p
a
n
n
，即
}
{
p
an
是公比为a 的等比数列.
定理2 ：设
)
0
,0
(
)
(
bc
ad
c
d
cx
b
ax
x
f
，
}
{
n
a
满足递推关系
1
),
(
1
n
a
f
a
n
n
，初值条件
)
(
1
1
a
f
a
(1)若
)
(x
f
有两个相异的不动点
q
p,
，则
q
a
p
a
k
q
a
p
a
n
n
n
n
1
1
（这里
qc
a
pc
a
k
）
(2)若
)
(x
f
只有唯一不动点p ，则
k
p
a
p
a
n
n
1
1
1
（这里
d
a
c
k
2
）
定理3：设函数
)
0
,0
(
)
(
2
e
a
f
ex
c
bx
ax
x
f
有两个不同的不动点
2
1, x
x
,且由
)
(
1
n
n
u
f
u
确定着数
列
}
{
n
u
,那么当且仅当
a
e
b
2
,0
时,
2
2
1
2
1
1
1
)
(
x
u
x
u
x
u
x
u
n
n
n
n
16. 错位相减---万能公式求和
为公差为d 的等差数列，
为公比为q 的等比数列，若数列
满足
，则数列
的前
n 项和
为
17. 通项公式的构造
（1）已知
，我们可以用待定系数法构造
，从而转化为我们熟悉的等比
数列求解
（2）已知
用
求通项
（3）已知
用
求通项公式，其本质是除以一个指数式
（4）已知
用
求通项公式，其本质是待定系数法
（5）已知
用
求通项公式，其本质是除以
（6）已知
用
求通项公式，其本质是取到数
（7）已知
用
求通项公式，其本质是取对数
一、单选题
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
为数列
的前
项和，若
，则
等
于（ ）
A．2026
B．2025
C．0
D．1013
2．（2025·河北沧州·一模）记
为数列
的前
项和，
，数列
的前
项
和为
，则
（ ）
A．0
B．40
C．80
D．120
3．（2025·河南·模拟预测）已知数列
满足
，
，若对
，
，则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·黑龙江·期中）单调递增的等差数列
满足
，当公差
取最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河北唐山·模拟预测）数列
的前
项和为
，
的前
项和为
，则数列
（ ）
A．有最大项也有最小项
B．无最大项也无最小项
C．有最小项但无最大项
D．有最大项但无最小项
6．（2025·江西·模拟预测）已知数列
满足：
，
，令
，数列
的前
项和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·湖南·二模）记数列
的前
项和为
，若
，且
，则
的最小值为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知各项都是正数的数列
的前n 项和为
，且
，则下
列说法中正确的是（ ）
A．
B．
是等比数列
C．
D．
9．（2025·江西宜春·模拟预测）在等比数列
中，
，若不等式
成立，则
的最小值为（ ）
A．24
B．25
C．26
D．27
10．（2025·广东广州·模拟预测）已知
是首项为2，公比为2 的等比数列，记
，其
中
，记数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．9143
B．9145
C．10009
D．10154
二、多选题
11．（2025·广西南宁·模拟预测）已知数列
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．若数列
为常数列，则
或
C．若数列
为递增数列，则
D．当
时，
12．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知在数列
中，
，数列
的前
项
和为
，且满足
，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．数列
是等比数列
C．数列
是等差数列
D．若
，则
13．（25-26 高三上·湖北·期中）数列
满足
，且
，数列
的前
项和
为
，从
的前
项中任取两项，它们的和为奇数的概率为
，数列
的前
项积为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知正项数列
满足
为数列
的前
项和，
则（ ）
A．数列
为递增数列
B．
C．
D．
15．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，
且
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列
是递增数列
C．存在正整数
，使得
D．存在正整数
，使得
16．（2025·四川达州·模拟预测）设
的整数部分为
，小数部分为
，则下列结论正确的是
（ ）
A．数列
为等比数列
B．数列
为递增数列
C．
D．整数
的个位数字可以是8
17．（2025·河南许昌·模拟预测）已知数列
满足
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
为
中的最小项
B．对任意的
，
，都有
C．存在
，使得
，
，
成等差数列
D．对任意的
，
，都有
18．（2025·江苏·一模）已知数列
是公比为
的等比数列，且
，则下列叙述中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，且
，则
19．（2025·云南·一模）南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题
转化为求离散量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比，
推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式，后人经常利用“三角垛”解决现实中的堆垛问题．现
有一堆货物，从上向下数，第一层有1 个货物，第二层比第一层多2 个，第三层比第二层多3 个，以此类
推，记第n 层货物的个数为
，前n 层货物的总数为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．集合
中共有25 个奇数
C．设
，则
的前100 项和为2550
D．
20．（2025·江苏常州·模拟预测）已知函数
，数列
满足
，
则（ ）
A．方程
的解集为
B．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
C．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
D．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
三、填空题
21．（2025·云南·模拟预测）数列
满足：
，且
，则
.
22．（2025·安徽·二模）已知等差数列
的公差为
，若集合
，则
．
23．（2025·吉林长春·模拟预测）设
是数列
的前
项和，
，则
（1）
；
（2）
．
24．（2025·浙江·一模）等比数列
满足
，则当
时，
取到
最小值.
25．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知数列
满足递推公式
，
．设
为数列
的
前
项和，则
的最小值是 ．
26．（25-26 高三上·山东日照·开学考试）已知数列
的通项公式是
，记
为
在区间
内的项的个数，则使得不等式
成立的
的最小值为 .
27．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2 数列
的前
项和为
，且
．若
，
则
的最小值为 ．
28．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知各项均不为零的数列
，其前
项和是
，且
．若
为递增数列，
，则
的取值范围是 ．
29．（2025·江苏·三模）已知数列
满足
，
，
.设
，若
不等式
对于任意
都成立，则正数
的最大值为 .
30．（2025·北京海淀·三模）已知
是各项均为正数的无穷数列，其前
项和为
，且
．给出下列四个结论：
①
；
②
，使得
；
③存在一个正数
，使得对任意的
，都有
；
④对任意的
，都有
．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
31．（2025·四川德阳·一模）数列
的通项公式
，
的通项公式
，
且
.
(1)求
，
的值；
(2)求
的前
项和
.
32．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知
为正项数列，
．在
与
之间插入
个7，构成数列
．设
．
(1)求
的通项公式．
(2)设
，求
．
(3)设
，数列
的前
项积为
，数列
的前
项积为
．若不等式
对任意
恒成立，求
的最大值．
33．（2025·江苏·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)证明：
是等差数列；
(2)记[x]表示不超过
的最大整数，
分别为
和
的前
项和，求
.
34．（25-26 高三上·河南·期中）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且对任意的
恒成立，求的取值范围；
(3)若
，数列
的前
项和为
，证明：
．
35．（2025·四川资阳·一模）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)令
，数列
的前
项和为
.求证：
.
36．（2025·广东佛山·一模）已知数列
的各项均为正数，其前
项和记为
，
，
，其
中
为非零常数.
(1)证明：
；
(2)若
，求
；
(3)是否存在
，使得数列
为等差数列？若存在，求出
的通项公式；若不存在，请说明理由.
37．（2025·广东江门·模拟预测）在数列
中，
.
(1)求证：
是等比数列；
(2)若等比数列
满足
.
（i）求
的值；
（ii）记数列
的前
项和为
.若
，求的值.
38．（2025·湖南·三模）已知非零等差数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)已知正项数列
满足：
，且
是
和
的等差中项，求数列
的前n 项和
；
(3)在条件（2）下，记正项数列
的前n 项和为
．求证：
．
39．（2025·河南·模拟预测）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项为1 的递增
数列，若
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的前
项和；
(3)求使得
成立的最大整数
.
40．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，正项数列
满足：
，
．
①求证：
；
②求证：当
时，
．
