文档文本内容
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1.1.1 集合及其表示方法
课程标准
学习目标
1.了解集合的含义和集合元素的特性，理解
元素和集合的关系；
2.掌握几个常用的数集的符号表示；
3.掌握用列举法和描述法表示集合；
4.能够用区间表示集合。
1.集合的含义及其描述法的理解；
2.用区间表示集合的应用；
3.对给出的集合进行化简运算后用区间表示；
4.在理解集合表示方法的过程中，列举法的理解，以
及区间可以用数轴形象地表示，提高学生分析问题
和解决问题的能力；
5.通过观察身边的实例，发现集合含义，体验其现实
意义。
知识点01 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
2
3.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅.
【即学即练1】判断下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）
A．某校高一年级成绩优秀的学生
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3 的自然数
D．2022 年第24 届冬季奥运会金牌获得者
知识点02 元素与集合的关系
1．属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A，记作a∉A.
【即学即练2】给出下列6 个关系：①
，②
，③
，④
，⑤
，⑥
.
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【即学即练3】用符号“∈”或“ ”填空：
∉
1____N， －3____N， 0.3 ___Q， √2___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， √2___R，
0___N*， π___R， 22
7 ___Q， cos30
∘___Z．
知识点03 集合元素的特点
1.确定性：集合的元素必须是确定的。
2.互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。
3.无序性：集合中的元素可以任意排列。
【即学即练4】若以集合A 的四个元素a，b，c，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．矩形
【即学即练5】数集
中的x 不能取的数值的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 集合相等
【即学即练6】集合相等：给定两个集合A 和B 如果组成它们的元素完全相同就称这两个集合相等，记作
A=B。
下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3
知识点05 集合的分类
1.有限集：含有有限个元素的集合。
2.无限集：含有无限个元素的集合。
【即学即练7】判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成
集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5 的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m 的同学．
知识点06 常见的数集及表示符号
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
【即学即练8】已知①
；②
；③0={0}；④
；⑤
；⑥
，其中正确的个数为
______.
知识点07 集合的表示方法
1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2.描述法：一般地，设A 是一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为
{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
注：用描述法表示集合
（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．
一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．
（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
3.区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区
间的概念．
①一般区间的表示：设a，b 是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数
叫做区间的端点.
在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
开区间
4
半开半闭区间
半开半闭区间
②实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋
∞”读作“正无穷大”．
③特殊区间的表示
定义
符号
数轴表示
≥
a
≤
b
【即学即练9】用列举法表示下列集合：
(1)不大于10 的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x 的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1 与y 轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
【即学即练10】用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3 除余2 的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
【即学即练11】下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
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【即学即练12】用区间表示下列集合：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
；（6）
.
易错一 忽略集合元素的互异性
1．方程x2－(a＋1)x＋a＝0 的解集为________．
易错二 忽略元素形式
2．集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}用列举法可表示为________．
【题型1：集合的概念】
例1：下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生
B．2024 年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于x 的正整数
变式1：下列所给的对象能组成集合的是（ ）
A．“金砖国家”成员国
B．接近1 的数
C．著名的科学家
D．漂亮的鲜花
变式2：下列说法正确的是（ ）
A．某个村子里的高个子组成一个集合
B．所有小正数组成一个集合
6
C．集合
和
表示同一个集合
D．
这六个数能组成一个集合
变式3：判断下列元素的全体可以组成集合的是（ ）
①湖北省所有的好学校；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；
③n 的近似值；
④不大于5 的自然数．
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
变式4：下列所给的对象能构成集合的是__________．
（1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；（2）高一（3）班的高个子；
（3）英文26 个字母；（4）中国古代四大发明；（5）方程
的实数根.
【方法技巧与总结】
判断一组对象组成集合的依据
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定
它是不是给定集合的元素．
【题型2：元素与集合的关系】
（一）判断元素与集合的关系
例2：若
是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是（ ）
A．3.14
B．-5
C．
D．
变式1：下列说法正确的有（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
变式2：用符号“
”或“
”填空．
______
，
______
，
______
.
变式3：【多选】已知集合
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
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变式4：已知a、b、c 为非零实数，记代数式
的值所组成的集合为M，则下列判断中正
确的是（ ）
A．0
M
B．-4
M
C．2∈M
D．4∈M
变式5：已知集合
，
，
．若
，
，
．则下面结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（二）根据元素与集合的关系求参数
例3:已知集合A 含有两个元素a 和a2，若2∈A，则实数a 的值为________．
变式1：【多选】设集合
，且
，则x 的值可以为（ ）
A．3
B．
C．5
D．
变式2：已知集合A 中元素x 满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3：已知集合
中有三个元素：
，
，
，集合
中也有三个元素：0，1，
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求实数
的值．
变式4：已知集合S 满足:若
，则
.请解答下列问题:
(1)若
，则S 中必有另外两个元素，求出这两个元素.
(2)证明:若
，则
.
(3)在集合S 中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.
【方法技巧与总结】
1.对元素和集合之间关系的两点说明
（1）符号“∈”“
”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“
”与“
”这两种结果．
（2）∈和
具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R 0
∈是错误的．
2.判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首
先明确集合是由哪些元素构成的．
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(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合
中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表
达式或满足哪些条件．
【题型3：利用集合的互异性求参数】
例4：数集
中的元素a 不能取的值是__________.
变式1：“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________
变式2：一个书架上有九个不同种类的书各5 本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有_____个元素.
变式3：集合
中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（
）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
变式4：已知
，则实数
_______.
变式5：已知集合
，
，若
，
，则
______.
【方法技巧与总结】互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要
检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性．
【题型4：根据集合中元素的个数求参数】
例5：由
，
，3 组成的一个集合A，若A 中元素个数不是2，则实数a 的取值可以是（ ）
A．
B．1 C．
D．2
变式1：已知集合
中的元素
满足：
，且
，又集合
中恰有三个元素，则整数
，
集合
中的元素是 ．
变式2：已知集合
中有且仅有一个元素，那么
的可能取值为（ ）
A．-1
B．2
C．
D．0
变式3：已知集合
中至多含有一个元素，则实数a 的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
9
变式4：已知集合
.
(1)若A 中只有一个元素，求
的值；
(2)若A 中至少有一个元素，求
的取值范围.
变式5：若集合
中有2 个元素，求k 的取值范围．
【方法技巧与总结】
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
【题型5：利用集合中元素的性质求集合元素个数】
例6：已知集合
，
，则集合B 中元素个数为（ ）
A．5
B．6
C．8
D．9
变式1：已知集合
，则集合B 中有________个元素．
变式2：定义集合
，设集合
，
，则
中元素的个数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3：已知集合
，
，定义集合
，则集合M 中所有元素之和
是_____．
【题型6：集合的表示】
（一）列举法表示集合
例7：集合
，用列举法表示为（ ）
A．1 B．2 C．
D．
变式1：方程组
的解集可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
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变式2：设集合
，则用列举法表示集合A 为______.
变式3：用列举法表示下列集合．
（1）不大于10 的非负偶数组成的集合A；
（2）小于8 的质数组成的集合B；
（3）方程
的实数根组成的集合C；
（4）一次函数
与
的图象的交点组成的集合D．
【方法技巧与总结】
列举法表示集合时的4 个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
（二）描述法表示集合
例8：集合
的意义是（ ）
A．第二象限内的点集 B．第四象限内的点集
C．第二、四象限内的点集 D．不在第一、三象限内的点的集合
变式1：用描述法表示下列集合：
（1）
；
（2）偶数集；
（3）被3 除余2 的正整数组成的集合；
（4）
．
变式2：用描述法表示下列集合．
（1）所有不在第一、三象限的点组成的集合；
（2）所有被3 除余1 的整数组成的集合；
（3）使
有意义的实数x 组成的集合．
（4）方程
的解集．
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【方法技巧与总结】
描述法表示集合时的3 个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母．
（三）列举法与描述法的理解
例9：用另一种方法表示下列集合:
(1)
;
(2)
;
(3)已知
，
，写出集合P;
(4)集合
，
，写出集合B.
变式1：用适当的方法表示下列集合．
(1)方程组
的解集；
(2)由所有小于13 的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程
的实数根组成的集合；
(4)二次函数
的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数
的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【方法技巧与总结】
选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常
用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、
应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多
时，就不宜采用描述法．用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无
限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先
要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，
这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方
程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．
（四）区间表示集合
例10：用区间表示下列集合：
(1)
；
12
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
.
变式1：将下列集合用区间表示出来．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
或
．
变式2：用区间表示下列数集：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）R；
（5）
； （6）
．
变式3：用描述法写出下面这些区间的含义：
；
；
；
．
【方法技巧与总结】
理解区间概念的注意点
(1)一般地，区间的左端点的值小于右端点的值．
(2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“，”隔开．
(3)左、右端点a，b 都能取到的叫闭区间；左、右端点a，b 有一端能取到、另一端不能取到的叫半开
半闭区间；左、右端点a，b 都不能取到的叫开区间．
【题型7：集合新定义】
例11：【多选】若对任意x∈A，1
x ∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的
是（ ）
A．{−1,1}
B．{
1
2 ,2}
C．¿
D．¿
变式1：设A 是整数集的一个非空子集，对于
，若
，且
，则称k 是A 的一个“孤立
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元”，集合
中的“孤立元”是___________；对给定的集合
，由S 中的4
个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个．
变式2：对于任意两个正整数
，
，定义运算⊕如下：
①当
，
奇偶性相同时，
；
②当
，
奇偶性不同时，
．
若集合
，则
的元素个数为__________．
变式3：【多选】当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集
合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“ 偏食” ，对于集合
A ={−1, 1
2},B ={x|a x
2=1,a≥0}，若A与B构成“偏食”，则实数a取值可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
一、选择题
1.有下列说法：
①集合N 中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b 的最小值为2；④所有小的正
数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知集合
，
，若
，则a 等于（ ）
A．－1 或3
B．0 或1
C．3
D．－1
3.已知集合S 中的三个元素a，b，c 是△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是（ ）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
二、填空题
4.由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).
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①不超过10的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等
于自身的数.
5.已知集合A ={{∅},∅}，下列选项中均为A的元素的是__________.（填写序号）
①{∅} ②{{∅}} ③∅ ④{{∅},∅}
6.用符号“∈”或“ ”填空
∉
:
(1)设集合B 是小于√11的所有实数的集合,则2√3________B,1+√2________ B.
(2)设集合C 是满足方程x=n2+1(其中n 为正整数)的实数x 的集合,则3________C,5________C.
(3)设集合D 是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)的集合,则-1________D,(-1,1) ________D.
(4)若A 表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0)____A, (1,1)______A,(-1,1)______A.
7.由a,−a,|a|,√a
2构成的集合中，元素个数最多是______.
8.集合A 中的元素x 满足∈N，x N
∈，则集合A 中的元素为________．
9.集合
，若
，则
10.已知集合
是单元素集，用列举法表示
的取值集合___________.
三、解答题
11.用区间表示下列的集合
{x|−1< x ≤2} {x|−6≤x<−1} {x| x<7} {x| x ≥3}
{x|2≤x ≤5}
12.用描述法表示下列集合：
（1）所有被3 整除的整数组成的集合；
（2）不等式
的解集；
（3）方程
的所有实数解组成的集合；
（4）抛物线
上所有点组成的集合；
（5）集合
.
13.用适当的方法表示下列集合．
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(1)方程组¿ 的解集；
(2)由所有小于13 的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程x
2−4 x + 4 =0的实数根组成的集合；
(4)二次函数y = x
2+2 x−10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y = x
2+2 x−10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
14.如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素，其中x＝a＋b(a、b 为有理数)，则下列元素中，不属于集
合M 的元素的有( )
①x＝0；②x＝；③x＝3－2π；④x＝；⑤x＝＋.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
15.集合
为单元素集合，则
______.
16.已知集合
，
，
．若
，
，
．则下面结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
17.【多选】已知x，y，z 为非零实数，代数式
的值组成的集合是M，则下列判断正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
18.已知集合A =¿．
(1)若1∈A，求实数a 的值；
(2)若集合A 中仅含有一个元素，求实数a 的值；
(3)若集合A 中仅含有两个元素，求实数a 的取值范围．
19.以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：
（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数；
（3）−1∉P；（4）若x、y ∈P，则x + y ∈P．
则下列选项哪个是正确的（ ）
16
A．集合P 中一定有0 但没有2
B．集合P 中一定有0 可能有2
C．集合P 中可能有0 可能有2
D．集合P 中既没有0 又没有2
20.设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则
1
1−x ∈A.
(1)若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；
(2)集合A是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若A中元素个数不超过8 个，所有元素的和为14
3 ，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合
A.
