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第05 讲 指数函数与对数函数的关系
课程标准
学习目标
1．知道对数函数y＝logax 与指数函数y＝ax
互为反函数(a＞0 且a≠1)
2．能利用反函数与原函数图像、单调性等
性质的关系解决相关的问题．
1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为
反函数，了解它们的图像间的对称关系．
2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异．
3．利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问
题．
知识点01 反函数的概念
一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y 的值，只有唯一的x 与之对应，那么x 是y 的函
数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x 表示，
因变量仍用y 表示，则函数y＝f(x)的反函数的表达式，可以通过对调y＝f(x)中的x 与y，然后从x＝f(y)中求
出y 得到．
【即学即练1】（24-25 高一上·上海·课堂例题）下列函数没有反函数的是（ ）
①
；②
；③
；④
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
2
【答案】B
【分析】根据
与
之间是否一一对应逐个分析判断即可.
【详解】对于①，当
时，
，所以没有反函数；
对于②，当
时，
，所以没有反函数；
对于③，
与
一一对应，所以有反函数；
对于④，当
时，
或
，所以没有反函数．
故选：B
知识点02 反函数的性质
一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．则
(1)y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同．
(2)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x 对称．
(3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同．
【即学即练2】函数y＝log3 x 的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是( )
A．(0，＋∞)
B．R
C．(－∞，0)
D．(0,1)
【答案】A
【详解】由原函数与反函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域，故选A．
知识点03 求反函数的步骤
(1)求值域：由函数y＝f(x)求y 的范围．
(2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x 不唯一，要根据条件中x 的范围决定取舍，只取一个．
(3)得反函数：将x，y 互换得y＝f－1(x)，注意定义域得反函数．
提醒：求反函数时，若原函数y＝f(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值
域来求．
【即学即练3】函数y＝x＋3 的反函数为__________．
【答案】y＝x－3(x∈R)
【详解】由y＝x＋3，得x＝y－3，x，y 互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3(x∈R)．
知识点04 指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax 互为反函数．
(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax 的图像关于直线y ＝
x 对称．
【即学即练4】已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝logax 的图像只能是( )
3
A B C D
【答案】A
【详解】因为a>1 时，
是减函数，恒过(0,1)点，y＝logax 为增函
数，恒过(1,0)点，故选A．
题型01 反函数存在的条件
【典例01】判断下列函数是否有反函数．
(1)f(x)＝；(2)g(x)＝x2－2x.
【分析】由反函数的定义判断，当函数没有反函数时，可取值说明．
【详解】 (1)令y＝f(x)，因为y＝＝1＋，是由反比例函数y＝向右平移一个单位，向上平移一个单位
得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x 与之对应，所
以f(x)存在反函数．
(2)令g(x)＝3，即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1 或x＝3，
即对应的x 不唯一，因此g(x)的反函数不存在．
【变式1】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个y 至多对应一个x.
对于A，当y 为正数时，一个y 对应两个x，不满足反函数的定义，A 错；
对于B，当y 为正数时，一个y 对应两个x，不满足反函数的定义，B 错；
对于C，当y 为正数时，一个y 对应两个x，不满足反函数的定义，C 错；
对于D，满足反函数的定义，D 对.故选：D
【变式2】若函数
在
上存在反函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
【答案】B
【解析】若函数
在
上存在反函数，
则函数
在
上单调即可，
又因为函数
在
上递减，在
上递增，
所以
，所以
.故选：B.
【变式3】设
是定义在
上的奇函数，当
时，
，若
存在反函数，
则
的取值范围是 ．
【答案】
或
.
【解析】当
时，
，
，
是定义在
上的奇函数，
所以
，即
时，
，
所以
，
若
存在反函数，则
在每段单调且各段值域无重合，
当
，
，
；
所以
或
所以
或
.
【变式4】判断下列函数是否存在反函数．
(1)y＝－2；(2)y＝－2x2＋4x，x (1
∈
，＋∞)．
【解析】 (1)y＝－2 是由函数y＝向左平移1 个单位，向下平移2 个单位得到，在(－∞，－1)，(－
1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x 值与之对应，所以函数存在反函数．
(2)y＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2，对称轴为x＝1，在(1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一
个值，只有唯一的x 值与之对应，所以函数存在反函数．
题型02 求反函数的解析式
【典例2】（23-24 高一上·广东茂名·期末）若指数函数
经过点
，则它的反函数
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由指数函数的定义，结合反函数的概念即可求解.
【详解】设指数函数
且
，点
在
的图象上，
5
所以
，解得
.
所以
，故反函数
.
故选：A
【变式1】（23-24 高一上·辽宁大连·期末）函数y
的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据反函数定义求解即可.
【详解】解：∵y
，∴
，
∴
，即
，∴
，
将x，y 调换可得，
，
故函数y
的反函数是
．
故选：D．
【变式2】（24-25 高一上·上海·随堂练习）若函数y = f (x)的反函数为
，则y = f (x)的解析式
为 ．
【答案】
【分析】根据反函数的定义求解即可.
【详解】由
，
得
，
将
互换得，
，
且函数
的值域为R，
因此，函数
，
故答案为：
．
【变式3】（23-24 高一上·山西太原·期末）已知函数
与
互为反函数，则
.
【答案】9
【分析】由指数函数与对数函数互为反函数可得答案.
【详解】由对数函数的反函数为相应的指数函数可得
，
故
.
故答案为：9.
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【变式4】（23-24 高一上·上海·期末）函数
的反函数为 .
【答案】
【分析】利用反函数的定义求解即可.
【详解】因为
的反函数为
，
所以
，则
.
故答案为：
.
题型03 反函数过定点问题
【典例3】（23-24 高一上·辽宁·期末）函数
（
且
）的反函数过定点 ．
【答案】(2,1)
【分析】根据指数函数的性质及反函数的性质计算得到.
【详解】对于函数
（
且
），令
，即
，所以
，
即函数
（
且
）恒过点
，
所以函数
（
且
）的反函数恒过点
.
故答案为：
【变式1】（22-23 高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数
的图象过点
，其反函数的图象
过点
，则
的表达式是 .
【答案】
.
【分析】利用互为反函数的两函数图象对称性可得函数也过
，代入点的坐标待定系数可得.
【详解】由函数
的图象与其反函数的图象关于
对称，
又其反函数的图象过点
，则函数
的图象过点
.
则
，解得
.
又函数
的图象过点
，
则
，解得
.
故
.
故答案为：
.
【变式2】已知函数y = f (x)存在反函数y = f
−1(x)．若函数y = f (x)+2的图像经过点（1，1），则函数
y = f
−1(x)−2的图像必经过点______．
【答案】(−1,−1)
【分析】由已知可得f (1)=−1，再由反函数的性质可得f
−1(−1)=1，从而可得f
−1(−1)−2=−1，进而可
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得答案
【详解】因为函数y = f (x)+2的图像经过点（1，1），所以f (1)+2=1，得f (1)=−1，
所以由反函数的性质可得f
−1(−1)=1，所以f
−1(−1)−2=−1，所以函数y = f
−1(x)−2的图像必经过点
(−1,−1)，故答案为：(−1,−1)
【变式3】已知函数f
−1(x)为函数f (x)的反函数，且函数f (x−1)的图象经过点(1,1)，则函数f
−1(x)的图象
一定经过点___________.
【答案】(1,0)
【分析】先求出函数f (x)的的图象经过点的坐标，再由函数f
−1(x)与函数f (x)的图象关于y = x对称即可求
解.
【详解】因为函数f (x−1)的图象经过点(1,1)，所以函数f (x)的的图象经过点(0,1)，因为函数f
−1(x)与函
数f (x)的图象关于y = x对称，所以函数f
−1(x)的图象一定经过点(1,0)，故答案为：(1,0).
题型04 根据反函数求参数
【典例4】（24-25 高一上·上海·随堂练习）如果直线
与直线
关于直线
对称，那么
a、b 的值分别是 、 ．
【答案】
－9
【分析】根据反函数的定义即可求解.
【详解】因为直线
与直线
关于直线
对称，
所以函数
与
互为反函数，
又
的反函数为
，
所以
，
．
故答案为：
；
.
【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数f ( x)的图象与y =e
x的图象关于直线y = x对称，若f (m)=−1
，则m的值是（ ）
A．−e
B．−1
e
C．e
D．1
e
【答案】D
【分析】由题得f ( x)= ln x ,根据f (m)=−1即得解.
【详解】解：因为函数f ( x)的图象与y =e
x的图象关于直线y = x对称，所以f ( x)= ln x ,因为f (m)=−1，
所以ln m=−1,∴m= 1
e .故选：D
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【变式2】已知函数
的图象关于直线
对称，则实数m 的值为
【答案】1
【解析】由
得
，
即
，即
的反函数为
，
因为函数
的图象关于直线
对称，
故
与
为同一函数，故
.
题型05 反函数的定义域问题
【典例5】（24-25 高一上·全国·课前预习）函数
的反函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】计算函数
的值域，可求出原函数的反函数的定义域.
【详解】由对数函数的性质可得：函数
的值域为
，
则反函数的定义域为
.
故选：D.
【变式1】（24-25 高一上·上海·随堂练习）函数
，
的反函数的定义域是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可.
【详解】因为函数
在
单调递增，
所以
，
即
，
因为反函数的定义域是原函数的值域，
所以反函数的定义域为
，
故选：C．
9
【变式2】函数
的反函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】∵
，∴
，
∴函数
的值域为
．
∵
的定义域即函数
的值域
∴
的定义域为
．
【变式3】函数
与函数
互为反函数，若
且
，则函数
的定义域为（
）
A．
B．R C．
D．
【答案】C
【解析】∵当
时，
，
∴函数
，
的值域为
，
又
与
互为反函数互为反函数，
故
的定义域为
.故选：C.
【变式4】（多选）已知函数
和
，以下结论正确的有（ ）
A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换
C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线
对称
【答案】ABD
【解析】A 选项，注意到
，则其与函数
互为反函数，故A 正确；
B 选项，函数
定义域为
，值域为R.
函数
定义域为R，值域为
.故B 正确；
C 选项，当
时，两函数均在定义域内单调递减.
当
时，两函数均在定义域内单调递增.故C 错误；
D 选项，两函数互为反函数，则函数图像关于直线
对称，故D 正确.
故选：ABD.
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题型06 反函数的图像
【典例6】（2023·辽宁·高一校联考期末）如图，已知函数
，则它的反函数
的大致图
像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，函数
的反函数是
，
这是一个在
上的单调递增函数，且
，
所以只有选项C 的图像符合.故选：C.
【变式1】（2023·高一课时练习）函数
的图像经过第二、第三象限，则
的图像经过（
）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【答案】C
【解析】∵
的图像与
的图像关于直线
对称，
若函数
的图像经过第二象限，
即
的图像上的任意点
满足
，
则
关于直线
的对称点
在第四象限，
且
在
的图像上，
∴
的图像经过第四象限；
同理可得：若函数
的图像经过第三象限，
则
的图像经过第三象限；
故
的图像经过第三、第四象限.故选：C.
【变式2】（23-24 高一上·福建泉州·期末）若函数
与函数
的图象关于直线
对称，
则
的大致图象是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意首先得
，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解.
【详解】由题意函数
与函数
互为反函数，
所以
，解得
，它在定义域
内单调递增，且过定点
，
对比选项可知A 符合题意.
故选：A.
【变式3】（23-24 高二上·天津和平·阶段练习）如果直线
与直线
关于直线
对称，
那么
，
的值分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】利用反函数的性质直接求解即可.
【详解】因为直线
与直线
关于直线
对称，显然
，
所以函数
与函数
互为反函数，
又因为
的反函数为
，
所以
，即
，
故选：A
题型07 单调性问题
【典例7】（23-24 高一上·辽宁丹东·期末）已知函数
与
的图象关于直线
对称，且
，则函数
的单调递减区间是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用反函数知识求出
，结合复合函数的单调性可判断出
的单调递减区间.
【详解】因为函数
与
的图象关于直线
对称，
所以
，
因为
，所以
，解得：
.
所以
，
由
，可得
的定义域为
，
令
，则
在
单调递减，
而
在定义域单调递增，
由复合函数的单调性可知:
在
单调递减.
故选：C.
【变式1】（22-23 高一上·云南昆明·期末）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对
称，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意，函数
与
互为反函数，求得
，然后根据复合函数单调性的性质得出答
案.
【详解】由题意，函数
与
互为反函数，则
，
所以
，
由
，解得
或
，即函数的定义域为
或
，
令
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
又
在
上单调递增，
所以
的单调递增区间为
.
故选：D.
【变式2】若函数
，函数
与函数
图象关于
对称，则
的单调减区间是
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用反函数的性质及复合函数单调性的性质求解即可.
【详解】∵函数
与
的图象关于直线
对称，
∴函数
是
的反函数，则
，
∴
，
由
，解得
，
所以
的定义域为
，
令
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
在
上单调递减，
∴
的单调减区间为
.
故选：D.
题型08 反函数与零点问题
【典例8】（23-24 高一下·广东东莞·阶段练习）已知方程
与
的根分别为
，则下列
说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对于A，用函数图象的对称性来判断；对于B，利用零点存在定理来判断；对于C，直接计算可得
答案；对于D，作差判断大小．
【详解】对于A、C，方程
与
的根分别为
，
，
即
与
的交点横坐标为
，
与
的交点横坐标为
，
由题知
，
，
与
的图象关于
对称，
14
都与
相交，可得点
与点
,
关于
对称，
所以
，即
，故A，C 正确；
设
，显然函数在R 上单调递增，
又
，
对于B，由零点存在定理可知
，根据对称性可得
，B 正确；
对于D，由B 选项知，
，
，
则
，
所以
，D 错误，
故选：D．
【变式1】（23-24 高一上·北京·阶段练习）若
是函数
的零点，
是函数
的零点，则
的值为（ ）
A．1
B．2023
C．
D．4046
【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于
对称，结合反比例函数的图象也关于
对称，从而数形结合即可得解.
【详解】因为
是函数
的一个零点，
是函数
的一个零
点，
所以
，
，即
，
，
设函数
与
的交点为
，则A(x1, y1)，
，
设函数
与
的交点为
，则B(x2, y2)，
，
因为函数
与函数
互为反函数，
所以它们的图象关于
对称，
而
的图象也关于
对称，
所以点
关于
对称，即
，
所以由
得
，即
.
15
故选：B.
【变式2】（23-24 高一上·广东·阶段练习）若
，
分别是方程
，
的根，
则
（ ）
A．
B．2023
C．
D．4046
【答案】A
【分析】由于
的图像与
图像关于直线
对称，而直线
也关于直线
对称，
利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出
的值.
【详解】
由题意可得
是函数
的图像与直线
交点
的横坐标，
是函数
图像与直线
交点
的横坐标，
因为
的图像与
图像关于直线
对称，而直线
也关于直线
对称，
所以线段
的中点就是直线
与
的交点，
由
，得
，即线段
的中点为
，
所以
.
故选：A
【变式3】（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数
和
的图象与直线
交点
的横坐标分别
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
16
【答案】B
【分析】作出函数
和
的图象以及直线
的图象，利用反函数的性质即可判断
【详解】作出函数
和
的图象以及直线
的图象，如图，
由函数
和
的图象与直线
交点
的横坐标分别为
，
，
由题意知
，也即
,
由于函数
和
互为反函数，
二者图像关于直线
对称，
而
为
和
的图象与直线
的交点,
故
关于
对称，
故
.
故选：B.
题型09 指数函数与对数函数的综合应用
【典例9】 已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0．
(1)求a 的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k (0
∈
，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2．
【分析】(1)判断奇偶性奇偶性定义．
⇒
(2)求反函数反解，改写，标注定义域．
⇒
(3)对数不等式构建不等式组
解不等式组得出解集．
⇒
⇒
⇒
【详解】(1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝．
因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)＝y＝＝1－，
所以2x＝(－1<y<1)，
所以f－1(x)＝log2(－1<x<1)．
(3)因为f－1(x)>log2，
即log2>log2，
17
所以所以
所以当0<k<2 时，原不等式的解集为{x|1－k<x<1}；
当k≥2 时，原不等式的解集为{x|－1<x<1}．
【变式1】已知指数函数
的反函数为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)已知函数
，求不等式
的解集．
【答案】(1)f (x)= log2 x
(2)
【分析】（1）根据指数函数的定义可得
，再根据指数函数的反函数是对数函数分析可解；
（2）根据奇偶性的定义以及复合函数单调性判断
的奇偶性和单调性，进而解不等式.
【详解】（1）若
为指数函数，
则
，且
，解得
，即
，
所以指数函数
的反函数为f (x)= log2 x.
（2）因为
，可知
的定义域为R，
且
，
可知
为定义在R上的偶函数，
又因为
在
上单调递增，且y = f (x)在定义域内单调递增，
所以
在
上单调递增，且
在
内单调递减，
对于不等式
，可得
，
整理得
，解得
，
所以等式
的解集为
.
【变式2】设函数
（其中a>0且
）．
(1)求函数
的解析式；
(2)设函数
，
，如果当
时，
恒成立，求a 的取值
范围．
18
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据求反函数的基本方法求出反函数即可；
（2）先求出ℎ(x)的解析式，依题意，
可得
，根据
，可转化为二次函数的恒成立
问题，即可求出a 的取值范围．
【详解】（1）
，
．
（2）
，
，
依题意，
，即
．
由
，得
，
解得
，即
，
设
，其对称轴
，
所以函数
在
单调递增．
由
，
解得
，又
，
所以a 的取值范围是
.
【变式3】已知
，
(1)求
的反函数
；
(2)已知
，若
，使得
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）易得
，从而根据其单调性求得值域，然后再利用反函数的定义求解；
（2）易得
，由
，得到其定义域为
，由
在
上单调递增，其中
19
．根据
，由
得到
求解.
【详解】（1）解：
，
则其在
上单调递增，其值域为
．
在
中互换
得
，整理得
，
，即反函数
，定义域为
．
（2）依题意
，
其中
，解得
，即
的定义域为
，
则
在
上单调递增，其中
．
，
，
．
，
当且仅当
，即
时取得，此时
成立，
的最大值为
．
一、单选题
1．下列命题组真命题的个数为（ ）
①存在反函数的函数一定是单调函数
②偶函数存在反函数
③奇函数必存在反函数
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
20
【分析】取特例结合反函数定义和性质判断即可.
【详解】对①，取函数
，显然存在反函数，但不单调，①错误；
对②，取偶函数函数
，则
，显然函数
不存在反函数，②错误；
对③，取奇函数函数
，当
时有
和
与之对应，
即从
到
的映射不满足函数定义，故奇函数
没有反函数，③错误.
故选：A
2．函数
是与函数
的图象（ ）
A．关于
轴对称
B．关于
轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线
对称
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的关系判断可得出结论.
【详解】函数
是与函数
的图象关于直线
对称.
故选：D.
3．若函数
是函数
（
且
）的反函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得出
，结合
可得出
的值，进而可求得函数
的解析式.
【详解】由于函数
是函数
（
且
）的反函数，则
，
则
，解得
，因此，
.
故选：B.
4．已知函数
的反函数为
，则
的图像为（ ）
A．
B．
21
C．
D．
【答案】C
【解析】先求出函数
的反函数
，进而得到
，再利用单调性排除部分选项，再利用
特殊值法求解.
【详解】因为函数
的反函数为
，
所以
，是R 上的减函数，
排除AB，
又当
时，
，排除D,
故选：C.
5．已知函数
过点
，若
的反函数为
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】把点
代入
，求得
解析式，可得反函数
解析式，由
，得
的定义域为
，可求值域.
【详解】函数
过点
，则
，解得
，
∴
，
的反函数为
，得
，
由
，∴
的定义域为
，当
，有
，则
的值域为
.
故选：D
6．函数
的反函数的解析表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将
中的
互换位置，再化简得到
.
【详解】令
，化简得：
，即
.
22
故选：A
7．若函数
的反函数为
，则必有（ ）
A．
，
为任意实数；
B．
，
为任意实数；
C．
，
；
D．
，
或
，
为任意实数．
【答案】D
【分析】根据题意结合反函数的概念运算求解.
【详解】由
，解得
，
故函数
的反函数为
，
由题意可得：
，解得
或
，
故A 错误，B、C 不一定成立，D 正确.
故选：D.
8．已知函数
的反函数图像的对称中心是
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题可根据反函数性质得出函数
的对称中心是
，然后通过
即可得出
结果.
【详解】因为函数
的反函数图像的对称中心是
，
所以函数
的对称中心是
，
则
，即
，解得
，
故选：A.
二、多选题
9．设
且
，函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
与
在各自的定义域内有相同的单调性
B．
与
两者的图象关于直线
对称
23
C．
与
两者都既不是奇函数，又不是偶函数
D．
与
有相同的定义域和值域
【答案】ABC
【分析】根据指对数的关系及指对数函数的性质判断各项正误.
【详解】由指对数关系知：
互为反函数，即关于直线
对称，B 对；
由于
相同，则
在各自定义域上单调性相同，且都是非奇非偶函数，A、C 对；
由
定义域为R，值域为
，
定义域为
，值域为R，
所以
与
的定义域和值域都不同，D 错.
故选：ABC
10．设
分别是方程
与
的实数解，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用反函数性质结合图像求解即可.
【详解】方程
与
分别变形为：
因为
和
互为反函数，且
关于
对称，
所以
，故CD 正确，
画出
和
，
的图像，易知A 正确；
又因为
，结合图像，易知
，故B 错误.
故选：ACD
24
11．已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，令
，则关于
函数
说法正确的是（ ）
A．函数
的图象关于原点对称
B．函数
的图象关于
轴对称
C．函数
的最小值为
D．函数
在
上为减函数
【答案】BC
【分析】求出
的解析式后可研究函数的奇偶性、单调性和最值等性质，从而可得正确的选项.
【详解】因为函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，
所以
，则
，
，
，
则函数
为偶函数，图象关于
轴对称，所以B 正确，A 错误；
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以C 正确，D 错误.
故选：BC.
三、填空题
12．已知函数
是函数
的反函数，则
过定点 .
【答案】(1,0)
【分析】首先求出原函数过定点坐标，再根据反函数的性质得解
【详解】
函数
是函数
的反函数，
又函数
过定点
所以函数
过定点(1,0).
故答案为：(1,0)
13．已知函数
，
，则
.
【答案】3
【分析】求反函数的值的问题，只需利用原函数与反函数的内在联系，使原函数的函数值取反函数的自变
量的值，在原函数的定义域内求得自变量的值即反函数的对应函数值.
【详解】根据原函数与其反函数的关系，要求
的值，
只需使函数
(
)的函数值取
，即
，解得
，
25
因
，故
，即得：
故答案为：.
14．定义在
上的函数
不存在反函数，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意函数
在
上不存在反函数，即函数在区间
上不是单调函数，由此
得出
的不等关系式，求解即可.
【详解】由题意当
时，
，
若函数
在
上不存在反函数，
则
，所以
.
故答案为：
.
四、解答题
15．函数
与
互为反函数，若
（x<0）．求函数
的解析式，定义域，值域．
【答案】
，定义域为
，值域为
．
【分析】根据指数函数与对数函数互为反函数，可求
的解析式，根据原函数与反函数定义域和值域的
关系可求定义域和值域.
【详解】
是增函数，所以
，
故
的定义域为
，值域为
，
所以
，
，定义域为
，值域为
．
16．已知
(1)求
，并指出其在定义域内的单调性，无需写出证明过程；
(2)已知
为
的反函数，解不等式
．
【答案】(1)
，在
上单调递增
(2)
【分析】（1）取
，
，代入函数化简得到解析式，根据解析式确定单调性即可.
26
（2）确定
的值域为
的定义域
，
的解集为
，根据
解得答
案.
【详解】（1）取
，则
，
，
，
即
，定义域为
，
设
，
，则
，函数单调递增，
在
上单调递增，
故
在
上单调递增．
（2）
的值域为
的定义域
，
在
上单调递增，
故
时，
的取值范围为
，故
的解集为
，
，可得
，解集为
．
17．已知
(1)求
的反函数；
(2)若
，求a 的值.
(3)如何作出满足（2）中条件的
的图像
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）用
表示出
即可求解反函数，
（2）根据
，即可列方程求解
，
（3）根据函数图象的平移即可求解.
【详解】（1）由
得
.
∴
的反函数为
（2）若
，即
，化简得
，解得
.
27
（3）当
时，
，
只需要将反比例函数
图像向右平移2 个单位，再向上平移2 个单位，即得
图象，故图象
如下：
18．我们知道
与
（
且
）互为反函数，它们具有以下性质：①图象关于直线
对称；②
的定义域是
的值域，
的值域是
的定义域，反之亦然；③若点
在函数
的图象上，则点
一定在函数
的图象上.
(1)若函数
与
互为反函数，求实数a，b 的值；
(2)运用（1）题中得到的函数
，若对
，使得
成
立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据互为反函数的定义，在已知函数图像上取点，通过另一个函数计算求得参数值；
（2）理解题设命题的含义即：
，分别求两函数在给定区间上的最小值
函数，最后通过解不等式即可求得参数范围.
【详解】（1）由题知，
与
互为反函数，所以
，
又因为函数
图像过点
，所以函数
图像过点
，即
，所以
，
即
.
（2）由（1）知
，显然
在
上单调递增 ，所以
.
令
则
则
，
，其图像对称
轴为直线
，
28
则
即
因
，使得
，即
，
①当
时，由
得
，故舍去；
②当
时，由
得
，即
或
，故
；
③当
时，由
，即
，所以
.
综上可得：a 的取值范围为
.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查互为反函数的两函数的联系和通过运用量词“
”连接的命题的真
假求解参数范围.
解题的关键是理解互为反函数的两函数在结构和图像上的点关于直线
对称的关系.对于用量词“
”连接的命题，若是其中含不等号，则是两函数的最值间的大小关系；若是等式，则一般利用变量分离法
转化成参数与对应函数值域的包含关系来解决.
19．已知函数
，且y = f (x)的反函数为y = g(x).
(1)求
的值；
(2)若函数
，问：ℎ(x)是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实
数
的取值范围：若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据反函数的概念求出函数
的解析式，再利用对数的运算性质和对数恒等式可求得所
求代数式的值；
（2）设
，对判别式的符号分类讨论，判断函数ℎ(x)的零点个数，结合二次方程以及对数与
指数的互化可得出函数ℎ(x)的零点.
【详解】（1）由题意可得
，
所以
.
（2）因为
，令
，则
，
29
设
，则
，
①当
，即
时，函数ℎ(x)无零点；
②当
，即
时，令
解得
，
由
解得
，所以此时ℎ(x)的零点为
；
③当
，即
时，
的根为
，
，
由
可得
或
，解得
或
，
此时ℎ(x)的零点为
和
；
综上所述，当
时，函数ℎ(x)无零点；
当
时，函数ℎ(x)的零点为
；
当
时，函数ℎ(x)的零点为
和
.
