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2026年高考数学8+3+3+1强化训练（24）【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，若 ，且 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因式分解得 ；可得 ，
故集合 ；
因为 且 ，所以 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
故选：C.
2.若复数z满足 （其中i是虚数单位），则（ ）
A． 的实部是 B． 的虚部是 C． D．
【答案】D
【解析】因为复数 满足 ，
所以 .
因为复数 的实部是 ，故A错误；
因为复数 的虚部是 ，故B错误；
因为复数 ，故C错误；
因为复数 ，故D正确.故选：D
x2 x2
3.已知曲线C ： + y2=1 (a>1)，曲线C ： −y2=1的离心率分别为e ，e ，且e =❑√5e ，则a=（ ）
1 a2 2 4 1 2 2 1
2❑√3
A． B．❑√2 C．❑√3 D．❑√5
3
【答案】A
【解析】曲线 的长半轴长为 ，短半轴长为 ，所以焦距为 .
C a 1 2❑√a2−1
1
曲线C 的实半轴长为2，虚半轴长为1，所以焦距为2❑√4+1=2❑√5.
2
由 ❑√5 ❑√a2−1 2❑√3.
e =❑√5e ⇒ =❑√5⋅ ⇒a=
2 1 2 a 3
故选：A.
4.已知 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
对于A，易得 ，所以 ，故A成立.
对于B，因为 ，所以 ，故B成立.
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，
显然等号不成立，所以 ，故C不成立.
对于D，因为 且 ，
所以 ，故D成立.
故选：C.
5．已知函数 的部分图象如图所示，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题图可知 相邻对称轴间的距离为 ，可得 ，
因此 ， ，
当 时， ， ，故 ， ．
由 可得 ，
由函数的最大值为3可得 ，因此 ，
由 ，得 ，
∴ ．
故选：A．
6.已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 恒成立，且 ，则 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造函数 ， 则 ，
由 ，得 ，故 在 上单调递减.计算 .
将 变形为 ，即 .
因 单调递减，故 ，解得 .
故选：C
7.双曲线 的左、右焦点分别为 ，以右焦点 为焦点的抛物线 与双曲线
交于第一象限的点P，若 ，则双曲线的离心率 （ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可设 ，双曲线的半焦距为 ， ，则 ，
过 作 轴的垂线l，过 作l的垂线，垂足为A，显然直线 为抛物线的准线，
则 ，
由双曲线的定义及已知条件可知 ，则 ，
由勾股定理可知 ，
易知 ，即 ，
整理得 ，∴ ，即离心率为2.
故选：A8.已知函数 ，对任意的 ，恒有 ，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． 为奇函数 C． D．
【答案】C
【解析】对于A：令 ，则 ，又 ，所以 ，故A错误；
对于B：因为 ，所以 不为奇函数，故B错误；
对于C：令 ，则 ，即 ，得 .
由 的任意性可知 ，故C正确；
对于D：令 ，则 ， ，则
，所以 ，可得 ，
可知 是周期为6的周期函数．所以 ，故D错误．
故选：C．
二、多选题
9.下列说法正确的是（ ）
A．已知一组数据为 ，1，2，4，3，5，10，9，若 为这组数据的上四分位数，则 的展开式中 的
系数为
B．数据 组成一个样本，其回归直线方程为 ，其中 ，去除一个异常点
后，得到新的回归直线必过点
C．若随机变量 ，则函数 为偶函数D．在 列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则 变为原来的9倍
其中
【答案】ABC
【解析】对于A，将原数据按照从小到大的顺序排序为 ，
因为上四分位数就是第75百分位数，所以 ，所以 ，
因为 的二项展开式的通项为
令 ，解得 ，所以 的展开式中 的系数为 ，
故A正确；
对于B，因为回归直线方程为 过样本的中心点 ，
所以 ,
所以去除一个异常点 后， ，
所以新的回归直线必过点 ，故B正确；
对于C，因为随机变量 ，所以其图象关于 对称，
所以 关于对称轴 的对称点为 ，即 ，
关于对称轴 的对称点为 ，即 ，
根据正态曲线的对称性可知
因为 ，所以 ，
所以 ，所以函数 为偶函数，故C正确；
对于D，在 列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则
，所以 变为原来的3倍，故D错误.
故选：ABC
10.记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则（ ）
A． B． C． 为等差数列 D． 为等比数列
【答案】ACD
【解析】设等差数列 的公差为 ，由题意可得 ，解得 ，故 .
对于A，由通项易得 ，故A正确；
对于B，因 ，而 ，即 ，故B错误；
对于C，因 ，则 ，由 ，可得数列 为等差数列，故
C正确；
对于D，因 ，则 ，由 ，可得 为等比数列，故D正确.
故选：ACD.
11．如图，在直三棱柱ABC−A B C 中，AC=CC =3，BC=4，且AC⊥BC，点D在线段AB上运动，则下
1 1 1 1
列结论正确的有（ ）
A．AC ⊥平面A BC B．A D与BC 不可能平行
1 1 1 1
C．A C与B D不可能垂直 D．四棱锥A −CBB C 的外接球面积为34π
1 1 1 1 1
【答案】ABD
【解析】A：由题CC ⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CC ⊥BC，
1 1
又因AC⊥BC，且AC∩CC =C，AC,CC ⊂平面A A C C，
1 1 1 1
所以BC⊥平面A A C C，因AC ⊂平面A A C C，所以BC⊥A C，
1 1 1 1 1 1
又AC=CC =3，则四边形A A C C为正方形，所以AC ⊥A C，
1 1 1 1 1因A C∩BC=C，A C,BC⊂平面A BC，所以AC ⊥平面A BC，故A正确；
1 1 1 1 1
B：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB，CC 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
1
， ， ， ， ，
C(0,0,0) A(3,0,0) B(0,4,0) A (3,0,3) C (0,0,3) B (0,4,3)
1 1 1
设 → → ， ，得 ，
AD=λAB
λ∈[0,1) D(3−3λ,4λ,0)
所以 → ， → ，
A D=(−3λ,4λ,−3) BC =(0,−4,3)
1 1
{−3λ=0×μ
)
→ → → →
假设A 1 D与BC 1 平行，则 A D//BC ，即 A D=μBC ，则 4λ=−4μ ，无解，
1 1 1 1
−3=3μ
所以假设不成立，故A D与BC 不可能平行，故B正确；
1 1
C： → ， → ，
C A =(3,0,3) DB =(3λ−3,4−4λ,3)
1 1
若A
1
C与B
1
D垂直，则
C
→
A ⊥DB
→ ，则
C
→
A ·DB
→
=9λ−9+9=0
，即 λ=0 ，
1 1 1 1
又因λ∈[0,1)，所以假设成立，故C错误；
D：四棱锥A −CBB C 的外接球就是直三棱柱ABC−A B C 的外接球，
1 1 1 1 1 1
因为AC⊥BC，可将直三棱柱ABC−A B C 补成长方体，则长方体外接球即为直三棱柱
1 1 1
ABC−A B C 的外接球，
1 1 1
❑√34
长方体的体对角线长为❑√32+42+32=❑√34=2R(R为外接球半径)，解得R= ，
2
所以外接球面积为4πR2=34π，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12.已知平面向量 若 ，则 ___________
【答案】
【解析】 ，因为 ，则 ，则 ，解得 .
则 ，则 .
故答案为： .
13.已知随机变量 ，且 ，若 （ 为有理数），则
________．
【答案】2
【解析】由正态分布的对称性知 ，则 ，所以 ，
由 的展开式通项为 ，
由题设 ， ，
所以 .
故答案为：2.
14已知函数 ，若关于 的方程 有4个不同的实数根，则 的取值范围是
【答案】
【解析】作出 的图象，
令 ，则方程 ，即为 ，
有4个不同的实数根，则 在 内有两个不等实根，
所以 ，解得 ，所以实数m的取值范围为 .故答案为： .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 ．
{a ) a =2 a =8 n∈N∗ a =4a −4a
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
{a −2a ) {a )
n+1 n n
(2)求数列 的前n项和 ．
{a ) S
n n
【解析】（1）因为a =2，a =8，所以a −2a =8−2×2=4．
1 2 2 1
因为a =4a −4a ，所以a −2a =2(a −2a )，
n+2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n
a −2a
又a −2a =4≠0，则有a −2a ≠0(n∈N )，所以 n+2 n+1=2，
2 1 n+1 n + a −2a
n+1 n
所以{a −2a )是以4为首项，2为公比的等比数列．
n+1 n
a a
所以a −2a =4×2n−1=2n+1 ，所以 n+1− n=1，
n+1 n 2n+1 2n
a {a )
又 1=1，所以 n 是以1为首项，1为公差的等差数列，
2 2n
a
所以
n=1+(n−1)×1=n，所以a =n⋅2n
．
2n n
（2）设S =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋅⋅⋅+n⋅2n ，
n
则2S =1⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1 ，
n
2−2n+1
两式相减得−S =2+22+⋯+2n−n⋅2n+1= −n⋅2n+1=(1−n)2n+1−2，
n 1−2
则S =(n−1)⋅2n+1+2.
n
