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【平行四边形与平移类辅助线】题集【A】
平移变换的主要功能
把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，也可以把不太明朗的关系
明朗化，而产生进一步的更加深入的结果，这种思想我们称之为“集散思想”．或者通过平移产生新的
图形，而使问题得以转化．
【注意】：
应用平移变换时
①把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置．
②使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明
朗化的目的．
③当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题．
④虽然是平移某条线段，但是辅助线的说法往往还是过某点作已知线段的平行线（或根据具体题适当变
化）．
1.
方法一：
【解析】
如图，
中，
，
、
是
、
上的点且
．求证：
．
【答案】证明见解析．
通过构造平行四边形把
和
平移成共顶点的线段（如下图，作中位线，
利用斜边大于直角边）．
2
方法二：
【标注】
通过构造平行四边形平移
，使得
和
共顶点．
下面写出方法二的解析：（如下图）
过点
作
，且
，连接
、
．
∴
，
又∵
∴
≌
∴
∴
即
，当且仅当
为
的中位线时，取到等号．
另外，此题还可以如图，，那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一
个新的等腰三角形．
图
图
图
图
【知识点】平移构造特殊图形
2. 已知：
，线段
与
相交于点
，且
．求证：
．
3
【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
过
作
，连接
，
，
则四边形
为平行四边形，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
．
在
中，
，
即
．
当
，
，
共线时，
，
即
，
∴
．
【知识点】平移构造特殊图形
3. 已知：在
中，
，
、
分别是边
、
上点，且
．求证：
．
4
方法一：
方法二：
【解析】
【答案】证明见解析．
过
作
，连接
，
，
则
为平行四边形，
∵
，
，
∴
，
，
，
在
和
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
当
，
，
，点共线时，
，
∴
，
∴
．
将线段
沿
方向平移，使点
与点
重合，点
对应点为
，连接
，
．
∵
，
，
∴
，
，
5
【标注】
，
在
和
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
当
，
，
，点共线时，
，
∴
，
∴
．
【知识点】平移型全等
4.
【解析】
如图，线段
，
交于
点，若
且
，求证：
．
【答案】证明见解析．
过
作
，连接
，
，
6
【标注】
则四边形
为平行四边形，
∴
．
∵
，
，
∴
．
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
在
中，
，
当
，
，
三点共线时，
，
即
，
∴
．
【知识点】平移构造特殊图形
5.
【解析】
已知：
、
交于
，
、
夹锐角为
，若
，
，
，
，求
的长．
【答案】
．
过点
作
，过点
作
，连接
．
∵
、
夹锐角为
，
∴
，
7
【标注】
∴
．
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
∵
，
∴在四边形
中，
，
∴
，
在
中，∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
【知识点】平行四边形性质综合应用
6.
【解析】
已知：矩形
内有定点
，试证：
．（用平移证明）
【答案】证明见解析．
过点
作
的平行线交
于点
，在
点下方截取
，
则四边形
、
为平行四边形，
，
，
，
，
，
．
8
【标注】【能力】推理论证能力
【知识点】矩形的性质
图
（1 ）
图
（2 ）
7.
（1 ）
【解析】
已知
，
是直线
上的点，
．
如图，过点
作
，并截取
，连接
，
，
，判断
的形状
并证明．
如图，
是直线
上的一点，直线
，
相交于点
，且
，求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
是等腰直角三角形．理由见解析
证明见解析
是等腰直角三角形．
9
（2 ）
【标注】
证明：∵
，∴
，
又
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
．
又
，
∴
，
即
，
∴
为等腰直角三角形．
过
作
，且
，连接
，
，
由（）得
是等腰直角三角形．
∴
，又
，
∴
，
∴
，即
．
∵
，
∴
．
又
，
∴
，即
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
又
，
∴
．
【知识点】根据平行四边形边的性质计算与证明
