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1
【平行四边形与平移类辅助线】题集【B】
平移变换的主要功能
把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，也可以把不太明朗的关系
明朗化，而产生进一步的更加深入的结果，这种思想我们称之为“集散思想”．或者通过平移产生新的
图形，而使问题得以转化．
【注意】：
应用平移变换时
①把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置．
②使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明
朗化的目的．
③当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题．
④虽然是平移某条线段，但是辅助线的说法往往还是过某点作已知线段的平行线（或根据具体题适当变
化）．
（1 ）
（2 ）
1. 小伟遇到这样一个问题：如图，在
中，
，在边
上取点
，在边
上取点
，
使
（
，
不是
，
边的中点），连结
．求证：
．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造全等三角形，再
证明线段的关系．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的
方法是过点
作
，并截取
，连接
，构造出平行四边形
，再连接
，进而证明
≌
，得到
，使问题得以解决（如图）．
请回答：在证明
≌
时，
__________，
__________．
参考小伟思考问题的方法，解决问题：
如图，
中，
，
，延长
到点
，延长
到点
，使
，
．
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
判断
与
的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
判断
，证明见解析．
，
．
判断
．
证明：过点
作
，并截取
，连接
．
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∵
．
∴
．
连接
，
∵
，
．
∴
，
∵
，
∴
．
∴
≌
．
∴
．
∵
，
，
∴
，
∵
．
∴
．
∵
．
∴
．
∴
是等边三角形．
∴
．
∵
．
3
【标注】
∴
．
【知识点】平行四边形与全等综合
2.
【解析】
在
中，点
为
的中点．
⑴ 如图，求证：
；
⑵ 延长
到
，使得
，延长
到
，使得
，连结
．
①如图，连结
，若
，请你探究线段
与线段
之间的数量关系．写出你的结
论，并加以证明；
②请在图中证明：
．
【答案】证明见解析
⑴ 延长
至
，使得
，连结
、
、
．
∵
．∴四边形
是平行四边形．∴
．
在
中，
．
∴
．即
.
⑵ ①答：
．
证明： 过
作
交
于
，连结
、
．∴
．
∵
，
， ∴
，
4
【标注】
∴
是等边三角形，
∴
．
∴
是等边三角形．
∴
．
∴四边形
是平行四边形．
∵点
是
的中点，
∴
、
互相平分于点
，即
．
在
和
中，
，
公共，
，
∴
． ∴
②证明：分两种情况：
情况1：当
时，
．
∴
情况2：当
时，
以
、
为一组邻边作平行四边形
∴
，
，
．
∵
．∴
． ∴
．
在
中，
．∴
，即
．
综上所述，
≥
．
【知识点】平移的定义
3. 根据图解答下列各题：
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
图
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
图
图
如图，正方形
中，
、
分别是
、
边上的点，满足
．求证：
．
如图，正方形
中，
、
、
分别是
、
、
边上的点，满足
，若
，则
．
如图，正方形
中，
、
、
分别是
、
、
边上的点，满足
，连
接
．求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵正方形
，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
过点
作
交
于
，
∵正方形
，
∴
，
，
．
∵
，
，
6
（3 ）
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
又∵
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
过点
作
交
延长线于
，连接
．
∵正方形
，
∴
，
，
．
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
．
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
在
和
，
，
∴
≌
，
∴
．
又∵
，
∴
．
在
中，
，
∴
．
7
【标注】
在
中，
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
4.
方法一：
方法二：
【解析】
如图，
是直角三角形，
，
，
．求
．
【答案】
．
过
作
，连接
，
，
则
为平行四边形，
∴
，
∴
，
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
将线段
沿
方向平移，使点
与点
重合，点
对应点为
，连接
，
．
∴
，
∴
，
8
【标注】
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【能力】分析和解决问题能力
【知识点】平行四边形的判定及应用
【知识点】平行四边形的性质及应用
【知识点】平移的性质
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的性质
5. 如图所示，在
中，
，
为
上的一点，且
；
为
上的一点，且
．连接
、
交于点
，求证：
．
9
【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
如图所示，过点
作
且使
．
连接
，则
为平行四边形，
所以
，
．
又因为
，
连接
，则
≌
，
故
．
而
，
因此
，
则
，
，
所以
为等腰直角三角形．
因为
，
故
．
【知识点】平移构造特殊图形
6.
【解析】
在
中，
，
为
上一点，使得
，
为
上一点，使得
，连
、
交于
点．试求
的度数，并写出你的推理证明的过程．
【答案】
的度数为
，证明见解析．
的度数为
．
证明过程如下：
如图过点
作
的垂线
，使
，连接
、
，
10
【标注】
于是因为
且
，所以四边形
是平行四边形．
从而
，
又因为
，得到
，进而在
与
中，
，
所以
≌
，
这样
，而
，
所以
．
又因为
，
所以得到
是一个等腰直角三角形，
所以
，利用
，从而得到
．
【知识点】辅助线综合运用
（1 ）
（2 ）
7. 回答下列问题：
如图，
是等边三角形，
、
分别是
、
上的点，且
，连接
、
相交于点
．请你补全图形，并直接写出
．
图
如图，在
中，
，
、
分别是
、
上的点，且
，
，连接
、
相交于点
．请你猜想
，并写出你的推理过
程．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，证明见解析．
易证
≌
，
则
，
∴
．
，证明如下：
作
且
，可证
≌
，
∴
，
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
是等腰直角三角形，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
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【标注】
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】等腰直角三角形与全等
