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第05 讲平面向量的数量积与坐标运算
（知识清单+9 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
数量积坐标运算、向量垂直判定、模长计算
单选题/填空
题
5 分
向量垂直的坐标表示、数量积运算、模长与夹角求解
单选题/多选
题/填空题
5 分/6 分
数量积坐标运算、向量夹角与模长、垂直关系判定
单选题/填空
题
5 分
【知识点01】向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作⃗OA＝a，⃗OB＝b，则∠
AOB
＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的
夹角.
【例1】已知向量a
→
=(1,❑√3)，b
→
=(❑√3,1)，求a
→
与b
→
的夹角θ。
【知识点02】平面向量的数量积
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量| a || b |cos
θ 叫做向量a 与b 的数量积，记作a · b .
【例2】已知|a
→
|= 4，|b
→
|=3，a
→
与b
→
的夹角为60
∘，求a
→
⋅b
→
；若a
→
=(2,−1)，b
→
=(−3,4)，求a
→
⋅b
→
。
【知识点03】平面向量数量积的几何意义
设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，⃗AB＝a，⃗CD＝b，过⃗AB的起点A 和终
点B，分别作⃗CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到⃗A1B1，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，⃗
A1B1叫做向量a 在向量b 上的投影向量.记为| a |cos
θ e .
【例3】已知a
→
⋅b
→
=12，| a
→
|= 4，求b
→
在a
→
方向上的投影；若a
→
=(3,4)，b
→
=(1,2)，求a
→
在b
→
方向上的投影。
【知识点04】向量数量积的运算律
(1)a·b＝b · a .
(2)(λa)·b＝λ ( a · b ) ＝a ·( λ b ) (λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝a · c ＋
b · c .
【例4】已知a
→
=(1,2)，b
→
=(−1,1)，λ =2，验证( λ a
→
)⋅b
→
= λ(a
→
⋅b
→
)，并计算a
→
⋅(b
→
+2a
→
)。
【知识点05】平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b 的夹角为θ.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋
y 1y2
模
|a|＝❑√a·a
|a|＝❑√x1
2＋y1
2
夹角
cos θ＝
a·b
|a||b|
cos θ＝
x1 x2＋y1 y2
❑√x1
2＋y1
2❑√x2
2＋y2
2
a⊥b 的
充要条件
a·b＝0
x1x2＋
y 1y2＝
0
|a·b|与
|a||b|
的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
❑√( x1
2＋y1
2)( x2
2＋y2
2)
【例5】已知a
→
=(k ,3)，b
→
=(1,4)，若a
→
⊥b
→
，求k 的值；若| a
→
|=5，求k 的值。
【题型一】平面向量数量积的定义
【例1】（2026·福建三明·二模）已知
，向量
在向量
上的投影向量为
，则
的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式1】（2023·山西·模拟预测）美术课对于陶冶人的情操发展学生的艺术兴趣和爱好培养学生的艺术特长提
､
､
､
高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，
其中
，
是正方形的两个顶点，
是三段圆弧上的动点，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）如图，在
方格中，向量
的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2026·广东汕头·一模）
为圆O 的一条弦，且
，则
的值为_______.
【题型二】用定义求向量的数量积
【例1】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
【变式1】（多选）（2026·浙江杭州·二模）在
中，
，
，
，则（ ）
A．
B．
的面积为6
C．
D．
【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知正六边形
的边长为1，则
_____________.
【变式3】（2026·江西九江·二模）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
的周长．
【题型三】数量积的运算律
【例3】（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面向量
，非零向量，满足
，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知点
在单位圆的内接正方形
的边
上运动，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知向量
在
上投影数量为
，
，则
_____
【变式3】（2025·福建福州·一模）在
中，
，
为
的中点，
.
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
的长.
【题型四】垂直关系的向量表示
【例4】（2026·河北沧州·三模）已知平面向量
，
，且
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式1】（2026·广东广州·二模）已知非零向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2026·河南洛阳·模拟预测）已知
，且
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在
和
，使得
【变式3】（2026·重庆北碚·模拟预测）若平面向量
满足
，则
的最大值为________．
【题型五】数量积的坐标表示
【例5】（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【变式1】（2026·山东青岛·二模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量
，
的起点和终点均在格点上，则
（ ）
A．－10
B．5
C．15
D．20
【变式2】（2026·山东淄博·二模）已知复数
，
，
，
，复数
，
，
，
在复平面内对应的点分别为
，
，
，A，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2026·山东济南·三模）已知向量
，
，则
的值为________．
【题型六】坐标计算向量的模
【例6】（2026·吉林·三模）已知
，
，且
，则
（ ）
A．4
B．1
C．
D．
【变式1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知平面向量
，
，满足
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知向量
，
，且
，则
______.
【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知向量
，
，
，若
，则
______.
【题型七】向量垂直的坐标表示
【例7】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
___________
【变式1】（2026·江西宜春·模拟预测）已知向量
，
，且
，则
（ ）
A．6
B．
C．
D．
【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知
，
，若
，则实数
________.
【变式3】（2026·湖北荆州·一模）如图，在
中，
，
，D，E 分别是边
，
的中点，且
.
(1)求
的面积；
(2)求
.
【题型八】向量夹角的坐标表示
【例8】（2026·河北张家口·二模）已知向量
满足
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（多选）（2026·河北·一模）已知向量
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
在
上的投影向量为
C．
与夹角的余弦值为
D．若
与
垂直，则实数
【变式2】（2026·广东·模拟预测）已知向量
，
，且
与
的夹角为
，则
______．
【变式3】（2026·广东揭阳·二模）如图，在
中，已知
，
，
，点M 在边BC 上且
，AM 与AC 边上的中线BN 相交于点P.
(1)求中线BN 的长；
(2)求
的余弦值.
【题型九】投影向量
【例9】（2026·福建厦门·模拟预测）已知
，
，
在
上的投影向量为
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【变式1】（2026·陕西榆林·三模）已知不共线向量
满足
，且
在
上的投影向量为单位向量，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．0
【变式2】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知
，
，
，若
，则在
方向上的投影向量的
坐标为_____.
【变式3】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若向量
满足
，向量
在向量
上的投影向量为
，则
______．
【解题大招01】巧用a
→
⋅a
→
=| a
→
|
2化简求值
当题干中出现向量模长、向量自身数量积时，优先利用a
→
⋅a
→
=|a
→
|
2变形，将模长转化为数量积，简化运算，避
免复杂开方或平方运算。
【例1】已知|a
→
|=3，|b
→
|= 4，a
→
与b
→
的夹角为60
∘，求| a
→
−2b
→
|
2和|a
→
+ b
→
|的值。
【解题大招02】坐标运算优先化简表达式
涉及向量坐标运算时，先利用平方差、完全平方等公式化简表达式（如( a
→
+ b
→
)⋅( a
→
−b
→
)=| a
→
|
2−|b
→
|
2），再代
入坐标计算，减少坐标运算量，避免符号出错。
【例2】已知a
→
=(2,−3)，b
→
=(−1,2)，求(2 a
→
+ b
→
)⋅( a
→
−3 b
→
)的值。
【解题大招03】 夹角问题“先判符号，再平方”
求解向量夹角时，若需对夹角公式平方求解，需先判断a
→
⋅b
→的符号（夹角为锐角时正、钝角时负、直角时0），
避免平方后产生增根，确保夹角范围与计算结果一致。
【例3】已知a
→
=(1,k )，b
→
=(2,4)，且a
→
与b
→
的夹角为锐角，求实数k 的取值范围。
【解题大招04】 垂直问题“转化为数量积为0”
无论向量是直接垂直（a
→
⊥b
→），还是间接垂直（如( a
→
+ b
→
)⊥c
→），均转化为“数量积为0”的方程求解，结合坐
标运算或定义运算，快速建立关系式。
【例4】已知a
→
=(3,−2)，b
→
=(t ,1)，且( a
→
−2b
→
)⊥a
→
，求t 的值。
【解题大招05】 投影问题“巧用数量积变形”
技巧说明：求解向量投影（或投影模长）时，无需单独求夹角θ，直接利用数量积几何意义变形：
|b
→
|cos θ = a
→
⋅b
→
|a
→
|
，代入已知条件快速求解，简化运算。
【例5】已知a
→
⋅b
→
=−15，| a
→
|=5，b
→
=(−3,4)，求a
→
在b
→
方向上的投影模长。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知平面向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·甘肃金昌·三模）已知向量
，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
二、多选题
4．（2026·贵州六盘水·一模）已知向量
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
5．（2026·云南昭通·模拟预测）已知平面向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
6．（2026·河北邢台·二模）已知向量
，若
，则
__________.
7．（2026·贵州安顺·模拟预测）设
、
为单位向量，若
，则
________.
四、解答题
8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知
.
(1)判断四边形ABCD 的形状，并证明；
(2)求
与
夹角的余弦值.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·辽宁锦州·二模）已知向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．5
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量
在向量
方向的投影向量为
，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
二、多选题
3．（2026·重庆·三模）已知向量
，则（ ）
A．当
时，
B．存在
，使
C．当
时，
在
方向上的投影向量为
D．当
与
的夹角为锐角时，
三、填空题
4．（2026·河北保定·二模）已知向量
满足
，
，则
的取值范围是________.
5．（2026·山东聊城·模拟预测）已知向量
，且
，则向量在向量
上的投影向量的坐标为___________．
四、解答题
6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量
.
(1)当
时，求
的值；
(2)当
时，求
的值；
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量
，
满足
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．10
2．（2026·安徽合肥·模拟预测）在
中，
，且满足
，其中
是
外接圆的圆心，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知平面向量
，若
，则（ ）
A．
B．向量
与
平行
C．向量
与
的夹角的余弦值为
D．当
时，
三、填空题
4．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
_________．
四、解答题
5．（2026·重庆·模拟预测）设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
，边
上的中线
，设点
为
的外接圆圆心，求
的值.
