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专题2.4 对数与对数函数
重难点题型1 指、对、幂的计算及化简
1．（2025·江西·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
2．（2025·天津红桥·二模）若
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
3．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知
，
，且
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
4．（2025·宁夏吴忠·一模）若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
指、对、幂的计算及化简
重难点题型2
指、对、幂的实际应用
重难点题型3
对数函数的图像与性质
重难点题型4
对数型复合函数（单调性与最值）
重难点题型5
对数函数的综合问题
5．（2022·天津·高考真题）化简
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
6．（2022·浙江·高考真题）已知
，则
（ ）
A．25
B．5
C．
D．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
且
，则
．
8．（2022·全国乙卷·高考真题）若
是奇函数，则
，
．
9．（2023·天津和平·二模）设
，
，
，若
，
，则
的最大值为
．
10．（2024·宁夏·模拟预测）若
，则
.
重难点题型2 指、对、幂的实际应用
1．（21-22 高三上·江苏扬州·期末）
年月
日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国
岁高龄的著
名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在
年，德国数学家黎
曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在
此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字
的素数个数大约可以表示为
的结论.若根据欧拉得出的结论，估计
以内的素数个数为（ ）（素数即质数，
，计算结
果取整数）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·宁夏银川·二模）中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输
速率C 取决于信道带宽W，经科学研究表明：C 与W 满足
，其中S 是信道内信号的平均
功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，
为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1 可以忽略不计.
若不改变带宽W，而将信噪比
从1000 提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：
)
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
3．（2021·四川泸州·一模）我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农
（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率
的
公式
，其中
是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），
是信
道内部的高斯噪声功率（瓦），其中
叫做信噪比．根据此公式，在不改变
的前提下，将信噪比从99
提升至
，使得
大约增加了60%，则
的值大约为（ ）（参考数据：
）
A．1559
B．3943
C．1579
D．2512
4．（2023·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记
为实际声压，通常我们用声压级
（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级
与声压
存在近似函数关系：
，其中
为
常数,且常数
为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压
为穿软底鞋走路
的声压
的
倍，且穿硬底鞋走路的声压级为
分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级
的倍.
若住宅区夜间声压级超过
分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
5．（2020·海南海口·模拟预测）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲
之的书法作品中选取1000 个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，
文采斐然．已知将1000 个不同汉字任意排列，大约有
种方法，设这个数为N，则
的整数部
分为（ ）
A．2566
B．2567
C．2568
D．2569
6．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选题）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子
和两个中子组成，并带有放射性，会发生
衰变，其半衰期是12.43 年.样本中氚的质量
随时间(单位:
年)的衰变规律满足
，其中
表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:
)
A．
B．经过
年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若
年后，样本中氚元素的含量为
，则
重难点题型3 对数函数的图像与性质
1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北邯郸·二模）已知函数
在
上单调递增，且
，则
（ ）
A．4
B．16
C．32
D．64
3．（2024·宁夏·模拟预测）已知定义在
上的奇函数
满足：
，且当
时，
（
为常数），则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
4．（2024·北京东城·一模）设函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2018·重庆綦江·一模）已知函数
的零点为3，则
=( )
A．1
B．2
C．
D．2017
6．（2025·上海宝山·二模）已知函数
且
)的图像经过定点
，则点
的
坐标为
7．（2024·上海普陀·模拟预测）函数
，且
的图像恒过定点A，若点A 在直线
上，其中
，
，则
的最小值为 .
8．（2024·吉林·模拟预测）已知函数
，
，则实数a 的值为 .
重难点题型4 对数型复合函数（单调性与最值）
1．（2025·广东·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北·模拟预测）已知函数
在
上单调，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
在区间
上有最大值或最小值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·重庆·模拟预测）若函数
有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·贵州安顺·模拟预测）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
7．（22-23 高一上·陕西西安·期末）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．函数
的单调递增区间是
B．函数
的值域是
C．函数
的图象关于
对称
D．不等式
的解集是
8．（2025·海南·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
．
9．（2025·江西宜春·一模）已知函数
在
上的最小值是1，则
.
10．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数
（
且
）， 若
有最小值，
则实数a 的取值范围是 .
11．（2022·江西宜春·模拟预测）若
，不等式
恒成立，则实数
的取值范
围为 .
12．（2022·上海·模拟预测）若函数
（
且
）有最大值，则
的取值范围
是 .
重难点题型5 对数函数的综合问题
1．（2025·天津·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北张家口·三模）已知函数
，
，且
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知
，
，
，则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北·模拟预测）已知函数
在
上单调，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·内蒙古通辽·三模）（多选题）已知函数
(
且
，则下列结论正确的
是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
的值域为
C．若
，则
在
上单调递增
D．若
，则
在
上单调递增
6．（2024·辽宁·二模）（多选题）关于函数
，下列说法正确的有（ ）
A．
的定义域为
B．
的函数图象关于y 轴对称
C．
的函数图象关于原点对称
D．
在
上单调递增
7．（2025·陕西·三模）已知函数
，则
．
8．（2022·浙江宁波·模拟预测）若不等式
对任意的正整数
恒成立，则的取值
范围是 .
9．（2024·广东·模拟预测）已知
满足
，则
．
