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第 03 讲 圆的方程 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：求圆的方程
题型二：与圆有关的轨迹问题
题型三：与圆有关的最值问题
角度1：考查目标函数的几何意义求最值
角度2：利用对称性求最值
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：圆的定义和圆的方程
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中， 的圆心 的坐标为 , 半径为 , 为圆上任意一点，
可用集合表示为：
2、圆的标准方程
我们把方程 称为圆心为 半径为 的圆的标准方程.
3、圆的一般式方程
对 于 方 程 （ 为 常 数 ） ， 当 时 ， 方 程
叫做圆的一般方程.
①当 时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆；
②当 时，方程表示一个点③当 时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：① 和 前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有
项；③ .
知识点二：点与圆的位置关系
判断点 与 ： 位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设 到圆心 的距离为 ，则
① 则点 在 外
② 则点 在 上
③ 则点 在 内
（2）代数法
将点 带入 ： 方程内
①点 在 外
②点 在 上
③点 在 内
知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离
设 的方程 ，圆心 ，点 是 上的动点，点 为平面内一点；记
;
①若点 在 外，则 ;
②若点 在 上，则 ;
③若点 在 内，则 ;
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：求圆的方程典型例题
例题1．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高二阶段练习）一个圆经过点 与点 ，圆心
在直线 上，求此圆的标准方程.
例题2．（2022·安徽宿州·高二期中）求下列圆的方程
(1)圆 经过坐标原点， 和 ；
(2)圆 的圆心在 轴上，并且过 和 两点．
例题3．（2022·吉林·长春市文理高中有限责任公司高二阶段练习）已知 三个顶点的坐标分别是
， ， ，过 点的直线 把 面积平分.
(1)求直线 的方程；
(2)求 的外接圆的方程.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知一个圆过 ,求这个圆的方程．
同类题型归类练
1．（2022·河北师范大学附属中学高二阶段练习）平面直角坐标系 中，圆C过点 ，和点
，且圆心C在直线 上，求圆C的标准方程．2．（2022·北京市玉渊潭中学高二期中）求满足下列条件的圆的方程.
(1)经过点 ，圆心为点 ；
(2)经过点 ，且圆心在 轴上.
3．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习） 的三个顶点分别是 、 、 .
(1)求边 上的中线所在直线的方程；
(2)求 的外接圆的方程.
4．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆 经过点 ， ， ．求圆 的方程．
题型二：与圆有关的轨迹问题
典型例题
例题1．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）已知 是圆 上的动点， 是圆的
切线， ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．例题2．（2022·江苏连云港·高二期中）己知点 和点 ，动点 与点 的距离是它与点
的距离的 倍，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·湖南·长沙市实验中学高二阶段练习）当点 在圆 上运动时，连接点 与定
点 ，则线段 的中点 的轨迹方程为________.
例题4．（2022·山东省青岛第十九中学高二期中）已知圆 的圆心在直线 上，并经过点
，与直线 相切．
(1)求圆C的方程；
(2)已知 ，动点 到圆 的切线长等于 的2倍，求出点 的轨迹 方程．
例题5．（2022·河南·商城县观庙高级中学高二阶段练习（理））已知圆 经过点 、 ，
且它的圆心在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若点 为圆 上任意一点，且点 ，求线段 中点 的轨迹方程.
同类题型归类练
1．（2022·云南西双版纳·二模（文））已知圆 ，圆 ，过动点P分别作
圆 、圆 的切线PA，PB（A，B为切点），使得 ，则动点P的轨迹方程为（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期中）已知动点 与两个定点 ， 的距离之比为 ，则动点 的轨迹方程为______.
3．（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期中）（1）已知圆C经过坐标原点和点 ，且与直线 相
切，则圆C的方程；
（2）已知 ， ，动点P满足 .求点P的轨迹方程C.
4．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））已知圆 经过点 ， ，且圆 与 轴相切．
(1)求圆 的一般方程；
(2)设 是圆 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程．
5．（2022·江苏·邵伯高级中学高二阶段练习）（1）已知两定点 ，若动点P满足
，则P的轨迹方程．
（2）已知线段 的中点C的坐标是 ，端点A在圆 上运动，则线段 的端点B的轨
迹方程．
题型三：与圆有关的最值问题
角度1：考查目标函数的几何意义求最值
典型例题
例题1．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高二阶段练习）若实数 ， 满足条件 ，则
的范围是______.
例题2．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知实数 满足方程 .(1)求 的最大值和最小值；
(2)求 的最大值和最小值．
例题3．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习）已知点 在圆 上.
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求 的最大值和最小值；
(3)求 的最大值和最小值.
同类题型归类练
1．（2022·广东·深圳市南头中学高二期中）实数x，y，满足 ，则 的最大值是______.
2．（2022·辽宁·沈阳二十中高二阶段练习）已知实数 、 满足方程 ．求：
(1) 的取值范围为______；
(2) 的取值范围；
(3) 的取值范围．
3．（2022·河南开封·高二阶段练习）已知 为圆 上任意一点.
(1)求 的取值范围；
(2)求 的最大值和最小值.角度2：利用对称性求最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 分别是直线 和圆 上的动点，
圆 与 轴正半轴交于点 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
例题2．（2022·广东·广州市第一中学高二期中）已知圆 及点 ，设 ，
分别是直线 和圆 上的动点，则 的最小值为__________．
同类题型归类练
1．（2021·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知圆 及点 ，点P、Q分别是直
线 和圆C上的动点，则 的最小值为__________.
2．（2021·全国·高二专题练习）已知圆 ， 是圆 上的任意一点， 为直线
上任意一点， ，则 的最小值为________．
