专题04
直线的方程压轴题（学生版）
1.直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋
转至和直线重合时，所转的
记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直
线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围为
．
2.直线的斜率
(1)倾斜角不是
的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．常用k 表示，即k＝
.
(2)过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线，当x1≠x2 时，斜率公式
；当x1＝x2 时，直线的斜率不存在，
此时直线的倾斜角为
.
3.直线方程的五种基本形式
名称
方程
适用范围
点斜式
不含直线x＝x0
斜截式
不含垂直于x 轴的直线
两点式
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
4.两条直线的位置关系
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
相交
A1B2－A2B1≠0(A2B2≠0 时，A1
A2
≠B1
B2
)
垂直
A1A2＋B1B＝0(当B1B2≠0 时，A1
B1
·A2
B2
＝－1)
平行
A1B2－A2B1＝0
B2C1－B1C2≠0 或
A1B2－A2B1＝0
A2C1－A1C2≠0 (当A2B2C2≠0，记为A1
B1
＝
A2
B2
≠C1
C2
)
重合
A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)
(当A2B2C2≠0，记为A1
B1
＝A2
B2
＝C1
C2
)
5.两条直线的交点
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
两条直线的交点坐标就是方程组
A1x＋B1y＋C1＝0，
A2x＋B2y＋C2＝0
的解，
若方程组有唯一解，则两条直线
，此解就是
；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线
；反之，亦成立．
6.平面上的几种距离：
(1) 两点间的距离：平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)＝AB＝
.
(2) 点到直线的距离：点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝
.
(3) 两条平行线间的距离：两条平行线Ax＋By＋C1＝0 与Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝
.
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类型一直线的倾斜角和斜率
例1(1).设点
3
(2,
)
A
､
( 3, 2)
B
，若直线l 过点
(1,1)
P
且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（
）
A．
3
4
k
或
4
k
B．
3
4
k
或
1
4
k
C．
3
4
4
k
D．
3
4
4
k
(2).直线
2
1
2
1
0
a
x
ay
的倾斜角的取值范围是（
）
A．
π
0, 4
B．π π
,
4 2
C．π 3π
,
4
4
D．
π
3π
0,
,π
4
4
(3).已知直线1 :
1
0
l
x
y
，动直线
2 :
1
0
R
l
k
x
ky
k
k
，则下列结论错误的是（
）
A．存在k ，使得2l 的倾斜角为2
；
B．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点；
C．对任意的k ，1l 与2l 都不重合；
D．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直；
(4).已知直线斜率为k，且1
3
k
，那么倾斜角的取值范围是（
）
A．
3
0,
,
3
2
4
B．
3
0,
,
3
4
C．
3
0,
,
6
2
4
D．
3
0,
,
6
4
练习题
例2(1).直线
5
cos
sin
0,
0, 6
x
y
的斜率的取值范围为（
）
A．
, 3
B．
2,
C．
,0
0, 3
D．
,2
(2).1949 年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均
各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以
大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4 分别是大星中心点与四颗小星中心点的连
接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（
）
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A．0°
B．1°
C．2°
D．3°
(3).设直线1
1
1
1
:
0
l
a x
b y
c
（
1a 、
1b 不同时为零），2
2
2
2
:
0
l
a x
b y
c
（
2a 、
2b 不同时为零），则“ 1l 、2l 相
交”是“
1 2
2 1
a b
a b
”的（
）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
(4).已知直线
:
1
2
0
l x
a
y
，2 : 3
0
l
bx
y
，且1
2
l
l
，则
2
2
a
b
的最小值为（
）
A．1
4
B．
1
2
C．
2
2
D．13
16
(5).直线sin
2
0
x
y
的倾斜角的取值范围是（
）
A．
0,π
B．
π
3π
0
,π
4
4
,
C．
π
0, 4
D．
π
π
0,
,π
4
2
类型二直线的方程
例2(1).设A 、B 是y 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA
PB
，若直线PA 的方程为
1
0
x
y
，则
直线PB 的方程为（
）
A．
5
0
x
y
B．2
1
0
x
y
C．2
7
0
x
y
D．
3
0
x
y
(2).已知
1
1
1
,
P a b 与
2
2
2
,
P a b
是直线
2
y
kx
（k 为常数）上两个不同的点，则关于1
1
1
:
2
0
l
a x
b y
和
2
2
2
:
2
0
l
a x
b y
的交点情况是（
）
A．无论k ，
1P ，
2P 如何，总有唯一交点B．存在k ，
1P ，
2P 使之有无穷多个交点
C．无论k ，
1P ，
2P 如何，总是无交点
D．存在k ，
1P ，
2P 使之无交点
(3).数学家欧拉在1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线
已知ABC
的顶点
2,0 ,
0,4
A
B
，若其欧拉线的方程为
2
0
x
y
，则顶点C 的坐标为
A．
4,0
B．
3, 1
C．
5,0
D．
4, 2
(4).已知点
( 1,0),
(1,0),
(0,2)
A
B
C
，直线
(
0)
y
kx
b k
将ABC
分割成面积相等的两部分，则实数b 的取值
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范围为（
）
A．
2
0, 3
B．
0,1
C．
2
1
,1
2
D．(2
2,1)
练习题
(1).(多选题)在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（
）
A．每一条直线都有点斜式方程
B．方程
1
2
y
k
x
与方程
1
2
y
k x
可表示同一条直线
C．直线l 过点
0
0
0
,
P x
y
，倾斜角为90，则其方程为
0
x
x
D．直线
3
1
y
k x
恒过点
1,3
(2).已知直线l 与曲线
3
2
3
4
1
y
x
x
x
相交，交点依次为D、E、F，且
5
DE
EF
，则直线l 的方程
为（
）
A．
3
2
y
x
B．
2
1
y
x
C．
2
3
y
x
D．
3
2
y
x
(3).从点
(2,1)
A
出发的一束光线依次经过直线1
1
5
:
3
2
x
y
l
和2 :
(2
5) (
1)
l
y
x
反射后回到点A ．设
1l 和2l 上反射点分别为P 和Q ，求直线PQ的方程．
(4).过点
2
1
P
，
的直线l 分别交
1 (
0)
2
y
x x
与
2 (
0)
y
x x
于
,
A B 两点.
(1)设AOB
的面积为24
5 ，求直线l 的方程；
(2)当PA PB
最小时，求直线l 的方程.
类型三直线的交点与距离
例3(1).若过定点A 的动直线
0
x
my
和过定点B 的动直线
3
0
mx
y
m
交于点
,
P x y ，则PA PB
的
最大值是（
）
A．4
B．5
C．6
D．8
(2).人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离
测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
曼哈顿距离
1
2
1
1
,
d A B
x
x
y
y
，余弦距离
,
1 cos
,
e A B
A B
，其中
cos
,
cos
,
A B
OA OB
（O
为坐标原点）．已知
2,1
M
，
,
1
d M N ，则
,
e M N 的最大值近似等于（
）
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（参考数据：
2
1.41
，
5
2.24
．）
A．0.052
B．0.104
C．0.896
D．0.948
(3).我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事
实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
相关的代数问题，可以
转化为点
,x y 与点
,a b 之间的距离的几何问题.已知点
1
1
,
M x y
在直线1 :
2
l
y
x
，点
2
2
,
N x
y
在直线
2 :
l
y
x
上，且
1
MN
l
，结合上述观点，
2
2
1
2
2
2
1
2
4
5
x
y
x
y
的最小值为（
）
A．7 2
2
B．11 2
2
C．
41
2
D．5
(4).已知实数
1
x ，
2
x ，
1y ，
2y 满足
2
2
1
1
4
x
y
，
2
2
2
2
4
x
y
，
1
2
1
2
0
x x
y y
，则
1
1
2
2
4
4
x
y
x
y
的最
大值是（
）
A．6
B．8
C．6 2
D．12
(5).已知直线:
0
l ax
by
c
和点
0
0
(
,
)
P x
y
，点P 到直线l 的有向距离( , )
d P l 用如下方法规定：若
0
b
，
0
0
2
2
|
||
|
( , )
b ax
by
c
d P l
b a
b
，若
0
b
，
0
( , )
ax
c
d P l
a
．
(1)已知直线1 :3
4
12
0
l
x
y
，直线2 : 2
3
0
l
x
，求原点O到直线1
2
,l l 的有向距离
1
2
( , ), ( , )
d O l
d O l
；
(2)已知点
(2,1)
A
和点
(3, 1)
B
，是否存在通过点A 的直线3l ，使得
3
( , )
2
d B l
？如果存在，求出所有这样的
直线3l ，如果不存在，说明理由；
(3)设直线4 : cos
2 sin
2
0
l
x
y
，问是否存在实数
0
t
，使得对任意的参数都有：点
1
2
(
,0),
( ,0)
F
t
F t
到4l 的有向距离
1
4
2
4
,
,
,
d F l
d F l
满足
1
4
2
4
,
,
1
d F l
d F l
？如果满足，求出所有满足条件的实数t ；如
果不存在，请说明理由．
练习题
(1).定义：在平面直角坐标系xOy 中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、
Q 两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0 外一定点，点N 是直线ax+by+c＝0 上一动点，
则M、N 两点的“垂直距离”的最小值为（
）
A．
0
0
ax
by
c
max a b
，
B．
0
0
2
2
ax
by
c
a
b
C．
0
0
ax
by
c
a
b
D．|ax0+by0+c|
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(2).已知直线1l ：
2
0
x
y
，2l ：
2
0
x
y
，直线3l 垂直于1l ，2l ，且垂足分别为A，B，若
4 0
C ，，
4 0
D
，，
则CA
AB
BD
的最小值为（
）
A．10
2 2
B．8
2
C．2 10
2 2
D．8
(3).已知两定点
3, 8
A
，
10,4
B
及两平行直线1 :3
4
10
0
l
x
y
，2 :3
4
15
0
l
x
y
，试在直线1l ，2l 上
分别求出点P，Q，使得
1
PQ
l
，且折线段APQB 的长度最短，并写出此时三条折线所在直线的方程．
类型四能力提升创新题
1.在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点
1
(
2
,
)
P a
的所
有直线中
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B．恰有(
2)
n n
条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
2.设直线系
: cos
(
2)sin
1(0
2 )
M x
y
，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于x 轴时，
0
或；
（2）当
6
时，直线倾斜角为120；
（3）M 中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点P 不在M 中任意一条直线上．
其中正确的是（
）
A．①②
B．③④
C．②③
D．②④
3.若对一个角
0,2π
，存在角
2π
0,
满足
cos
cos
cos
，则称为的“伴随角”.有以下
两个命题：
①若
π π
,
3 2
骣
琪
Î 琪
琪
桫
，则必存在两个“伴随角”
2π
0,
；
②若
π
0, 3
，则必不存在“伴随角”
2π
0,
；
则下列判断正确的是（
）
A．①正确②正确；
B．①正确②错误；
C．①错误②正确；
D．①错误②错误.
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4.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”
对应着数学曲线中的双纽线.在xOy 平面上，把与定点
1
2
,0 ,
,0
F
a
F
a
距离之积等于
2
0
a
a
的动点的轨
迹称为双纽线.曲线C 是当
2 2
a
时的双纽线，P 是曲线C 上的一个动点，则下列是关于曲线C 的四个结
论，正确的个数是（
）
①曲线C 关于原点对称
②曲线C 上满足
1
2
PF
PF
的P 有且只有一个
③曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过4
④若直线y
kx
与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为
, 1
1,
A．1
B．2
C．3
D．4
5.在平面直角坐标系中,定义
1
2
1
2
,
max
d A B
x
x
y
y
，
为两点
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
、
的“切比雪夫距离”，
又设点P 及l 上任意一点Q ,称
,
d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作
,
d P l ，给出下列四个
命题:
①对任意三点
, ,
A B C ，都有
,
,
,
d C A
d C B
d A B
；
②已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
3
d P
l
，
；
③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
1.直线l 过点
1,2
M
，且与以
4, 1
P
、
3,0
Q
为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围
是
．
2.已知直线l 经过点
1,0
P
且与以
2,1
A
，
3, 2
B
为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范
围为
．
3.(多选题)下面说法中错误的是（
）
A．经过定点
0
0
0
,
P x
y
的直线都可以用方程
0
0
y
y
k x
x
表示
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B．经过定点
0,
A
b 的直线都可以用方程y
kx
b
表示
C．不经过原点的直线都可以用方程
1
x
y
a
b
表示
D．经过任意两个不同的点
1
1
1
,
P x y 、
2
2
2
,
P
x
y
的直线都可以用方程
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
表
示
4.(多选题)下列说法正确的是（
）
A．
2
3
R
y
ax
a
a
直线必过定点
2,3
B．直线
1
2
y
x
在y 轴上的截距为1
C．直线
3
3
0
x
y
的倾斜角为30°
D．点
2, 3
A
，
3, 2
B
，直线:
1
0
l mx
y
m
与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是
3
4
m
，
或
4
m
5.已知抛物线
2
2
x
y
上一点P ，过P 作倾斜角互补的两条直线PA ，PB 分别交抛物线于不同的两点A ，B ，
已知直线AB 的斜率为－2，则点P 的横坐标为（
）
A．2
B．
2
C．1
D．
2
6.“
1
m ”是“直线1l ：
4
1
0
m
x
my
与直线2l ：
2
2
0
mx
m
y
互相垂直”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7.已知直线l ：
2
1
1
0
m
x
m
y
m
经过定点P，直线l经过点P，且l的方向向量
3,2
a
，则直线l
的方程为（
）
A．2
3
5
0
x
y
B．2
3
5
0
x
y
C．3
2
5
0
x
y
D．3
2
5
0
x
y
8.过点
1,2
P
作直线l ，若点
2,3
A
、
4, 5
B
到它的距离相等，则直线l 的方程为（
）
A．4
6
0
x
y
或
1
x
B．3
2
7
0
x
y
C．4
6
0
x
y
或3
2
7
0
x
y
D．3
2
7
0
x
y
或
1
x
9.已知直线l：2
3
1
0
x
y
，点
1, 2
A
.求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3
2
6
0
x
y
关于直线l 的对称直线m′的方程；
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(3)直线l 关于点A 对称的直线l′的方程.
10.如图，已知
(6,6 3)
A
，
(0,0)
B
，
(12,0)
C
，直线:(
3)
2
0
l
k
x
y
k
．
(1)证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标；
(2)若直线l 等分ABC
的面积，求直线l 的一般式方程；
(3)若
(2,2 3)
P
，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）
反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程．
11.在直角坐标系中，已知射线
:
0(
0)
OA x
y
x
，过点
(3,1)
P
作直线分别交射线OA ，x 轴正半轴于点A ､B .
（1）当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；
（2）求
·
PAPB 的最小值.
12.已知直线
: 2
1
1
5
1
0
l
m
x
m
y
m
，且与坐标轴形成的三角形面积为S.求：
（1）求证：不论m 为何实数，直线l 过定点P；
（2）分别求
3
S
和
5
S
时，所对应的直线条数；
（3）针对S的不同取值，讨论集合l 直线l 经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为S中的元素个数.
13.如图，设直线1l ：
0
x
，2l ：3
4
0
x
y
．点A 的坐标为
3
1
4
a
a
，
．过点A 的直线l 的斜率为k，且与1l ，
2l 分别交于点M，
(
N M，N 的纵坐标均为正数)．
（1）设
1
a ，求
MON
△
面积的最小值；
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（2）是否存在实数a，使得
1
1
OM
ON
的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明
理由．
14.在平面直角坐标系内，对于任意两点
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，定义它们之间的“曼哈顿距离”为
1
2
1
2
AB
x
x
y
y
.
（1）求线段
2( ,
0)
x
y
x y
上一点
( , )
M x y 到原点
(0,0)
O
的“曼哈顿距离”；
（2）求所有到定点
( , )
Q a b 的“曼哈顿距离”均为2 的动点围成的图形的周长；
（3）众所周知，对于“欧几里得距离”
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
，有如下三个正确的结论：
①对于平面上任意三点
, ,
A B C ，都有AB
AC
CB
;
②对于平面上不在同一直线上的任意三点
, ,
A B C ，若
2
2
2
AB
AC
CB
，则ABC
是以
C
为直角的直角
三角形；
③对于平面上两个不同的定点
,
A B ，若动点P 满足PA
PB
，则动点P 的轨迹是线段
,
A B 的垂直平分线；
上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确？说明理由.
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