文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之尺规作图（一）
一．选择题（共7 小题）
1．（2026•北京）如图，点B 在射线AM 上．在射线BM 上截取BC＝BA，分别以A，B 为圆心，AB 长为
半径画弧，两弧相交于点D．连接BD，CD，则∠BDC 的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．（2026•湖北）如图，在△ABC 中，AC＝4，AB＝5，分别以点B 和点C 为圆心，以大于1
2BC 的长为
半径作弧、两弧交于E，F 两点，作直线EF 与边AB 交于点D，连接CD，则△ADC 的周长是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．12
3．（2026•巴中）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，以点B 为圆心任意长为半径画弧
分别交BC、BA 于M、N 两点，分别以点M、N 为圆心，大于1
2MN 长为半径画弧，两弧交于点P，连
接BP 并延长交AC 于点F．则△ABF 的面积为（ ）
A．10
3
B．25
3
C．40
3
D．65
3
4．（2026•广西）根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的AD 是△ABC 的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026•宜宾）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以点A 为圆心，小于AC 长为半径画弧分别交
AC、AB 于点P、Q，又分别以P、Q 为圆心，大于1
2PQ 为半径画弧交于点M，连接AM 交BC 于点D．
2
已知AB＝5，CD＝2，则△ABD 的面积是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．（2026•眉山）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于1
2AB 的长为半径画弧，两弧交于
点D，点E，作直线DE 交BC 于点F，连接AF，若∠B＝50°，∠C＝60°，则∠CAF 的度数为（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
7．（2026•台湾）如图，平行四边形ABCD 中，AB＝20，AD＝21．甲、乙两人想找一点P，使得P 到BC
的距离等于P 到AD 的距离，且P 到AB 的距离等于P 到CD 的距离，其作法如下：
【甲】连接AC、BD，两线段相交于P 点，则P 即为所求；
【乙】作∠C、∠D 的角平分线，两直线相交于P 点，则P 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．甲、乙皆正确
B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
二．填空题（共7 小题）
8．（2026•齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交AB
于点M，交BC 于点N，分别以M，N 为圆心，大于1
2MN 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内部交于点
P，作射线BP 交AC 于点D．若CD＝2，AB＝7，则△ABD 的面积为 ．
3
9．（2026•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A 为圆心，以
适当长为半径画弧，分别交AB，AD 于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，以大于1
2MN 的长为半径
画弧，两弧在∠BAD 内交于点P；③作射线AP 交BC 于点E．若AB＝3，EC＝2，则AD 的长为
．
10．（2026•内江）如图，在平行四边形ABCD（BC＞AB）中，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适
当的长为半径画弧，交AB 于点M，交AD 于点N；②分别以点M、N 为圆心，大于1
2MN 的长为半径
画弧，两弧在∠BAD 的内部相交于点E；③连接AE 并延长交线段BC 于点F．若CD＝6，CF＝2，则
平行四边形ABCD 的周长为 ．
11．（2026•天津）如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，点A，B 均在格点上，点C 在网格线上，
以AC 为直径的半圆经过点B．
（Ⅰ）线段AB 的长为 ；
（Ⅱ）点M 在线段BC 上，点N 在线段AM 上，满足∠BNM＝∠CNM＝∠ACB．请用无刻度的直尺，
在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N 的位置是如何找到的（不要求证明）
．
4
12．（2026•苏州）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，分别以点A，B 为圆心，大于1
2 AB的长为
半径画弧，两弧相交于点D，E．过D，E 两点作直线，分别交AB，AC 于点F，G，连接CF．若CF＝
5，则AG＝ ．
13．（2026•广安）如图所示，在∠MAN 中，按以下步骤作图：（1）以点A 为圆心，4cm 长为半径画弧，
分别交AM，AN 于点B，C；（2）分别以点B，C 为圆心，大于1
2BC 的长为半径画弧，两弧在∠MAN
内部相交于点D；（3）作射线AD 交^
BC于点E；（4）连接BC，交AD 于点F，连接BE．若AF＝
3cm，则BE＝ cm．
14．（2026•南充）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．分别以点A，C 为圆心，大于
1
2AC 长为半径作弧，两弧交于M，N 两点，直线MN 分别交AC，AB 于点D，E，则DE 的长为
．
5
三．解答题（共1 小题）
15．（2026•北京）在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶
液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g 溶剂里达到饱和状
态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度
数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示：
温度℃
0
10
20
30
40
50
60
70
80
甲的溶
解度g
13.3
20.9
31.6
45.8
63.9
85.5
110
138
169
（1）根据表中数据，在图中画出0℃∼80℃范围内甲的溶解度曲线；
（2）当温度为 ℃（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为ng．在该温度下，将ng
乙加入100g 水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至10℃，此时会有 g（精确到个
位）乙从水中析出；
（3）当温度为10℃时，小云将100g 甲加入到装有100g 水的1 号杯中，将100g 乙加入到装有100g 水
的2 号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了
6
以下两种方案：
方案一：将温度提升至T℃，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解；
方案二：保持温度不变，向1 号杯中再加入m1g 水，向2 号杯中再加入m2g 水，充分搅拌后使两种物质
均能全部溶解．
①方案一中，T 的最小值为 （精确到个位）；
②方案二中，m1+m2的最小值为 （精确到个位）．
7
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之尺规作图（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
A
C
D
B
D
B
C
一．选择题（共7 小题）
1．（2026•北京）如图，点B 在射线AM 上．在射线BM 上截取BC＝BA，分别以A，B 为圆心，AB 长为
半径画弧，两弧相交于点D．连接BD，CD，则∠BDC 的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】连接AD，如图，利用基本作图得到AB＝BC＝AD＝BD，则△ABD 为等边三角形，所以
∠ABD＝60°，再根据等腰三角形的性质，由BD＝BC 得到∠BDC＝∠BCD，然后根据三角形外角性质
可计算出∠BDC 的度数．
【解答】解：连接AD，如图，
由作法得AB＝BC＝AD＝BD，
∴△ABD 为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠ABD＝∠BDC+∠BCD，
∴∠BDC= 1
2
∠ABD= 1
2 ×60＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5 种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角
形的性质．
2．（2026•湖北）如图，在△ABC 中，AC＝4，AB＝5，分别以点B 和点C 为圆心，以大于1
2
BC 的长为
半径作弧、两弧交于E，F 两点，作直线EF 与边AB 交于点D，连接CD，则△ADC 的周长是（ ）
8
A．7
B．8
C．9
D．12
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】展开与折叠．
【答案】C
【分析】利用垂直平分线的性质把CD 的长替换成BD 的长求解即可．
【解答】解：由题意得EF 垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∵AC＝4，AB＝5，
∴△ADC 的周长为AC+CD+DA＝AC+BD+DA＝AC+AB＝9，
故选：C．
【点评】本题主要考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
3．（2026•巴中）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，以点B 为圆心任意长为半径画弧
分别交BC、BA 于M、N 两点，分别以点M、N 为圆心，大于1
2MN 长为半径画弧，两弧交于点P，连
接BP 并延长交AC 于点F．则△ABF 的面积为（ ）
A．10
3
B．25
3
C．40
3
D．65
3
【考点】作图—基本作图；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】首先根据勾股定理求出AC 的长，再根据尺规作图可知BF 是∠ABC 的角平分线，利用角平分
线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求出点F 到AB 的距离（即FC 的长），最后计算△ABF 的
面积．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
由勾股定理得：AC =√A B
2- BC
2=√13
2-5
2=12，
如图，∠C＝90°，即FC⊥BC，过点F 作FD⊥AB 于点D，
9
由尺规作图可知，BF 是∠ABC 的角平分线，
∴FD＝FC，
∵S△ABC＝S△ABF+S△CBF，
∴1
2 AC ⋅BC = 1
2 AB⋅FD+ 1
2 BC ⋅FC，
即1
2 ×12×5= 1
2 ×13× FC + 1
2 ×5× FC，
解得：FC = 10
3 ，
∴FD = 10
3 ，
∴S△ABF = 1
2 AB⋅FD = 1
2 ×13× 10
3 = 65
3 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，解答本题的
关键是熟练掌握三角形的面积计算公式．
4．（2026•广西）根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的AD 是△ABC 的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】作图—基本作图；三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】过A 点作BC 的垂线，垂足为D，则利用基本作图可对各选项进行判断．
【解答】解：AD 是△ABC 的高的作图为
．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5 种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的
10
角平分线、中线和高．
5．（2026•宜宾）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以点A 为圆心，小于AC 长为半径画弧分别交
AC、AB 于点P、Q，又分别以P、Q 为圆心，大于1
2PQ 为半径画弧交于点M，连接AM 交BC 于点D．
已知AB＝5，CD＝2，则△ABD 的面积是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线．
【答案】D
【分析】根据作图痕迹可知AD 是∠BAC 的角平分线，利用角平分线的性质可得点D 到AB 的距离等于
CD 的长，再根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：由作图痕迹可知，AD 是∠BAC 的角平分线，
过点D 作DE⊥AB 于点E，
∵∠ACB＝90°，即DC⊥AC，
∴DE＝CD＝2，
∴S△ABD= 1
2 AB⋅DE = 1
2 ×5×2=5，
故选：D．
【点评】本题主要考查了作图—基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握其相关知
识点是解题的关键．
6．（2026•眉山）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于1
2AB 的长为半径画弧，两弧交于
点D，点E，作直线DE 交BC 于点F，连接AF，若∠B＝50°，∠C＝60°，则∠CAF 的度数为（ ）
11
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】先利用基本作图得到DE 垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得
到∠FAB＝∠B＝50°，接着利用三角形内角和定理计算出∠AFB＝80°，然后根据三角形外角性质计算
出∠CAF 的度数．
【解答】解：由作法得DE 垂直平分AB，
∴FA＝FB，
∴∠FAB＝∠B＝50°，
∴∠AFB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠AFB＝∠CAF+∠C，
∴∠CAF＝80°﹣60°＝20°．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5 种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直
平分线的性质．
7．（2026•台湾）如图，平行四边形ABCD 中，AB＝20，AD＝21．甲、乙两人想找一点P，使得P 到BC
的距离等于P 到AD 的距离，且P 到AB 的距离等于P 到CD 的距离，其作法如下：
【甲】连接AC、BD，两线段相交于P 点，则P 即为所求；
【乙】作∠C、∠D 的角平分线，两直线相交于P 点，则P 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．甲、乙皆正确
B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
12
【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质一一判断即可．
【解答】解：甲的作法正确．乙 的作法错误，乙的作法中，点P 到AD，CD，CB 的距离相等，不符
合题意．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
二．填空题（共7 小题）
8．（2026•齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交AB
于点M，交BC 于点N，分别以M，N 为圆心，大于1
2MN 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内部交于点
P，作射线BP 交AC 于点D．若CD＝2，AB＝7，则△ABD 的面积为
7
．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】7．
【分析】先利用基本作图得到BP 平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点D 到BA 的距离等于点D
到BC 的距离，所以点D 到BA 的距离为2，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：由作法得BP 平分∠ABC，
∴点D 到BA 的距离等于点D 到BC 的距离，
∵∠ACB＝90°，CD＝2，
∴点D 到BC 的距离为2，
∴点D 到BA 的距离为2，
∴△ABD 的面积= 1
2 ×7×2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5 种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线
的性质．
9．（2026•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A 为圆心，以
适当长为半径画弧，分别交AB，AD 于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，以大于1
2MN 的长为半径
画弧，两弧在∠BAD 内交于点P；③作射线AP 交BC 于点E．若AB＝3，EC＝2，则AD 的长为
5
．
13
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】5．
【分析】先利用基本作图得到∠BAE＝∠DAE，再根据平行四边形的性质得到BC∥AD，AD＝BC，接
着证明∠BAE＝∠BEA 得到BE＝AB＝3，所以BC＝5，从而得到AD 的长．
【解答】解：由作法得AP 平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴BC∥AD，AD＝BC，
∴∠BEA＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝3，
∴BC＝BE+CE＝3+2＝5，
∴AD＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5 种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线
的性质和平行四边形的性质．
10．（2026•内江）如图，在平行四边形ABCD（BC＞AB）中，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适
当的长为半径画弧，交AB 于点M，交AD 于点N；②分别以点M、N 为圆心，大于1
2MN 的长为半径
画弧，两弧在∠BAD 的内部相交于点E；③连接AE 并延长交线段BC 于点F．若CD＝6，CF＝2，则
平行四边形ABCD 的周长为
28
．
【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；尺规作图；几何直观．
【答案】28．
【分析】由作图过程可知，AF 为∠BAD 的平分线，可得∠BAF＝∠DAF．由平行四边形的性质得AB＝
CD＝6，BC＝AD，BC∥AD，可得∠BFA＝∠DAF，则∠BAF＝∠BFA，即BF＝AB＝6，BC＝BF+CF＝
8，进而可得答案．
14
【解答】解：由作图过程可知，AF 为∠BAD 的平分线，
∴∠BAF＝∠DAF．
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD，BC∥AD，
∴∠BFA＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BF＝AB＝6，
∴BC＝BF+CF＝8，
∴平行四边形ABCD 的周长为2CD+2BC＝28．
故答案为：28．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义
平行四边形的性质是解答本题的关键．
11．（2026•天津）如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，点A，B 均在格点上，点C 在网格线上，
以AC 为直径的半圆经过点B．
（Ⅰ）线段AB 的长为 √13 ；
（Ⅱ）点M 在线段BC 上，点N 在线段AM 上，满足∠BNM＝∠CNM＝∠ACB．请用无刻度的直尺，
在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N 的位置是如何找到的（不要求证明） 设
AC
，
BC
分别与格线交于点
O ，点
D ，连接
OD
并延长交格线于点
E ，连接
AE
交
BC
于点
M
，交格线于
点
F ，设
AB
交格线于点
G ，连接
FG
并延长交格线于点
H ，连接
BH
交半圆于点
K ，连接
KG
交
AB
于
点
N ，则点
M
，点
N 即为所求
．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】尺规作图；推理能力．
【答案】（I）√13；
15
（II）
；设AC，BC 分别与格线交于点O，点D，连接OD 并延长交格线于点E，连接AE 交BC 于点M，交格
线于点F，设AB 交格线于点G，连接FG 并延长交格线于点H，连接BH 交半圆于点K，连接KG 交
AM 于点N，则点M，点N 即为所求．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；
（Ⅱ）可证明点O 为AC 的中点，点D 为BC 的中点，点D 为OE 的中点，点G 为AB 的中点，点G 为
FH 的中点，则可证明四边形OCEB 是菱形，得到∠CBE＝∠BCE＝∠ACB；证明四边形AHBF 是平行
四边形，进而可证明四边形AKBN 是平行四边形，得到∠AKB＝∠ANB；由圆内接四边形对角互补可得
∠AKB+∠ACB＝180°，则可证明∠BNM＝∠ACB，得到∠BNM＝∠BCE，据此可证明B、N、C、E 四
点共圆，得到∠CNM＝∠BCE＝∠ACB，则∠BNM＝∠CNM＝∠ACB．
【解答】解：（Ⅰ）由网格的特点和勾股定理可得AB =√2
2+3
2=√13，
故答案为：√13；
（Ⅱ）如图所示，连接BE，CE，BN，CN，AK，取格点P、Q，
可证明△AOP∽△ACQ，得到OA
AC = AP
AQ = 1
2，则点O 为AC 的中点，即点O 为半圆的圆心，
同理可得点D 为BC 的中点，点D 为OE 的中点，点G 为AB 的中点，点G 为FH 的中点，
∴四边形OCEB 是平行四边形，
又∵OB＝OC，
16
∴四边形OCEB 是菱形，
∴∠ACB＝∠BCE，BE＝CE，
∴∠CBE＝∠BCE＝∠ACB；
同理可证明四边形AHBF 是平行四边形，
∴BH∥AF，
∴∠GKB＝∠GNA，∠GBK＝∠GAN，
又∵AG＝BG，
∴△GBK≌△GAN（AAS），
∴BK＝AN，
∴四边形AKBN 是平行四边形，
∴∠AKB＝∠ANB；
∵四边形ACBK 是圆内接四边形，
∴∠AKB+∠ACB＝180°，
又∵∠ANB+∠BNM＝180°，
∴∠BNM＝∠ACB，
∴∠BNM＝∠BCE，
∴B、N、C、E 四点共圆，
∴∠CNM＝∠CBE＝∠ACB，
∴∠BNM＝∠CNM＝∠ACB．
故答案为：设AC，BC 分别与格线交于点O，点D，连接OD 并延长交格线于点E，连接AE 交BC 于点
M，交格线于点F，设AB 交格线于点G，连接FG 并延长交格线于点H，连接BH 交半圆于点K，连接
KG 交AM 于点N，则点M，点N 即为所求．
【点评】本题考查了圆的基本性质，作图等，掌握综合知识是解题的关键．
12．（2026•苏州）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，分别以点A，B 为圆心，大于1
2 AB的长为
半径画弧，两弧相交于点D，E．过D，E 两点作直线，分别交AB，AC 于点F，G，连接CF．若CF＝
5，则AG＝ 25
4 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
17
【答案】25
4 ．
【分析】连接BG，由作图可得DE 是AB 的垂直平分线，则点F 是AB 的中点，AG＝BG．根据直角三
角形斜边上中线的性质得到AB＝2CF＝10，由勾股定理求出AC，AG＝BG＝x，在Rt△BCG 中根据勾
股定理构造方程，求解即可．
【解答】解：连接BG，
由作图可得DE 是AB 的垂直平分线，
∴点F 是AB 的中点，AG＝BG，
∴∠ACB＝90°，CF＝5，
∴AB＝2CF＝10，
在Rt△ABC 中，AC =√A B
2- BC
2=√10
2-6
2=8⋅，
设 AG＝BG＝x，则 CG＝AC﹣AG＝8﹣x，
在Rt△BCG 中，BC2+CG2＝BG2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x = 25
4 ，
∴AG = 25
4 ．
故答案为：25
4 ．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理
解题的关键是掌握相关知识解决问题．
13．（2026•广安）如图所示，在∠MAN 中，按以下步骤作图：（1）以点A 为圆心，4cm 长为半径画弧，
分别交AM，AN 于点B，C；（2）分别以点B，C 为圆心，大于1
2BC 的长为半径画弧，两弧在∠MAN
内部相交于点D；（3）作射线AD 交^
BC于点E；（4）连接BC，交AD 于点F，连接BE．若AF＝
3cm，则BE＝
2 √2 cm．
18
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】2√2．
【分析】利用基本作图得到AB＝AE＝AC＝4cm，AD 平分∠MAN，再根据等腰三角形的性质得到
AE⊥BC，接着利用勾股定理先计算出BF，然后计算出BE 的长．
【解答】解：由作法得AB＝AE＝AC＝4cm，AD 平分∠MAN，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE⊥BC，
在Rt△ABF 中，∵AB＝4cm，AF＝3cm，
∴BF=√4
2-3
2=√7（cm），
在Rt△BEF 中，∵EF＝AE﹣AF＝4﹣3＝1（cm），BF=√7cm，
∴BE=√1
2+(√7)
2=2√2（cm）．
故答案为：2√2．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5 种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线
的性质．
14．（2026•南充）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．分别以点A，C 为圆心，大于
1
2AC 长为半径作弧，两弧交于M，N 两点，直线MN 分别交AC，AB 于点D，E，则DE 的长为
3
．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】3．
【分析】先利用基本作图得到MN 垂直平分AC，则AD＝CD= 1
2AC＝4，∠ADE＝90°，所以DE∥BC，
19
再利用平行线分线段成比例定理得到AD
DC = AE
BE =1，所以AE＝BE＝5，然后在Rt△ADE 中利用勾股定
理和计算出DE 的长．
【解答】解：由作法得MN 垂直平分AC，
∴AD＝CD= 1
2AC＝4，∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DE∥BC，
∴AD
DC = AE
BE =1，
∴AE＝BE= 1
2AB＝5，
在Rt△ADE 中，∵AD＝4，AE＝5，
∴DE=√5
2- 4
2=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5 种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直
平分线的性质和勾股定理．
三．解答题（共1 小题）
15．（2026•北京）在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶
液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g 溶剂里达到饱和状
态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度
数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示：
温度℃
0
10
20
30
40
50
60
70
80
甲的溶
解度g
13.3
20.9
31.6
45.8
63.9
85.5
110
138
169
20
（1）根据表中数据，在图中画出0℃∼80℃范围内甲的溶解度曲线；
（2）当温度为
70
℃（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为ng．在该温度下，将ng 乙加
入100g 水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至10℃，此时会有
58
g（精确到个位）乙从水
中析出；
（3）当温度为10℃时，小云将100g 甲加入到装有100g 水的1 号杯中，将100g 乙加入到装有100g 水
的2 号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了
以下两种方案：
方案一：将温度提升至T℃，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解；
方案二：保持温度不变，向1 号杯中再加入m1g 水，向2 号杯中再加入m2g 水，充分搅拌后使两种物质
均能全部溶解．
①方案一中，T 的最小值为
57
（精确到个位）；
②方案二中，m1+m2的最小值为
403
（精确到个位）．
【考点】作图—应用与设计作图；近似数和有效数字；列代数式；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
21
【答案】（1）
；
（2）70；58；
（3）①57；②403．
【分析】（1）根据表格信息描点连线即可；
（2）根据（1）中函数图象判断即可；
（3）①根据（1）中函数图象判断甲、乙溶解度达到100g 的温度，取较大值即可；
②根据（1）中函数图象得到10℃时甲、乙溶解度，进而求出溶解100g 甲、乙需要的水的总质量，求
出m1、m2的值，计算m1+m2即可．
【解答】解：（1）如图，
22
（2）由函数图象可知，当温度约为70℃（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同；
此时溶解度n≈138g，
降温到10℃乙溶解度约为80g，
因此析出乙的质量为138﹣80＝58（g）；
故答案为：70；58；
（3）①要让100g 溶质完全溶解在100g 水中，溶解度需要至少达到100g．
对甲来说，溶解度达到100g 的温度约为57℃，
对乙来说，溶解度达到100g 的温度约为35℃，
因此T 的最小值为57℃；
故答案为：57；
②10℃时甲溶解度约为20.9g，
设溶解100g 甲需要的水的总质量为x，
由20.9 g
100 g = 100 g
x
，
解得：x≈478g，
因此需要加水478﹣100＝378（g），
即m1＝378；
10℃时乙溶解度约为80g，同理得溶解100g 乙需要的水的总质量为125g，
因此需要加水125﹣100＝25（g），
23
即m2＝25；
∴最终m1+m2＝378+25＝403．
故答案为：403．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象是解题的关键．
24
考点卡片
1．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数
字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说
法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，
前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词
义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．
要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量
关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这
部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略
乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，
书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代
数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或
者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
3．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
25
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
4．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC 是∠AOB 的平分线
则∠AOC＝∠BOC= 1
2∠AOB 或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
5．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫
做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另
一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内
部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
6．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△= 1
2 ×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，
有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，
∵C 在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
26
8．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
9．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
10．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直
角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
11．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
12．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
27
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
13．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
14．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
15．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图
逐步操作．
16．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
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