文档文本内容
重难点2-3 抽象函数综合性质的应用
三年考情分析
考题统计
2026 年考向预测
近三年高考中抽象函数的性质考
查主要集中在选择题和填空题
中，偶尔也会在解答题中出现．
题目难度从基础到较难不等，涉
及多种函数性质的综合应用，且
难度逐年上升，题目更加注重综
合推理能力，常结合导数、不等
式等知识点进行考查．
2025 年北京卷，单选题，5 分
2024 年全国1 卷，单选题，5 分
预计2026 年高考中，抽象函数的
性质仍将以选择题和填空题的形
式出现，且可能作为压轴小题。
题目将继续考查学生的综合推理
能力．可能出现创新题型，如结
合实际问题或新定义的函数性质
进行考查．
一、抽象函数的定义域
：
1、已知f (x)的定义域，求f (g(x))的定义域：若f (x)的定义域为[a,b]，则f (g(x))中a≤g(x)≤b，解
得x的取值范围即为f (g(x))的定义域．
2、已知f (g(x))的定义域，求f (x)的定义域：若f (g(x))的定义域为[a,b]，则由a≤x ≤b确定g(x)的
范围，即为f (x)的定义域．
3、已知f (g(x))的定义域，求f (h(x))的定义域：可先由f (g(x))定义域求得f (x)的定义域，再由f (x)
的定义域求得f (h(x))的定义域．
4、运算型的抽象函数：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各
个函数的定义域，再求交集．
注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是x的取值范围，同一个f 下括号内的范围是一样的．
二、抽象函数的单调性
：
判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论．
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试．
①若给出的是“和型”抽象函数
y
x
f
，判断符号时要变形为：
1
1
1
2
1
2
)
(
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
2
1
2
1
2
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
;
②若给出的是“积型”抽象函数
xy
f
，判断符号时要变形为：
1
1
2
1
1
2
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
1
2
2
1
2
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
．
三、抽象函数的奇偶性
：
判断抽象函数奇偶性的关键是得到
和
的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后
只保留
和
的关系．
【注意】证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律．
（1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如
，
等；
（2）尝试适当的换元字母，构造出
和
，如
可令
，
可令
等；
（3）通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧．
四、函数的周期性常用结论
：
（1）若
，则
； （2）若
，则
；
（3）若
，则
； （4）若
，则
；
（5）若
，则
； （6）若
，则
（
）．
五、函数的对称性常用结论
：
1、轴对称：
（1）函数
关于直线
对称
（2）函数
关于直线
对称
．
2、中心对称：
（1）函数
关于点
对称
；
（2）函数
关于点
对称
．
3、函数的奇偶性和对称性的关系：
（1）若
为奇函数，则
关于
对称；
（2）若
为偶函数，则
关于
对称；
（3）若
为奇函数，则
关于
对称；
（4）若
为偶函数，则
关于
对称．
重难点题型【一】、求抽象函数的定义域
1．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一上·湖北·月考）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若函数
的定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高二上·云南·开学考试）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
.
5．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数
的定义域是
，则
的定义域是
重难点题型【二】、求抽象函数的函数值
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
满足
，若
，则
（ ）
A．25
B．125
C．625
D．15625
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2024
D．2025
3．（2025·湖北武汉·三模）已知函数
的定义域为
，对任意的
，均有
，且
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数
的定义域为
，且
，则
的值域为 .
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
满足对任意
，都有
，且函数
为奇函数，
，则
．
重难点题型【三】、求抽象函数的解析式
1．（2024·陕西铜川·三模）已知函数
是定义域为
的偶函数，且
为奇函数，写出函数
的一个解析式为
.
2．已知函数
满足
，则
的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析
式即可）．
3．定义在R 上的函数
满足：①对任意的
，都有
；②当
时，
，则函数
的解析式可以是 .
4．（2024·山东菏泽·二模）定义二元函数
，同时满足：①
；②
；③
三个条件．
(1)求
的值；
(2)求
的解析式；
(3)若
．比较
与0 的大小关系，并说明理由．
附：参考公式
重难点题型【四】、求抽象函数的单调性
1．已知定义在区间
上的函数
满足
，且当
时，
.
（1）求
的值；
（2）证明：
为单调增函数；
（3）若
，求
在
上的最值.
2．定义在R 上的单调函数
满足对任意
，
均有
，且
.
(1)求
的值，判断并证明
的奇偶性；
(2)判断函数单调性，求
在区间
上的最小值.
3．已知函数
，对任意的
，且当
时，
．
(1)求
的值；
(2)判断并证明
的单调性；
(3)设函数
，判断
的奇偶性并说明理由．
4．已知定义在区间
上的函数
，对任意
均有
，且当
时，
.
(1)求
的值；
(2)判断
的单调性并予以证明；
(3)若
，解不等式
.
重难点题型【五】、求抽象函数的奇偶性
1．已知函数
满足对任意
，
都有
，且
不恒为0，则下列
结论一定正确的是（ ）
A．
的值不确定
B．
是奇函数
C．
是偶函数
D．
2．（2025·上海嘉定·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
有零点
D．
3．（24-25 高三上·甘肃定西·期末）已知
是定义在
上的奇函数，对于任意的
，都有
，且
，则不等式
的解集为 ．
4．已知函数
是定义在
上的偶函数，且
，则
．
重难点题型【六】、抽象函数的对称性与周期性
1．（24-25 高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知
是定义在R 上的奇函数，
，且
，则
（ ）
A．-3
B．0
C．3
D．6
2．（2025·安徽合肥·一模）已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
3．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数
是
上的偶函数，若对于
，都有
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
4．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义域
上的函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
的图象关于点
对称，则
（ ）
A．
B．10
C．2
D．
7．（2024·浙江·一模）若
，已知数列
中，首项
，则
．
8．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数
满足：①
为奇函数；②
，则
.
重难点题型【七】、利用抽象函数解不等式
1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数
的定义域为
，且
在
上单调递
减，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
，且当
时，
单调递增，则关于
的不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足：
，且
，
，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北石家庄·三模）已知
是定义在
上的奇函数，当
、
且
时，都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·云南·模拟预测）已知
是定义在R 上的奇函数，且
，若对任意的
，
，
均有
成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·宁夏银川·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递减，且
，则不等式
的解集为 .
7．（2025·山东·模拟预测）已知
是定义在
上的偶函数，且当
时，
，则
满足
的
的取值范围是 ．
重难点题型【八】、利用抽象函数的比较大小
1．（2025·重庆·三模）已知函数
是R 上的偶函数，对任意
且
都有
，若
则
的大小关系是（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
2．（24-25 高二下·天津西青·期中）定义在
上的奇函数
满足
时，
成立，
若
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南邵阳·二模）定义在
上的函数
满足
，且
在
上单调递增，
设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知
在
上单调递增，若
为偶函数，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数
是
上的偶函数，对任意
，且
都
有
成立．若
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（23-24 高三上·重庆渝中·月考）若函数
的定义域为
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
都是定义在
上的函数，
是奇函数，
是偶函数，且
，则
（ ）
A．-4052
B．-4050
C．-1012
D．-1010
3．已知函数
在定义域
上单调，且均有
，则
的值为（ ）
A．3
B．1
C．0
D．
4．（24-25 高一下·江西赣州·月考）已知
是
上的连续函数，满足
有
，且
.则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
的一个周期为8
D．
是
的一个对称中心
5．（2025·湖南郴州·一模）函数
对
，且
为奇函数，则下列说法正
确的是（ ）
A．若
时
，则
B．
的周期为6
C．
的图象关于
中心对称
D．
6．设
是定义在
上的奇函数，且
．若
在
上单调递减，则不等式
的
解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三下·河南·月考）已知奇函数
在
上单调递减，若
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数
是
上的奇函数，且
，对于任意的
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024 高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数
的定义域为
，对任意的
满足
，
且
在区间
上单调递减，若
，
，
，则
，
，
的
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．（2024·江苏宿迁·三模）已知定义在
上不为常数的函数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11．（20-21 高二下·上海宝山·期末）若函数
的值域是
，则函数
的
值域是 .
12．（2019·上海闵行·三模）函数
的值域是
，则函数
的值域为
13．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函数，
当
时，
，则
.
14．（2025·北京海淀·二模）已知函数
，则
的值域为 ，曲线
的对称
中心为 ．
15．（2024·贵州遵义·模拟预测）定义在
上的偶函数
满足
，则
；
.
16．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
满足对
都有
成立．当
时，
，则不等式
的解集为 ．
17．（2024·河南·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
在
上单调递减，
，则满足
的
的取值范围为 .
四、解答题
18．（2024·甘肃白银·一模）设A 为一个非空的二元有序数组
的集合，集合
为非空数集.若按照某种
确定的对应关系
，使得A 中任意一个元素
，在
中都有唯一确定的实数
与之对应，则称对应关系
为定义在A 上的二元函数，记作
.已知二元函数
满足
，且
.
(1)求
的值；
(2)求
的解析式；
(3)已知数列
满足
，数列
的前
项和为
，证明：
.
19．已知定义在
上的函数
在区间
上单调递减，且
，
.
(1)证明：
；
(2)判断函数
的奇偶性，并给予证明；
(3)当
时，求不等式
.
