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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
第1.1练 集合
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意： ， ，所以 ；
故选：C.
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， ，因此， .
故选：A.
3．集合 ，集合 .则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 得 ，所以 .
由 得 或 .
所以 ，所以 .
故选：B.
4．已知集合 ， ，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意， ，而阴影部分表示的集合是 ，又 ，则 ，
所以 .
故选：C
5．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得集合 ，
，
故 ，
故选：A
6．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 得： 或 ，即 或 ， ；
， .
故选：B.
7．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为集合 ， ，
所以 ，
故选：C
8．已知集合 ， ，若 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】因为 或 ，
所以 或 ，
由 ，
所以当 时， 不成立，
所以集合 为空集， 满足题意，
当 时， ，
由 ，所以 ，
所以有 ，
综上所述实数 的取值范围是 ，
故选：B.
9．已知函数 的定义域为A，函数 的定义域为B，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，则集合 ，
而 的定义域满足 且 ，即 且 ，
且 ，即 且 ，那么 ，
故选：D.
10．已知集合 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】集合 ,解得 ,
,即 ,解得 ,故 ,所以
故选：C
二、多选题
11．已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是（ ）
A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪ ＝{x|x≤－1或x＞2}
D．A∩ ＝{x|2＜x≤3}
【答案】BD
【详解】因为A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，
所以A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1＜x≤2}，故A错误；
A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；
因为 ＝{x|x＜－2或x＞2}，所以A∪ ＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2或x＞2}＝{x|x＜－2或x＞－1}，
故C错误；
A∩ ＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故D正确.
故选：BD.
12．记无理数 小数点后第 位上的数字是 ，则 是 的函数，记作 ，定
义域为 ，值域为 ，其下列说法正确的是（ ）
A．值域 是定义域 的子集
B．函数图像 是一群孤立的点
C．
D． 也是 的函数，记作
【答案】BC
【详解】对于A，根据题意可知定义域为 ， ，
因为 ，所以值域 不是定义域 的子集，所以A错误，
对于BC，由题意可知数位 对应的数字依次为1，4，1，5，9，2，6，……，则函数图像 是一群孤
立的点， ，所以BC正确，
对于D，因为 时， 和3，不符合函数的定义，所以D错误，
故选：BC
13．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪 直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，
用有理数的“分割”来定义无理数 史称戴德金分割 ，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机 所谓戴德金分割，是
指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足 ， ，M中的每一个元素都小
于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割 试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． 是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【详解】对于A，因为 ， ，故A错误；
对于B，若 ，则满足戴德金分割，
此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则 ，
则 ，而 内也有有理数，
则 ，故C错误；
对于D，若 ， ，
则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，
故选：BD
14．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，
但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合 ， ，
若 与 构成“全食”或“偏食”，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】当 时， ， ,所以 与 构成“全食”；
当 时， ，如果 ， 与 构成“全食”；如果 ，
，此时 与 构成 “偏食”；
当 时，如果 则 ， ， ，所以 与 构成“全食”；如果 则 ，
，所以选项A错误；
故选：BCD15．对于全集 的子集 定义函数 为 的特征函数，设 为全集 的子集，则下列
结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对于A ， ，可得 则
因为 ， ，
当 时， ，
当 但 时， ，
当 ，
∴ ，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C，当 时， ，
当 时， ，
当 时 ，
当 时， ，
以上情况均满足 ，故C正确；
对于D，当 时 ， ，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
16．已知全集为 ， ，定义集合 的特征函数为 ，对于 ，给出下列
四个结论：
①对 ，有 ；
②对 ，若 ，则 ；③对 ，有 ；
④对 ，有 ．
其中，正确结论的序号是__________．
【答案】①②③；
【详解】①因为 ，所以由特征函数可知若 ，则 ， ，若 ，则
， ，
综上所述，对 ，有 ，①正确；
②当 时，若 则定有 ，此时 ，
若 ，且 ，此时 ， ， ，
若 ，且 ，此时 ，
综上所述，对 ，若 ，则 ，②正确；
③若 ，则 且 ，此时 ，
若 ， ， 时， ， ， ， ，
若 ， ， 时， ， ， ， ，
若 ， ， 时， ， ， ， ，
综上所述，对 ，有 ，③正确；
④若 ， ，则 ，
此时 ，不满足 ，④错误；
故选：①②③
17．已知集合 ，定义 ，则集合 的所有非空子
集的个数为__________．
【答案】31
【详解】集合 ， ，定义 ，
则 ，元素个数为5，
故集合 的所有非空子集的个数为
故答案为：31
四、解答题
18．设全集 ，集合 ，求：
(1) ；(2) ．
【答案】(1) 或 (2) 或
【详解】（1）解：由不等式 ，解得 ，所以 ，
又由不等式 ，解得 ，所以 ，
可得 ，所以 或 .
（2）解：由（1）知，集合 ，
可得 或 ， 或 ，
所以 或 .
19．已知集合 ，集合 ，集合
(1)设全集 ，求 ；
(2)若 ，求实数m的取值范围.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由 ，解得 ，
由 ，解得
，
（2）∵ ，∴ ，
当 时，
当 时， 或
解得
综上，实数m的取值范围为
20．设S为满足下列两个条件的实数所构成的集合：（1） ；（2）若 ，则 求解下列问题：
(1)若数列 中的项都在 中，求 中所含元素个数最少的集合 ；
(2)在 中任取3个元素a，b，c，求使 的概率；
(3) 中所含元素个数一定是 个吗？若是，请给出证明；若不是，试说明理由．
【答案】(1) (2) (3)是，证明见解析
【详解】（1）解：由题意集合S满足（1） ；（2）若 ，则 ，又由数列 ，可得 ，即集合 中必有元素 ，
由 ，所以 ，所以 ，则 ；
又因为 ，所以 ，所以集合 中至少含有元素 ；
同理可得：当 时，可得 ，所以集合 中至少含有元素 ；
综上可得，集合 中所含元素个数最少的集合为 .
（2）解：若集合 中任取三个元素 ，共有 种不同的取法，
使得 的只有 和 ，有2种取法，
所以使得 的概率为 .
（3）解：一定是 个.
理由如下：因为 且 ，所以 ，
当 时，可得 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即当 时， 且 .
下面证明： 互不相等，
若 ，则 ，此时方程无解，所以 ；
若 ，则 ，此时方程无解，所以 ；
若 ，则 ，此时方程无解，所以 ，
所以集合 中含有的元素个数一定是 个.
