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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 重难点专题02 二元一次方程组的解法 模块一、解二元一次方程组 重难点一、代入消元法 代入消元法核心思路是消元，将二元转化为一元。优先挑选未知数系数为 ±1 的方程，变形为用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程求解。计算时注 意括号符号，避免去括号漏变号。求出一个未知数后，代回变形后的简易式子求另一个 值，最后记得检验答案。 1．（25-26 七年级下·湖北荆州·期末）用代入消元法解方程组 较为简便的方法是（ ） A．先把 变形 B．先把 变形 C．可先把 变形，也可先把 变形 D．把 同时变形 2．（21-22 七年级下·河南驻马店·阶段检测）方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 3．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）把方程 变形，用含 的式子表示 ，可得 __________． 4．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）已知方程 ，用含 的代数式表示 ，则 _________ 5．（22-23 七年级下·广西柳州·阶段检测）解方程组： ． 6．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）解方程组： 【答案】 7．（25-26 八年级上·广东茂名·阶段检测）解方程组： (1) ； (2) ． 8．（25-26 七年级下·江西南昌·期末）按要求解答下列问题： (1)方程组 的解 与 是否互为相反数？说明你的理由． (2)若方程组 的解 与 互为相反数，求 的值． 9．（2022·浙江台州·模拟预测）解方程组 ． 重难点二、加减消元法 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 加减消元法通过等式同乘倍数，制造互为相反数或相等的同类项。系数互为 相反数用加法，系数相等用减法。统一系数时方程每一项都要乘，切勿漏乘常数项。消元 算出一元解后，带回原方程组求值。系数复杂时先化简方程组，减少计算失误。 1．（21-22 七年级下·云南西双版纳·阶段检测）已知x，y 满足方程组 ，则 的值为 （ ） A． B． C．2 D．5 2．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）二元一次方程组 的解为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 七年级下·江苏无锡·阶段检测）方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 4．（21-22 九年级·浙江温州·学业考试模拟）已知 ，则 的值为（ ） A． B．8 C． D．4 5．（25-26 七年级下·青海玉树·期末）用加减法解方程组 ，由 可得________． 【答案】 6．（21-22 七年级下·四川德阳·期中）如果关于x，y 的方程组 的解满足 ，则 k 的值为______． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 7．（21-22 七年级下·甘肃庆阳·期中）解下列方程组 8．（21-22 七年级下·云南西双版纳·阶段检测）解方程组： 9．（23-24 八年级上·广西柳州·开学考试）解方程组 ； 10．（25-26 七年级下·江西南昌·期末）解下列二元一次方程组： (1) ； (2) ． 11．（25-26 七年级下·西藏昌都·期末）解方程组： (1) ． (2) 12．（21-22 七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）解方程组 (1) (2) 重难点三、二元一次方程组的特殊解法 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 针对轮换、比例型方程组，可灵活运用整体换元法简化运算。遇到连等形 式，拆分为两个独立方程；出现重复代数式，设置新元替换。不必机械套用常规消元步 骤。整体思想是核心，避开繁琐计算，完成求解后带回换元关系算出原始未知数。 1．（25-26 七年级下·安徽淮南·期末）若关于 ， 的方程组 的解是 ，则关于 的方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 七年级下·全国·期末）已知方程组 的解是 ，那么方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 七年级下·四川宜宾·期末）已知关于 的方程组 的解为 ，则关于 的方程组 的解是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）已知方程组 那么 ________． 5．（25-26 七年级下·浙江宁波·开学考试）已知方程组 ，则 的值是___________． 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 6．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知关于 ， 的方程组 的解是 ，则关于 ， 的方程组 的解是_____． 7．（2025·四川自贡·模拟预测）已知关于 的二元一次方程组 的解为 ，那么关于 的二元一次方程组 的解为__________ ． 8．（25-26 七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）若方程组 的解是 ，则方程组 的解为___________． 9．（24-25 七年级下·河南濮阳·期末）阅读下面的材料解决问题． 解方程组 ． 解：由①得 ，将③代入②得 ，解得 ；把 代入①解得 ，所以该方 程组的解为 ，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组 ． 10．（25-26 七年级下·广西钦州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 解方程组 时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容 易出错，如果把方程组中的 和 分别看作一个整体，设 ， ，原方程组 可化为 ，解得 ，即 ，所以原方程组的解为 ，这种解方程组的方法 叫做整体换元法． 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 (1)已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，那么关于 ， 的二元一次方程组 的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组 ； (3)关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，求关于 ， 的方程组 的解． 模块二、解二元一次方程组的应用 重难点一、二元一次方程组的错解复原问题 错解复原抓住关键：看错系数的解，依旧满足没有看错的方程。把错误解代 入系数无误的方程，建立新方程组求出参数。不要直接使用错解带入出错方程。算出参数 后还原完整方程组，正常求解得到正确答案，这是初中高频易考题型。 1．（24-25 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）甲、乙两人同求方程 的整数解，甲正确的求 出一个解为 ，乙把 看成 ，求得一个解为 ，则 、 的值分别为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25 七年级下·河北石家庄·阶段检测）李明、王超两位同学同时解方程组 ，李明 解对了，得： ，王超抄错了 ，得： ，则原方程组中 的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26 七年级下·河南鹤壁·阶段检测）甲、乙两名同学在解方程组 时，甲解题时看错 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 了m，解得 ，乙解题时看错了n，解得 ，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确 解． 4．（25-26 七年级上·全国·课后作业）用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得 …… 解法二：由②，得 ．③ 把①代入③，得 …… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 5．（24-25 七年级下·湖南衡阳·阶段检测）小明和小文解一个关于x，y 的二元一次方程组 小明正确解得 ，小文因看错了c，解得 ．已知小文除看错了c 外没有出现其 他错误，求 的值． 6．（24-25 七年级下·河南南阳·阶段检测）甲、乙两人同时解方程组 甲看错了b，求得的 解为 乙看错了a，求得的解为 你能求出原题中正确的a，b 吗？ 7．（25-26 七年级下·湖北荆州·期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成 相应的任务： 解方程组： 解： ，得 ③第一步； ，得 ．第二步 将 代入①，得 ．第三步 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 所以，原方程组的解为 ．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 8．（25-26 七年级下·甘肃陇南·期末）甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程① 中的 ，得到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ，试求 的值． 9．（25-26 七年级下·江西赣州·期末）小马、小虎两人同时解方程组 ,小马由于看错了 方程①中的 ，得到方程组的解为 ，小虎看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ． (1)求 的值； (2)求出原方程组的正确解． 10．（25-26 六年级下·上海闵行·期末）在解方程组 时，由于粗心，小马看错了方程 ①中的系数 ，得出解为 ；小虎看错了方程②中的系数 而得解为 ．请你根据上述条 件，求出原方程组的解． 11．（25-26 七年级下·全国·期末）已知 是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与 方程组 的解相同；因为看错了第二个方程中的 的系数 ，求出的解是 ，请你根据以 上信息，把方程组复原出来． 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 重难点二、构造二元一次方程组求解 题目缺少方程组时，挖掘题干隐藏条件构造等式。常结合绝对值、平方、算 术平方根非负性，令多个非负数分别等于 0 列出方程；或是利用同类项定义、坐标特征 建立关系式。联立得到二元一次方程组，再用消元法计算目标未知数。 1．（25-26 七年级下·河南洛阳·期中）在等式 中，当 时， ；当 时， ．则 （ ） A． B． C． D． 2．（2025 八年级上·全国·专题练习）若 ，则 的值是（ ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26 七年级下·北京·期末）如下表是当 取不同值时对应的整式 的值．小明不小心打翻 了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则 的值分别为（ ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 4．（25-26 七年级下·云南昆明·阶段检测）若 ，则 的值为_________． 5．（25-26 七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）对于x，y 定义一种新运算 （a，b 是 非零常数）．例如 ．若 ， ，则 ______． 6．（25-26 七年级下·河南鹤壁·阶段检测）若单项式 与 是同类项，则 _____． 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 重难点三、已知二元一次方程组的解的情况求参数 二元一次方程组解分三种：唯一解、无数解、无解。化成统一标准形式，对 比未知数系数与常数项比值。比值全部相等则无数解；未知数系数比相等，常数项比值不 等则无解；系数比值不等存在唯一解。严格区分比例关系，防止混淆结论。 1．（25-26 七年级下·山东临沂·期末）关于 ， 的方程组 的解满足 ，则 的值是 （ ） A． B． C． D． 2．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）若方程组 的解满足 ，则k 的值为 （ ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（25-26 七年级下·四川南充·期末）若关于x，y 的二元一次方程组 的解为 ，则 的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．-2 4．（25-26 七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）若方程组 的解 满足 ，则k 的值是（ ） A．2 B． C．4 D． 5．（25-26 七年级下·山西吕梁·期末）若关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为_________． 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 6．（22-23 七年级下·山东淄博·阶段检测）已知关于x、y 的方程组 的解满足 ，则 ______． 7．（25-26 七年级下·贵州安顺·期末）若关于 ， 的二元一次方程组 的解也是二元一次方 程 的解，则 ________． 8．（25-26 七年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点 和点 ，若满足： ，则称点 的“美好点”为点 ．例如，点 的“美好点”是点 ． (1)①点 的“美好点”的坐标是______． ②若点 的“美好点”的坐标为 ，求点 的坐标． (2)若点 的“美好点” 在 轴上，求 的值． 9．（25-26 七年级下·福建福州·期中）已知二元一次方程组 的解满足 ，求 的值． 10．（25-26 七年级下·吉林松原·期末）已知关于x，y 的方程组 ，当x 与y 互为相反数 时，求a 的值及方程组的解． 重难点四、二元一次方程组相同解问题 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 两个方程组有相同解，意味着这组解同时满足四个方程。优先选取不含参数 的两个方程联立，先求出公共解；再把公共解代入含有参数的方程，联立算出参数数值。 切忌直接联立带参数方程，理清解题顺序能够大幅简化计算。 1．（25-26 七年级下·北京通州·期中）如果关于 ， 的方程组 与 有相同的 解，那么 的值是（ ） A． B． C．3 D． 2．（25-26 七年级下·山东泰安·期中）若关于 的二元一次方程组 和 有相 同的解，则 的值为_____． 3．（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于 的方程组 和 有相同的 解，那么 值是___________． 4．（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于 ， 的方程组 与方程组 同 解，则 ________， ________． 5．（25-26 七年级下·浙江·期中）已知关于 的方程组 和 有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求 的值． 64．（25-26 七年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知关于 的方程组 和 的解 相同，求 的值． 7．（21-22 七年级下·吉林长春·阶段检测）已知方程组 的解和方程组 的解相 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 同，求 的值． 8．（25-26 七年级下·浙江宁波·期中）已知关于 ， 的方程组 和 有相同的 解． (1)求出它们的相同解． (2)求 的值． 9．（25-26 八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组： ，若设 ， ，则原方程组可化为 ，解方程组得 ，所以 ，解方 程组得 ，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元 法． (1)直接填空：已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 那么关于 、 的二元一次 方程组 的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，求关于 ， 的二元一次 方程组 的解．
