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重难点专题02 二元一次方程组的解法
模块一、解二元一次方程组
重难点一、代入消元法
代入消元法核心思路是消元，将二元转化为一元。优先挑选未知数系数为
±1 的方程，变形为用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程求解。计算时注
意括号符号，避免去括号漏变号。求出一个未知数后，代回变形后的简易式子求另一个
值，最后记得检验答案。
1．（25-26 七年级下·湖北荆州·期末）用代入消元法解方程组
较为简便的方法是（ ）
A．先把
变形
B．先把
变形
C．可先把
变形，也可先把
变形
D．把
同时变形
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】代入消元法
【分析】观察方程组未知数的系数，优先选择系数为的未知数所在方程变形．
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【详解】解：方程
中
的系数为，可变形为
，代入
计算简便；
方程
中
的系数为，可变形为
，代入
计算简便，
∴先把
变形或先把
变形均较为简便．
2．（21-22 七年级下·河南驻马店·阶段检测）方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】代入消元法
【分析】根据代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
，
由
得
，
将
代入
，
得
，
，
，
，
把
代入
，
得
，
即方程组的解为
．
3．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）把方程
变形，用含
的式子表示
，可得
__________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】代入消元法
【分析】根据等式的性质计算即可得出结果．
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【详解】解：
，
移项得
，
系数化为1 得
．
4．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）已知方程
，用含
的代数式表示
，则
_________
【答案】
【难度】0.85
【知识点】代入消元法
【分析】利用等式的性质对方程进行变形，再用含
的代数式表示
即可求解．
【详解】解：
，
移项得：
．
5．（22-23 七年级下·广西柳州·阶段检测）解方程组：
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】代入消元法
【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
，
将①代入②得
，
解得
，
将
代入①得
，
∴方程组的解为
．
6．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）解方程组：
【答案】
【难度】0.85
【知识点】代入消元法
【详解】解：
，
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由①得
③，
将③代入②中得
，解得
，
将
代入③，可得
，
∴该方程组的解为
．
7．（25-26 八年级上·广东茂名·阶段检测）解方程组：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】代入消元法、加减消元法
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
，
由
得
，
解得
，
将
代入①得
，
解得
，
∴方程组的解为
；
（2）解：
，
由①可得
，
将
代入②得
，
解得
，
将
代入
得
，
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∴方程组的解为
．
8．（25-26 七年级下·江西南昌·期末）按要求解答下列问题：
(1)方程组
的解
与
是否互为相反数？说明你的理由．
(2)若方程组
的解
与
互为相反数，求
的值．
【答案】(1)是，理由如下：
，
由
得，
，
解得：
，
将
代入②得，
，
解得：
，
，
方程组
的解
与
互为相反数；
(2)
【难度】0.65
【知识点】相反数的定义、代入消元法、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组，再根据相反数的定义判断即可；
（2）由相反数的定义可得
，再代入方程组求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：
方程组
的解
与
互为相反数，
，
，
代入方程组得
，即
，
解得：
．
9．（2022·浙江台州·模拟预测）解方程组
．
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【答案】
【难度】0.7
【知识点】代入消元法
【详解】解：方程组
整理得：
，
由①得：
，
代入②得：
，
解得：
，
将
代入得：
，
∴原方程组的解为
重难点二、加减消元法
加减消元法通过等式同乘倍数，制造互为相反数或相等的同类项。系数互为
相反数用加法，系数相等用减法。统一系数时方程每一项都要乘，切勿漏乘常数项。消元
算出一元解后，带回原方程组求值。系数复杂时先化简方程组，减少计算失误。
1．（21-22 七年级下·云南西双版纳·阶段检测）已知x，y 满足方程组
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．2
D．5
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】加减消元法
【分析】观察方程组系数特点，将两方程相加后整体求解
的值．
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【详解】解：
，得
．
两边同时除以5，得
．
2．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）二元一次方程组
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】加减消元法
【详解】解：
，
得：
，
解得
，
把
代入②得：
，
解得
，
∴原方程组的解为
．
3．（25-26 七年级下·江苏无锡·阶段检测）方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】加减消元法
【分析】将两式相加消去y 求出x，再将x 的值代入方程②求出y 即可得解．
【详解】解：
，
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，得
.
把
代入②，得
，
解得
.
∴方程组的解是
．
4．（21-22 九年级·浙江温州·学业考试模拟）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．8
C．
D．4
【答案】B
【难度】0.7
【知识点】加减消元法
【分析】观察目标式与方程组的系数特征，将两方程直接相加即可求得结果．
【详解】解：
，得
，
整理得：
．
5．（25-26 七年级下·青海玉树·期末）用加减法解方程组
，由
可得________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】加减消元法
【分析】对①和②左右两边分别作差，化简即可得到结果．
【详解】解：计算
的左边：
，
计算
的右边：
，
因此可得
．
6．（21-22 七年级下·四川德阳·期中）如果关于x，y 的方程组
的解满足
，则
k 的值为______．
【答案】
9
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【难度】0.65
【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】将方程组两个方程相加，可直接得到
关于
的表达式，结合已知条件即可求出
的值．
【详解】解：
，
得，
，
∵方程组的解满足
，
∴
，
解得
．
7．（21-22 七年级下·甘肃庆阳·期中）解下列方程组
【答案】
【难度】0.9
【知识点】加减消元法
【详解】解：
由
得
，
把
代入①得，
，解得
∴原方程组的解为
．
8．（21-22 七年级下·云南西双版纳·阶段检测）解方程组：
【答案】
【难度】0.85
【知识点】加减消元法
【详解】解：
①
②，得
，
解得
，
把
代入①，得
，
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解得
所以，方程组的解是
．
9．（23-24 八年级上·广西柳州·开学考试）解方程组
；
【答案】
【难度】0.85
【知识点】加减消元法
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
，
①
②得：
，
解得：
，
把
代入①得：
，
解得：
，
方程组的解为
．
10．（25-26 七年级下·江西南昌·期末）解下列二元一次方程组：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.7
【知识点】代入消元法、加减消元法
【详解】（1）解：
，
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把①代入②，得
，
解得
，
把
代入①，得
，
所以方程组的解为
．
（2）解：
，
，得
，
解得
，
把
代入①，得
，
解得
，
所以方程组的解为
．
11．（25-26 七年级下·西藏昌都·期末）解方程组：
(1)
．
(2)
【答案】(1)
(2)
【难度】0.7
【知识点】代入消元法、加减消元法
【详解】（1）解：
由②，得
把③代入①，得
解得
把
代入③，得
故原方程组的解为
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（2）解：
，得
，得
，得
把
代入①，得
解得
故原方程组的解为
12．（21-22 七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】加减消元法
【详解】（1）解：
整理得
得
，解得
，
把
代入①得
，解得
，
∴原方程组的解为
；
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（2）解：
整理得
得
，解得
，
把
代入①得
，解得
，
∴原方程组的解为
．
重难点三、二元一次方程组的特殊解法
针对轮换、比例型方程组，可灵活运用整体换元法简化运算。遇到连等形
式，拆分为两个独立方程；出现重复代数式，设置新元替换。不必机械套用常规消元步
骤。整体思想是核心，避开繁琐计算，完成求解后带回换元关系算出原始未知数。
1．（25-26 七年级下·安徽淮南·期末）若关于
，
的方程组
的解是
，则关于
的方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】对比两个方程组的结构，将新方程组中
和
看作整体，对应原方程组的
和
，结合
原方程组的已知解即可求出新方程组的解．
【详解】解：令
，
，则新方程组可转化为：
，
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∵原方程组
的解是
，
∴可得
，即
，
解得
．
2．（25-26 七年级下·全国·期末）已知方程组
的解是
，那么方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【详解】解：由题意得
，
，
解得
，
．
3．（25-26 七年级下·四川宜宾·期末）已知关于
的方程组
的解为
，则关于
的方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.45
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】利用整体换元思想，将所求方程组变形，使其与已知解的原方程组结构一致，对应得到关于
的方程，进而求解．
【详解】解：∵
，
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∴
，
令
，则方程组
可化为
，
∵关于
的方程组
的解为
，
∴关于
的方程组
的解为
，
∴
，
∴
．
4．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）已知方程组
那么
________．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【详解】解：
得
，
∴
．
5．（25-26 七年级下·浙江宁波·开学考试）已知方程组
，则
的值是___________．
【答案】
【难度】0.95
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】直接利用第一个方程减去第二个方程即可求解；
【详解】解：
，
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由
得：
．
6．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知关于
，
的方程组
的解是
，则关于
，
的方程组
的解是_____．
【答案】
【难度】0.7
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】利用换元法将待解方程组转化为与已知结构相同的方程组，结合已知解求解新方程组．
【详解】解：设
，
，
则方程组{𝑎1(𝑥−1) −𝑏1𝑦= 𝑐1
𝑎2(𝑥−1) −𝑏2𝑦= 𝑐2可化为{𝑎1𝑚+ 𝑏1𝑛= 𝑐1
𝑎2𝑚+ 𝑏2𝑛= 𝑐2，
∵已知方程组{𝑎1𝑥+ 𝑏1𝑦= 𝑐1
𝑎2𝑥+ 𝑏2𝑦= 𝑐2的解是{𝑥= 3
𝑦= 2，
∴{𝑚= 3
𝑛= 2代入换元关系式得{𝑥−1 = 3
−𝑦= 2 ，
解得{ 𝑥= 4
𝑦= −2．
7．（2025·四川自贡·模拟预测）已知关于
的二元一次方程组
的解为
，那么关于
的二元一次方程组
的解为__________ ．
【答案】
【难度】0.7
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】设
，
，对比两个方程组的结构，利用换元法得到关于
的方程组，求解即
可．
【详解】解：设
，
，
则方程组
可化为方程组
，
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∵关于
的二元一次方程组
的解为
，
∴关于
的二元一次方程组
的解为
，
∴关于
的二元一次方程组
的解满足
，
得
，解得
，
把
代入①得
，解得
，
∴方程组
的解为
，
∴关于
的二元一次方程组
的解为
．
8．（25-26 七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）若方程组
的解是
，则方程组
的解为___________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【详解】解：∵
，
∴
．
∵方程组
的解是
，
∴
，
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解得
．
9．（24-25 七年级下·河南濮阳·期末）阅读下面的材料解决问题．
解方程组
．
解：由①得
，将③代入②得
，解得
；把
代入①解得
，所以该方
程组的解为
，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组
．
【答案】
【难度】0.74
【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】根据题意，用整体代入法即可解答．
【详解】解：由①得
，
所以
，
将③代入②得
，
解得
；
把
代入①，解得
，
所以该方程组的解为
．
10．（25-26 七年级下·广西钦州·阶段检测）阅读材料，回答问题．
解方程组
时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容
易出错，如果把方程组中的
和
分别看作一个整体，设
，
，原方程组
可化为
，解得
，即
，所以原方程组的解为
，这种解方程组的方法
叫做整体换元法．
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(1)已知关于
，
的二元一次方程组
的解为
，那么关于
，
的二元一次方程组
的解为__________；
(2)用材料中的方法解二元一次方程组
；
(3)关于
，
的二元一次方程组
的解为
，求关于
，
的方程组
的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.48
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】（1）（2）利用整体换元法求解即可；
（3）原方程组可化为
，再利用整体换元法求解即可．
【详解】（1）解：设
，
，
则原方程组可化为
，
与关于
，
的二元一次方程组
系数一致，
∴
，
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∴
，解得
．
（2）解：设
，
，
则原方程组可化为
，解得
．
∴
，解得
．
（3）解：原方程组可化为
，
设
，
，
则原方程组可化为
，
与关于
，
的二元一次方程组
的系数一致，
∴
．
∴
，解得
．
模块二、解二元一次方程组的应用
重难点一、二元一次方程组的错解复原问题
错解复原抓住关键：看错系数的解，依旧满足没有看错的方程。把错误解代
入系数无误的方程，建立新方程组求出参数。不要直接使用错解带入出错方程。算出参数
后还原完整方程组，正常求解得到正确答案，这是初中高频易考题型。
1．（24-25 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）甲、乙两人同求方程
的整数解，甲正确的求
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出一个解为
，乙把
看成
，求得一个解为
，则
、
的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】二元一次方程的解、二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；
由题意易得
，然后进行求解即可．
【详解】解：把甲的解
代入方程
可得：
，
把乙的解
代入方程
可得：
，
联立可得：
，
解得：
；
故选C．
2．（24-25 七年级下·河北石家庄·阶段检测）李明、王超两位同学同时解方程组
，李明
解对了，得：
，王超抄错了
，得：
，则原方程组中
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得
和
都是方程
的解，
据此可得
，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组
，李明解对了，得：
，王超抄错
了
，得：
，
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∴
，
解得
，
故选：B．
3．（25-26 七年级下·河南鹤壁·阶段检测）甲、乙两名同学在解方程组
时，甲解题时看错
了m，解得
，乙解题时看错了n，解得
，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确
解．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题
【分析】先根据甲的解求出
的值，根据乙的解求出
的值，再利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：由题意得：
是方程
的解，
是方程
的解，
∴
，
，
解得
，
，
∴原方程组为
，
①
②得：
，
解得
，
将
代入①得：
，
解得
，
∴原方程组的解为
．
4．（25-26 七年级上·全国·课后作业）用消元法解方程组
时，两位同学的解法如下：
解法一：由①-②，得
……
解法二：由②，得
．③
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把①代入③，得
……
(1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正．
(2)请选择一种你喜欢的解法解方程组．
【答案】(1)解：解法一计算有误，应改正为由①-②，得
．
(2)
（任选一种解法解方程组即可）解法一：由①-②，得
，解得
．
把
代入①，得
，解得
．
故原方程组的解是
解法二：由②，得
．③
把①代入③，得
，解得
．
把
代入①，得
，解得
．
故原方程组的解是
【难度】0.85
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】（1）解法一是错误的；
（2）利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答．
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（24-25 七年级下·湖南衡阳·阶段检测）小明和小文解一个关于x，y 的二元一次方程组
小明正确解得
，小文因看错了c，解得
．已知小文除看错了c 外没有出现其
他错误，求
的值．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成
立的未知数的值．
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把
代入方程组第一个方程求出c 的值，将x 与y 的两对值代入第二个方程求出
的值，即可求
出
的值．
【详解】解：把
代入
，
得
，
解得
．
把
代入
，
得
，
即
，
所以
．
6．（24-25 七年级下·河南南阳·阶段检测）甲、乙两人同时解方程组
甲看错了b，求得的
解为
乙看错了a，求得的解为
你能求出原题中正确的a，b 吗？
【答案】能，
，
．
【难度】0.85
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出
，把乙求得的解
代入②，求出
，即可得到答案．
【详解】解：能．
甲看错了b，把甲求得的解
代入①，得
，
得
，
乙看错了a，把乙求得的解
代入②，得
，
得
，
即
，
．
7．（25-26 七年级下·湖北荆州·期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成
相应的任务：
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解方程组：
解：
，得
③第一步；
，得
．第二步
将
代入①，得
．第三步
所以，原方程组的解为
．第四步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______；
(2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________；
(3)求出该方程组的正确解．
【答案】(1)加减消元法；等式的基本性质2
(2)解：二，合并同类项计算错误
(3)
【难度】0.65
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题
【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案；
（2）根据解方程的方法即可得出答案；
（3）根据
，求出
的值再代入①即可得出答案．
【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是
等式的基本性质2；
（2）略
（3）解：
，得
③
，得
整理可得
将
代入①，得
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解得
∴原方程组的解为
8．（25-26 七年级下·甘肃陇南·期末）甲、乙两人共同解方程组
，由于甲看错了方程①
中的
，得到方程组的解为
，乙看错了方程②中的
，得到方程组的解为
，试求
的值．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题考查二元一次方程组错解问题，解此类问题抓住一句话“看错谁，不用谁”，把解代入未
看错方程来组建新的关于
，
的方程解题．
【详解】解：
甲看错了方程①中的
，得到方程组的解为
，
，
解得：
，
同理乙看错了方程②中的
，得到方程组的解为
，
可得：
，
解得：
，
．
9．（25-26 七年级下·江西赣州·期末）小马、小虎两人同时解方程组
,小马由于看错了
方程①中的
，得到方程组的解为
，小虎看错了方程②中的
，得到方程组的解为
．
(1)求
的值；
(2)求出原方程组的正确解．
【答案】(1)
，
(2)
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【难度】0.62
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题
【分析】
利用看错系数的解仍满足未看错的方程，代入计算即可求出
和
的值；
把
的值代入原方程组，再利用加减法解答即可．
【详解】（1）解： 小马看错方程①中的
，得到的解
满足方程②，
将
代入②，得
，
解得
，
小虎看错方程②中的
，得到的解
满足方程①，
将
代入①，得
，
解得
；
（2）解：将
，
代入原方程组，得
，
①
②，得
，
∴
，
把
代入①，得
，
解得
，
∴原方程组的正确解为
．
10．（25-26 六年级下·上海闵行·期末）在解方程组
时，由于粗心，小马看错了方程
①中的系数
，得出解为
；小虎看错了方程②中的系数
而得解为
．请你根据上述条
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件，求出原方程组的解．
【答案】
【难度】0.45
【知识点】代入消元法、二元一次方程组的错解复原问题
【分析】根据题意，将方程组的解代入正确的方程中解得
，
，然后代入原方程求解即可．
【详解】解：小马看错①中
，解满足②：
，
解得
小虎看错②中
，解满足①：
，
解得
，
原方程组为
，
由
代入
，
解得：
．
11．（25-26 七年级下·全国·期末）已知
是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与
方程组
的解相同；因为看错了第二个方程中的
的系数
，求出的解是
，请你根据以
上信息，把方程组复原出来．
【答案】
【难度】0.45
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题
【分析】求出
的解，然后代入
中求得
的值；设方程
中
的系数为
，
的系数为
，把原方程组的正确解与错误解代入第一个方程中求解即可求解．
【详解】解：解方程组
，得
，
把
代入
，得
，
，
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设方程组
中含有▲的方程中
的系数为
，
的系数为
，
把
和
代入含有▲的方程得
，
解得
，
原方程组为
．
重难点二、构造二元一次方程组求解
题目缺少方程组时，挖掘题干隐藏条件构造等式。常结合绝对值、平方、算
术平方根非负性，令多个非负数分别等于 0 列出方程；或是利用同类项定义、坐标特征
建立关系式。联立得到二元一次方程组，再用消元法计算目标未知数。
1．（25-26 七年级下·河南洛阳·期中）在等式
中，当
时，
；当
时，
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.95
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】根据“当
时，
；当
时，
”列方程组求解即可．
【详解】解：∵当
时，
；当
时，
，
∴
，
解得：
．
2．（2025 八年级上·全国·专题练习）若
，则
的值是（ ）
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A．4
B．2
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、构造二元一次方程组求解
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那
么这几个非负数的值都为0 得到
，解方程组求出a、b 的值，最后代值计算即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
解得
，
∴
．
故选：D．
3．（25-26 七年级下·北京·期末）如下表是当
取不同值时对应的整式
的值．小明不小心打翻
了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则
的值分别为（ ）
x
1
2
ax+3b
3
1
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】根据表格中给出的完整数据，选取两组x 和对应整式的值列出方程组，求解即可得到a 和b 的
值．
【详解】解：由表格可知，当
时，
，
当
时，
，
，
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得
，
将
代入
，
得
，解得
，
即
．
4．（25-26 七年级下·云南昆明·阶段检测）若
，则
的值为_________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、构造二元一次方程组求解
【分析】根据几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出
和
的值，再计算
即可．
【详解】解：∵
，
又
∴{4𝑎+ 𝑏= 0
𝑏−4 = 0
由
，解得
将
代入
，得
，
解得
．
5．（25-26 七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）对于x，y 定义一种新运算
（a，b 是
非零常数）．例如
．若
，
，则
______．
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】根据新定义建立二元一次方程组求解．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
解得
．
∴
．
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6．（25-26 七年级下·河南鹤壁·阶段检测）若单项式
与
是同类项，则
_____．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、构造二元一次方程组求解
【分析】根据同类项中的字母相同，相同字母的指数也相同，列出方程组进行求解即可.
【详解】解：由题意，得
，解得
，
∴
.
重难点三、已知二元一次方程组的解的情况求参数
二元一次方程组解分三种：唯一解、无数解、无解。化成统一标准形式，对
比未知数系数与常数项比值。比值全部相等则无数解；未知数系数比相等，常数项比值不
等则无解；系数比值不等存在唯一解。严格区分比例关系，防止混淆结论。
1．（25-26 七年级下·山东临沂·期末）关于
，
的方程组
的解满足
，则
的值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】将方程组中的两个方程相减整理得到
，然后根据题意得到
，然后求解即
可．
【详解】解：
得，
，
∴
，
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∵关于
，
的方程组
的解满足
，
∴
，
∴
．
2．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）若方程组
的解满足
，则k 的值为
（ ）
A．2025
B．2026
C．2027
D．2028
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】把两个方程相加得到
与
的关系式，再结合已知条件求解
的值．
【详解】解：
得
，
两边同除以得
，
，
，
．
3．（25-26 七年级下·四川南充·期末）若关于x，y 的二元一次方程组
的解为
，则
的值是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．-2
【答案】B
【难度】0.9
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】利用二元一次方程组的解的定义，将解代入原方程，依次求出
和
的值，再计算
即可.
【详解】解：∵ 二元一次方程组
的解是
，
∴ 将
，
代入方程
得：
，
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解得
，
再将
，
代入方程
得：
，
解得
，
∴
.
4．（25-26 七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）若方程组
的解
满足
，则k
的值是（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】C
【难度】0.84
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】将方程组两个方程相加，整理得到含
的
表达式，结合已知
列方程，即可求解
．
【详解】解：
将两个方程相加，得
整理得
解得
．
5．（25-26 七年级下·山西吕梁·期末）若关于
，
的二元一次方程组
的解满足
，则
的值为_________．
【答案】14
【难度】0.85
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】将
与
组成一个新的二元一次方程组，解这个方程组，得到
和
的值，代入
中，即可求出
的值．
【详解】解：将
与
组成一个新的二元一次方程组，
得到
解得
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将
，
代入
中，
可得
．
6．（22-23 七年级下·山东淄博·阶段检测）已知关于x、y 的方程组
的解满足
，则
______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】将两个方程相加得到
，然后根据
得到
，然后求解即可．
【详解】解：
得，
∴
∵
∴
∴
．
7．（25-26 七年级下·贵州安顺·期末）若关于
，
的二元一次方程组
的解也是二元一次方
程
的解，则
________．
【答案】
【难度】0.7
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】先求解关于
，
的二元一次方程组，得到用
表示的
和
，再代入
即可求出
的
值．
【详解】解：
，
两式相加得
，
解得：
，
将
代入
，得
，
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即方程组的解为
，将其代入
，
得
，化简得
，
解得：
．
8．（25-26 七年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点
和点
，若满足：
，则称点
的“美好点”为点
．例如，点
的“美好点”是点
．
(1)①点
的“美好点”的坐标是______．
②若点
的“美好点”的坐标为
，求点
的坐标．
(2)若点
的“美好点”
在
轴上，求
的值．
【答案】(1)①
；②点
的坐标是
(2)
【难度】0.62
【知识点】构造二元一次方程组求解、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】（1）①根据定义进行解答即可；
②设点P 的坐标是
，由点P 的“美好点”为
，根据定义构造方程组求解即可；
（2）设点P 的“美好点”为
，根据定义和点
的“美好点”位于x 轴上构造方程组求解
即可．
【详解】（1）解：①由点P 点坐标为
，
∴
，
则点
的“美好点”的坐标是
，
②设点
的坐标是
，
根据"美好点"的定义可得
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解得
，
∴点
的坐标是
．
（2）解：设点
的坐标为
，
根据"美好点"的定义可得
，
即
，
又∵点
在
轴上，
∴
，
∴
．
9．（25-26 七年级下·福建福州·期中）已知二元一次方程组
的解满足
，求
的值．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】根据题意得到
，然后求解即可．
【详解】解：∵二元一次方程组
的解满足
，
∴
解得
．
10．（25-26 七年级下·吉林松原·期末）已知关于x，y 的方程组
，当x 与y 互为相反数
时，求a 的值及方程组的解．
【答案】
，
【难度】0.65
【知识点】相反数的定义、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】先根据
，得出
，根据x、y 的值互为相反数，即可求出a 的值，再将a 的值代
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入方程组，利用加减消元法求出方程组的解．
【详解】解：
，
得：
，
，
的值互为相反数，
，
，
，
，
得：
，
解得：
，
将
代入④得：
，
解得：
，
方程组的解为
．
重难点四、二元一次方程组相同解问题
两个方程组有相同解，意味着这组解同时满足四个方程。优先选取不含参数
的两个方程联立，先求出公共解；再把公共解代入含有参数的方程，联立算出参数数值。
切忌直接联立带参数方程，理清解题顺序能够大幅简化计算。
1．（25-26 七年级下·北京通州·期中）如果关于
，
的方程组
与
有相同的
解，那么
的值是（ ）
A．
B．
C．3
D．
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【答案】B
【难度】0.85
【知识点】方程组相同解问题
【分析】两个方程组有相同的解 说明公共解满足所有方程，先确定公共解为
，再代入含
的方程，整理即可求出
的值．
【详解】解：∵两个方程组有相同的解，
∴两个方程组的公共解为
，
将
代入
和
，得
，
将两个方程左右两边分别相加，得
，
两边同除以4，得
．
2．（25-26 七年级下·山东泰安·期中）若关于
的二元一次方程组
和
有相
同的解，则
的值为_____．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】方程组相同解问题、加减消元法
【分析】将方程组中不含
的两个方程联立，求得
的值，代入含有
的两个方程中联立求得
的
值，再代入代数式中求解即可．
【详解】解：根据题意
，
解得
，
，
将
代入
得，
，
解得
，
，
∴
．
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3．（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于
的方程组
和
有相同的
解，那么
值是___________．
【答案】6
【难度】0.85
【知识点】方程组相同解问题
【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到
，
．先根据关于
，
的方程组
和
有相同的解，列出方程组
求出x、y 的值，再代入
计算求出a、b 的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵关于
，
的方程组
和
有相同的解，
∴
，
，
解
得
，
将
代入
得：
，
解得
，
∴
故答案为：6．
4．（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于
，
的方程组
与方程组
同
解，则
________，
________．
【答案】 1 8
【难度】0.85
【知识点】方程组相同解问题
【分析】本题考查两个方程组同解求参数，先联立不含参数的方程
和
解出x 和y，
再代入含参数的方程求a 和b．
【详解】解：联立方程
，
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解得
，
把
代入
，得
，
解得
故答案为 1，8．
5．（25-26 七年级下·浙江·期中）已知关于
的方程组
和
有相同的解．
(1)求出它们的相同解．
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】方程组相同解问题、加减消元法
【分析】（1）根据方程组有相同的解得到
，再利用加减消元法运算即可；
（2）把
代入
，得
，再运算求解即可．
【详解】（1）解：∵方程组
和
有相同的解，
∴
①
②得
，
解得
，
将
代入①得
，
∴方程组的解为
；
（2）解：把
，代入
，得
，
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解得
，
∴
．
64．（25-26 七年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知关于
的方程组
和
的解
相同，求
的值．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】方程组相同解问题、已知二元一次方程组的解求参数
【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组
和
的解相同，
得出这两个方程组的解也是方程组
的解，然后解方程组，得出
，将
代入原方程组
得出
，求出a、b 的值，最后代入求值即可．
【详解】解：因为方程组
和
的解相同，
所以这两个方程组的解也是方程组
的解．
解
得
，
将
代入方程组
得
，
解得
，
所以
．
7．（21-22 七年级下·吉林长春·阶段检测）已知方程组
的解和方程组
的解相
同，求
的值．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】方程组相同解问题、已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法
【分析】联立两方程组中不含a 与b 的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x 与y 的值，代入剩
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下的方程构成方程组求出
的值，即可求出原式的值．
【详解】解：联立得：
，
得：
，
解得：
，
把
代入①得：
，
解得：
，
∴
，
把
代入
，得
，
把
代入
，得
，
联立
，
得：
，
∴
．
8．（25-26 七年级下·浙江宁波·期中）已知关于
，
的方程组
和
有相同的
解．
(1)求出它们的相同解．
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】方程组相同解问题、二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】熟练掌握二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
（1）根据题意组成新的方程组
，求解即可；
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（2）把（1）中
、
的值代入另两个方程得到关于
、
的方程组，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意联立得
，
解得
，
即两个方程组相同的解是
；
（2）把
代入方程
和
中，
得
，
解得
，
∴
．
9．（25-26 八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：
，若设
，
，则原方程组可化为
，解方程组得
，所以
，解方
程组得
，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元
法．
(1)直接填空：已知关于
，
的二元一次方程组
的解为
那么关于
、
的二元一次
方程组
的解为：____________；
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组
(3)拓展应用：已知关于
，
的二元一次方程组
的解为
，求关于
，
的二元一次
方程组
的解．
【答案】(1)
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(2)
(3)
【难度】0.4
【知识点】方程组相同解问题、二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本
题的关键．
（1）设
，
，即可得
，解方程组即可求解；
（2）设
，
，则原方程组可化为
，解方程组即可求解；
（3）设
，
，则所求方程组可化为
，根据
的解为
，可
得
，即有
，则问题得解．
【详解】（1）解：设
，
，则原方程组可化为
，
的解为
，
，
解得
，
故答案为：
；
（2）解：设
，
，则原方程组可化为
，
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解得
，
即有
，
解得
，
故方程组的解为
；
（3）解：设
，
，则
可化简得
，
关于
，
的二元一次方程组
的解为
，
的解
，即有
，
解得：
．
故方程组的解为：
．
