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第二章 一元二次方程
2.6 应用一元二次方程（一）
一、选择题（每题4 分，共24 分）
1.大成游乐园规定：如果一个人参加游戏，则给这个人一个奖品；如果两个人
参加游戏，则给每人两个奖品；如果三个参加游戏，则给每个人三个奖品；……如
果设x 个人参加游戏，给出奖品一共有36 个，则参加游戏的人数为【 】
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图1 所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m2的矩
形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76 米的栅栏围成，若设栅栏AB 的
长为xm，则下列各方程中，符合题意的是【 】
A．
x（76－x）＝672； B．
x（76－2x）＝672；
C．x（76－2x）＝672； D． x（76－x）＝672．
3．裕丰商店一月份的利润为50 万元，二、三月份的利润平均增长率为m，下
列各式中，正确表示这个商店第一季度的总利润的是【 】
A．50[m2＋3m＋3] 万元； B．50＋50（1＋m）2万元；
C．50＋50（1＋2m）万元； D．50＋50（1＋m）＋50（1＋m）2万元．
4．两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是【 】
A．－19 B．5 C．17 D．51
5．小明用一根长为30 厘米的铁丝围成一个直角三角形，使斜边长为13 厘米，
则该三角形的面积等于【 】.
A．15 厘米2 B．30 厘米2 C．45 厘米2 D．60 厘米2
6．如图2，在△ABC 中，∠ABC＝90°，
AB＝8cm，BC＝6cm．动点P、Q 分别
从点A、B 同时开始移动，点P 的速度
为1 cm／秒，点Q 的速度为2 cm／秒，
点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动。
下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm2 的是【 】
A．2 秒钟 B．3 秒钟 C． 4 秒钟 D． 5 秒钟
二、填空题（每题4 分，共24 分）
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A
B
C
D
图1
B
A
C
P
Q
图2
7．如图3 所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形
休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方
形空地边长的一半，草坪的面积为147m2，则休闲广场的边
长是 m。
8．在一幢高125m 的大楼上掉下一个苹果，苹果离
地面的高度h（m） 与时间t（s）大致有如下关系：
h＝125－5t2．
秒钟后苹果落到地面。
9．一个数的平方等于它本身，你认为这个数是 。
10．2007 年中国足球超联赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己
的主场和客场踢一场，已知全年共举行比赛210 场，则参加比赛的队伍共有
支。
11．中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的
民歌还包含着一个数学问题
牧童王小良，放牧一群羊。问他羊几只，请你仔细想。头数加只数，只数减头数。
只数乘头数，只数除头数。四数连加起，正好一百数。
如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是 。
12．在实数范围内定义一种运算“ ”，其规则为
，根据这个规则，
方程
的解为
．
三、解答题
13．放铅笔的V 形槽如图4，每往上一层可以多放一支
铅笔，现有190 支铅笔，则要放多少层 ？
14．2003~2005 年陕西省财政收入情况如图5 所示．根据图中的信息，解答下
列问题：
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图3
图4
（1）陕西省这三年财政收入共为多少亿元？
（2）陕西省2003~2005 年财政收入的年平均增长率约为多少？（精确到1%）
（备用数据
，
精确到1%）
15．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100 箱，每箱利润120 元。为了扩大销
售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价1 元，每天可多售出2 箱。
如果要使每天销售饮料获利14000 元，每箱应降价多少元？
16．如图6，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q 分别
从点A 、C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，点Q 以2 cm/s 的速度向
点D 移动．当点P 运动到点B 停止时，点Q 也随之停止运动。问几秒后，点P 和点
Q 的距离是10 cm？
17．图7 是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．
图7 中阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分
是用做散步的道路．东西方向的一条主干道较宽，其
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528
415
326
0
2003 2004 2005
年份／年
陕西省财政收入／亿元
图5
A
B
C
D
P
Q
图6
E
北
西
东
图7
余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的2 倍．这块休闲场所南北
长18m，东西宽16m．已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为168m2，
请问主干道的宽度为多少米？
18．一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的对话，请你阅读完后再解答下
列问题。
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：
小明：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？
老师：这样，原方程可整理为
，次数变成了4次，用现有的
知识无法解答。同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
小亮：老师，我发现方程中
是整体出现的，最好不要去括号！
老师：很好，如果我们把
看成一个整体，用y来表示，即
=y，那么原方程
就变成
。
全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗？
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程
的根是
，
小丽：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根
，
，
，
，嗬，
有这么根啊！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法。在这里，使用它的最大妙处在于
降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法。
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程
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19．如图8，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形
并解答有关问题：
⑴ 在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一坚列共有
块瓷砖（均用含n 的代数式表示）；
⑵ 设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y 与（1）中的n 的函数关系式
（不要求写自变量n 的取值范围）；
⑶ 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506 块瓷砖，求此时n 的
值；
⑷ 若黑瓷砖每块4 元，白瓷砖每块3 元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷
砖？
⑸ 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？
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图8
答案或提示：
1）B 2）A 3）D 4）C 5）B 6）B 7）7 8）5 9）0 或1
10）15 11）x2+2x+1=100 12)
，
13）解：设190 支铅笔，可放x 层.
n(n-1)=190
解之得，
,
(不符题意，舍去)
答：设190 支铅笔，可放20 层。
14）（1）这三年财政收入为1296 亿元 （2）设陕西省2003~2005 年财政收入的年
平均增长率约x，那么依据题意得
326（1+x）2=528
解之得，
，
（不符题意，舍去）
答：陕西省2003~2005 年财政收入的年平均增长率约27%。
15）解：设要使每天销售饮料获利14000 元，每箱应降价x 元，依据题意得
（120-x）(100+2x)=14000
整理得，
解这个方程，得
答：每箱应降价20 元或50 元，可使每天销售饮料获利14000 元。
16）解：设t 秒后，点P 和点Q 的距离是10 cm，则AP=3t，CQ=2t
过点P 作PE⊥CD 于E
所以四边形APDE 是矩形，所以AD=PE=6cm
EQ=16-2t-3t=16-5t
在直角三角形PQE 中，PQ2=PE2+EQ2
100=62+（16-5t）2
解这个方程，得
，
答：
秒或
秒后，点P和点Q的距离是10 cm
17）解：设主干道的宽度为2xm，则其余道路宽为xm
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依题意得：（16-4x）(18-4x)=168
整理，得
，
当
时，16-4x<0，不符题意，故舍去
x=1 时，2x=2
答：主干道的宽度为2米。
18）解：设
，收原方程可化为
，得
，
当
时，
，得
当
时，
，得
经检验：
，
都是原方程的根。
19）（1）n+3，n+2
(2)y=(n+3)(n+2)，即y=n2+5n+6；
（3）当y=506时，n2+5n+6=506，解之得，n1=20，n2=-25（舍去）；
（4）白瓷砖块数是420块，黑瓷砖块数为86块，共需1604元；
（5）n(n+1)= (n+3)(n+2)- n(n+1),化简为n2-3n-6=0，解得n1=
, n1=
(舍去)，因为n的值不为正整数，所以不存在黑、白瓷砖块数相等的情形。
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