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1
抛物线与直线：图象法解方程、不等式【题集A】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
已知二次函数
的图象
经过
，
两点．
求
对应的函数表达式．
将
先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线
，将
对应的函数表达式记为
，求
对应的函数表达式．
设
，在( )的条件下利用函数图象直接写出
时的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵二次函数
的图象
经过
，
两点，
，
解得
．
∴抛物线
的函数表达式为
．
∵
，
∴抛物线
的顶点为
．
∴平移后抛物线
的顶点为
，它对应的函数表达式为
．
画图函数图象如下：
2
【标注】
由图象易得，当
时，
．
【知识点】图象法解高次不等式
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
已知二次函数
，其中
，
、
是方程
的
两个根，则实数、、
、的大小关系是（ ）．
【答案】B
∵函数
与轴的交点坐标的横坐标为与，二次函数
相当于
向上平移一个单位，又∵二次项系数为
，
开口向下，如图所示：
∴由图可得：
．
故选：．
【能力】运算能力
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
A.
B.
C.
D.
或
3. 抛物线
和直线
相交于两点
，
，则不
等式
的解集是（ ）．
3
【解析】
【标注】
【答案】C
由不等式
得
，
∵两函数图象交点为
，
，
，
∴不等式的解集是
．
【知识点】图象法解高次不等式
（1 ）
（2 ）
4.
【标注】
如图，二次函数
的图象与两坐标轴分别交于点
、点
和点
，一次函数
的图象与抛物线交于
、
两点．
当满足 时，
．
当满足 时，
．
【答案】（1 ）
（2 ）
或
【知识点】图象法解高次不等式
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 一次函数
和
的大致图象如图，请根据图中的信息回答问题．
不等式
的解集是 ．
不等式
的解集是 ．
当
时，
.
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）或
由图象可知，
的解集为
．
的解集是
．
一次函数与二次函数的交点的横坐标为或，当
或时，
．
【知识点】图象法解高次不等式
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
6.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
已知，二次函数的解析式
．
求这个二次函数的顶点坐标．
求这个二次函数图象与轴的交点坐标．
当 时，
随的增大而增大．
如图，若直线
的图象与该二次图象交于
，
两点，结
合图象直接写出当取何值时
？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
顶点坐标为
．
，
．
当
时，
．
∵
，
∴图象的顶点坐标为
．
令
，则
，
解得：
，
，
∴二次函数图象与轴的交点坐标
，
．
．
，结合图象可得到．
5
【标注】
，
．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
A.
B.
或
C.
D.
或
7.
【解析】
【标注】
如图，二次函数
与一次函数
的交点
，
的坐标分别为
，
，当
时，的取值范围是（ ）．
【答案】B
根据函数思想，通过图象求解不等式．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8. 如图，直线
和抛物线
都经过点
、
．
求抛物线与轴的交点坐标．
若
、
为抛物线上两点，当
时，
与
的大小关系是 ．
由图写出不等式
的解集．（直接写出答案）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
或
．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
将
，
代入
，
得：
，
解得
，
所以抛物线的解析式为：
，
令
，得
，
所以抛物线与轴的交点坐标为
．
抛物线对称轴为
，开口向上，
则当
时，随的增大而增大，
所以当
时，
．
求不等式
的解集，即求抛物线
的图象在直线
的图象上方的点的横坐标构成的集合，
∴
或
．
【能力】运算能力
【知识点】一次函数与二次函数的交点
【知识点】二次函数与坐标轴交点
【知识点】二次函数一般式
（1 ）
（2 ）
9. 已知：抛物线
．
求证：抛物线与轴有两个交点．
设抛物线与轴有两个交点的横坐标分别为
，
（其中
），若是关于的函数，且
，求这个函数的表达式．
7
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
在（）条件下，结合函数的图象回答：若使关于的函数
，则自变量的取值
范围为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
∵
，
∴
，
，
，
∵
，
∴抛物线与轴有两个交点．
∵
，
∴
或
，
∵
且
，
∴
，
，
∴
．
如图所示：
∵
，
∴
或
，
8
【标注】
∴直线
与抛物线
的交点坐标为：
、
，
当
时，
，
又∵
，
∴的取值范围为
．
【知识点】一次函数与二次函数的交点
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
填空：
二次函数
的图象与轴的交点坐标为 ．
已知二次函数
的图象与一次函数
的图象交于
、
两点（点
在点
左侧），则
、
的坐标分别为 ．
如图，已知二次函数
与一次函数
的图象相交于
、
两点，则关于的不等式
的解集是 ．
在平面直角坐标系中，二次函数
与一次函数
的图象交
于
、
两点，已知
点的横坐标为，当
时，自变量的取值范围是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
，
，
或
∵
，
∴
时，
，
解得
或
，
∴函数图象与轴的交点坐标是
、
．
联立抛物线与直线，得
，
解得
，
，
即
，
9
（3 ）
（4 ）
【标注】
∵两函数图象相交于
、
两点，
∴不等式
的解集是
或
．
故答案为：
或
．
时，
，
∴两函数图象的交点
为
，
如图，
时，
．
故答案为：
．
【知识点】利用二次函数解不等式问题
11.
【解析】
【标注】
已知函数
与
的图像都经过
．若
，则的
取值范围为 ．
【答案】
或
将
代入
，得
．
将
代入
，得
．
∴
，
∴
或
．
【知识点】利用二次函数解不等式问题
12.
10
【解析】
【标注】
已知二次函数
（
）与一次函数
（
）的图象交于点
，
，如图所示，则能使
成立的的取值范围是 ．
【答案】
或
由图象得：
当
或
时，
．
【知识点】利用二次函数解不等式问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
（7 ）
13.
【标注】
解下列一元二次不等式．
．
．
．
．
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
（7 ）
或
．
．
．
或
．
．
任意实数．
无实数解．
【知识点】利用二次函数解不等式问题
14.
11
A.
B.
或
C.
D.
【解析】
【标注】
二次函数
与一次函数
的图象如图所示，则满足
的的取值范围是（ ）．
【答案】A
由图可知，
时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足
的的取值范围是
．
故选：
．
【知识点】利用二次函数解不等式问题
A.
B.
C.
D.
15.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系中，二次函数
和一次函数
的图象如图所示，那么不等式
的解集是（ ）．
【答案】C
，即二次函数的图象高于一次函数的图象，
由图知，
的部分满足条件．
故选．
【知识点】利用二次函数解不等式问题
12
A.
B.
C.
D.
或
16.
【解析】
【标注】
已知函数
的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得
时，的取值范围是
（ ）．
【答案】C
根据图象知，当
时，
或，
∴当
时，的取值范围是
，
故选：．
【知识点】利用二次函数解不等式问题
17.
【解析】
【标注】
如图，已知二次函数
与一次函数
的图象相交于点
，
，则关于的不等式
的解集是 ．
【答案】
或
先对这个不等式进行变形，然后观察图象．
【知识点】利用二次函数解不等式问题
18. 如图，抛物线
分别交坐标轴于
、
、
，则
的解集是 ．
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【解析】
【标注】
【答案】
或
∵
、
，
∴对称轴为直线
，
∴点
的对称点的坐标为
，
∴
的解集为
或
．
故答案为：
或
．
【知识点】利用二次函数解不等式问题
