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第二章 函数与基本初等函数（单元测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．下列函数中，既是奇函数又在
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，函数
是奇函数，在
上单调递增，A 是；
对于B，函数
是偶函数，不是奇函数，B 不是；
对于C，函数
是偶函数，不是奇函数，C 不是；
对于D，函数
是偶函数，不是奇函数，D 不是.
故选：A
2．设函数
是奇函数.若函数
，则
（ ）
A．28
B．33
C．38
D．43
【答案】A
【解析】由函数
是奇函数可知
，
因此可得
；
又
，因此
；
两式相加可得
；
又
，因此
.
故选：A.
3．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知，
定义域为
，且
，
所以函数
为偶函数，
故
图象关于
轴对称，
又
，排除B，D 选项；
当
时，
，排除C，故A 正确．
故选：A．
4．在跳水运动中，水花半径
（单位：米）与运动员入水速度
、入水时身体倾斜角度
（弧度）、
入水截面积
相关．实验表明，当入水速度
时，水花半径满足公式：
，其
中
为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作
时，入水速度
、入水时身体倾斜角度
、入水截面积
，则入水产生的水花半径是（ ）（注：结果保留3 位小数，其中
）
A．0.026m
B．0.027m
C．0.028m
D．0.029m
【答案】C
【解析】由题意可得：
．
故选：C．
5．若函数
在
上有零点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在
上单调递增，
所以
，即
，
解得
．
故选：D.
6．已知
,
是关于
的一元二次方程
的两个实数根，且
,
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得
，
为函数
的两个零点．
因为
，
，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得：
，即
，所以
．
所以
，解得：
．
故选：C．
7．若函数
有最大值，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，
当
时，
，
若
，
在
上单调递增，此时
没有最大值，
若
，
在
上单调递减，
要想函数有最大值，则
，解得
；
若
，
，函数有最大值1，符合题意；
故实数
的取值范围为
.
故选：A.
8．已知函数
，
，
，若
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】C
【解析】由题意可知：
的定义域为
，
令
，解得
；令
，解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
当
时，
，故
，所以
，
所以
；
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．若
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】因为
，
，
所以
，故A 正确；
由
可得
（
，等号不成立），故B 错误；
由
可得
（
，等号不成立），故C 正确；
因为
，故D 正确.
故选：ACD
10．已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递增
B．
关于直线
对称
C．
的值域为
D．关于
的方程
在区间
上有实根，则所有根之和组成的集合为
【答案】BCD
【解析】对于A：当
时，
，
，
令
，
则有
在
单调递增，
，
所以当
，
单调的递增，当
时，
单调的递递减，
所以
在
上不单调，故A 错误；
对于B：
，所以
关于直
线
对称，故B 正确；
对于C：由A 有：
，
所以
，所以
的值域为
，故C 正确；
对于D： 结合A 的分析可得
在
上先增再减，由B 选项的分析，函数的图象关于
对称，函
数草图如下：
当方程
在区间
有一个实数根时，所有根之和
；
当方程
在区间
有两个实数根时，所有根之和
；
当方程
在区间
有四个实数根时，所有根之和
；
所以所有的根之和组成的集合为
，故D 正确．
故选：BCD.
11．函数
对于任意的
，满足
，且
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
是函数
的一个周期
C．点
是
图象的对称中心
D．
【答案】BCD
【解析】由题知，
对于选项A：令
，得
，所以
，
令
，得
，即
，所以
为偶函数，
所以函数
为奇函数，故选项A 不正确；
对于选项B：令
，
，即
，
，所以
周期为
，故选项B 正确；
对于选项C： 由B 中
，即
，所以
关于
对称，且
，
又
周期为
，所以
，故选项C 正确；
对于选项D：令
，得
，即
，
令
，得
，所以
，
所以
，
故
，故选项D 正确. 故选：BCD..
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．函数
满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出
的
一个表达式 ．
【答案】
（答案不唯一，写出一个即可）
【解析】函数
的对称轴为y 轴，有一个最小值－1，两个零点
，
，符合题意．
故答案为：
（答案不唯一，写出一个即可）
13．若函数
在
上的最大值为2，则实数
．
【答案】2
【解析】令
，则
在
上的最大值
，
最小值
．
当
时，
，解得
．
当
时，
，解得
（舍去）．
综上，
．
故答案为：2
14．已知函数
满足
，且
，则函数
的最大值为
；方程
的实数解的个数为 ．
【答案】 2
【解析】由函数
满足
，则
，所以
的周期为
，
由
，则
，
可得
的图象如图，则函数
的最大值为2，
方程
的解，即为
与
的交点横坐标，
计算可得：
，所以在
有一个交点，
，
，
且当
时
，无交点.
由图可知两图象交点个数为
，即方程
的实数解的个数为
.
故答案为：
；
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
化简：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
【解析】（1）
；
（2）原式
；
（3）
.
16．（15 分）
已知二次函数
的最小值为1，函数
是偶函数，且
．
(1)求
的解析式；
(2)若函数
在区间
上单调，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为函数
是偶函数，所以
的图象关于直线
对称，
又因为
的最小值为1，可设
，
且
，解得
，
所以
．
（2）由（1）可知：
在
内单调递减，在
内单调递增，
因为
在区间
上单调，
则
或
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为
．
17．（15 分）
春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024 年12 月4 日，“春节——中国人庆
祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完
全统计，如今有近20 个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200 个国家和地区，成
为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的
形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，
如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为
了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500 万
元，若该项目在2025 年接待x 万名游客，则需追加管理及维修成本
万元，且
，该游玩项目的每张门票售价为80 元．
(1)求2025 年该项目的利润
（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成
本）；
(2)当2025 年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）当
时，
，
当
时，
，
故
；
（2）当
时，
，故当
万人时，
取得最大值，最大值为
万元，
当
时，
（万元），
当且仅当
，即
时，等号成立，
由于
，故当游客量为60 万人时，该项目年利润最大，最大利润为350 万元.
18．（17 分）
定义在
上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则
称函数
是
上的有界函数，其中
称为函数
在
的上界．
(1)判断函数
在其定义域内是否属于有界函数；
(2)若函数
，且
，则函数
在区间
上是否存在上界
，若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若函数
在
上是以3 为上界的有界函数，求实数
的取值范围．
【解析】（1）令
，则
，
当
时，函数
的最大值为
，
所以
，即
，所以
为有界函数．
（2）
，
，
在
上递增，
，
，
，所以
，
存在上界
的范围是
．
（3）由题意知，
在
上恒成立，
，
，
因此
在
上恒成立，
，
设
，由
知
，
设
，则
，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
在
上的最大值为
在
上的最小值为
，
．
的取值范围
．
19．（17 分）
已知
是定义在区间
上的单调递增函数，对于
有如下甲、乙两个命题：
甲：
是方程
的根；
乙：
是方程
的根.
(1)求证：甲是乙的充分必要条件；
(2)设
，若
，方程
有唯一实数根，求
的值.
【解析】（1）①充分性：若
是方程
的根，则
，
所以
，即
是
的根，充分性成立；
②必要性：若
是方程
的根，则
.
如果
，那么
，由函数
在定义域
内单调递增，得
，矛盾.
如果
，那么
，由函数
在定义域
内单调递增，得
，矛盾.
所以
是方程
的根，
综上，甲是乙的充分必要条件.
（2）因为
，所以
，
函数
在
上单调递增，
由（1）知“
是方程
的根”与“
是
的根”等价，
故只需求：当
时有唯一的
，满足
的
值.
令
，则
.
因为
为
上的单调递减函数，又
，当
趋向于无穷大时，
趋近于
，
故存在唯一的
使
，并得
.
此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
.
要方程
在
内有唯一实数根，即要
，解得
.
所以，
.
