文档文本内容
专题17 直线与圆锥曲线的位置关系
题型一：根据直线与圆锥曲线位置关系求参数
题型二：圆锥曲线的切线方程
题型三：圆锥曲线的弦长问题
题型四：圆锥曲线的中点弦问题
题型五：根据圆锥曲线的弦长求参数
题型六：直线与圆锥曲线中的面积（定值）问题
题型七：直线与圆锥曲线中的面积（最值、范围）问题
题型八：圆锥曲线中的定点问题
题型九：圆锥曲线中的定值问题
题型十：圆锥曲线中的定直线问题
题型十一：圆锥曲线中的向量问
题型一：根据直线与圆锥曲线位置关系求参数
1．已知直线
与曲线
有两个公共点，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．直线
与双曲线
的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．1 或2
3．“
”是“直线
与抛物线
只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
4．若直线
与椭圆
没有公共点，则
的取值范围为 ．
5．若对任意实数
，直线
与焦点在
轴上的椭圆
至少有一个交点，则
实数
的取值范围是 .
6．直线过点
与双曲线
有且只有一个交点，则这样的直线有 条．
7．若直线
与双曲线
的右支只有一个公共点，则
的一个取值为 .
题型二：圆锥曲线的切线方程
8．已知点
是椭圆
上任意一点，则点
到直线:
的最大距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．经过点
且与椭圆
相切的直线方程是 ( )
A．
B．
C．
D．
10．在平面直角坐标系中，动点
在椭圆
上运动，则点
到直线
的距离的最大值
为 ．
11．若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线
均相切，则直线的一个方程可以是
12．求经过点
的双曲线：
的切线的方程．
13．设双曲线
：
上点
．求双曲线
在点
处的切线的方程．
题型三：圆锥曲线的弦长问题
14．已知椭圆
（
）的离心率为
，短轴长为2．
(1)求C 的方程；
(2)过左焦点
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，O 为坐标原点，若
的面积为
，求
．
15．已知椭圆
的离心率为
，焦距为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)直线的斜率为
，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于
两点，求线段
的长度的
取值范围.
16．在平面直角坐标系中，
为坐标原点，F，T 分别是椭圆
：
的左焦点，右顶点，过
F 的直线交椭圆C 于A，B 两点，当
轴时，
的面积为
.
(1)求
；
(2)若斜率为
的直线交椭圆C 于G，H 两点，N 为以线段
为直径的圆上一点，求
的最大值.
17．已知中心在原点的双曲线
的两焦点之间的距离为
，离心率为
，直线经过双曲线
在
轴上的右
焦点，且与双曲线
相交于
两点．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若直线与该双曲线的渐近线垂直，求线段
的长度．
18．已知双曲线
的离心率为
，且过点
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线
右焦点的直线与双曲线
相交于
两点，若线段
的长为8，求直线的方程.
19．已知双曲线
与圆
相切，且
的渐近线方程为
.
(1)求
的方程；
(2)若
的右顶点为
，过
的右焦点的直线交
于
两点，且
，求
.
20．已知抛物线
的焦点
为椭圆
的右焦点，且
的左、右顶点分别为
，
．
(1)求
的方程；
(2)求以
为直径的圆的标准方程；
(3)设过点
且倾斜角为
的直线与
交于
，
两点，求
．
题型四：圆锥曲线的中点弦问题
21．若斜率为1 的直线与椭圆
交于
两点，则弦
的中点坐标可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．直线
被抛物线
截得的线段
的中点坐标是（ ）．
A．
B．
C．
D．
23．已知抛物线
，过点
的直线l 与C 相交于A，B 两点，且M 为弦
的中点，则直线l
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知
是抛物线
上的两点，且线段
的中点为
，则直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．双曲线
的动弦
所在直线的斜率为
，则
中点
的轨迹方程是 ．
26．已知A，B 为双曲线
上的两点，且A，B 关于直线
对称，则线段AB 中点的
坐标为 ．
27．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小2，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
交于
，
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
28．已知椭圆C 与双曲线
有相同的焦点，且椭圆C 经过点
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l 与椭圆C 相交于
，且
的中点为
，求直线l 的方程.
29．已知双曲线
．若直线l 与双曲线C 相交于A，B 两点，线段AB 的中点坐标为
，求直
线l 的方程．
题型五：根据圆锥曲线的弦长求参数
30．已知直线
与抛物线
交于
两点，且
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
31．过点
且斜率为1 的直线交抛物线
于
两点，若
，则
的值为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．7
32．已知抛物线
的焦点为
，过点
且斜率大于0 的直线交
于
两点，若
，则
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
33．已知
为椭圆
：
上一点，且点
到两焦点距离之和为
，且椭圆离心率为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
被椭圆
截得的线段长为
，求
的值.
34．已知斜率为
的直线过点
，且与椭圆
相交于不同的两点
，
，
(1)若
，
中点的纵坐标为
，求直线的方程；
(2)若弦长
，求
的值.
35．已知椭圆
的离心率
，一个焦点为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若斜率为1 的直线交椭圆
于
，
两点，且
，求直线的方程.
36．已知双曲线
的实轴长为2，右焦点F 到渐近线的距离为
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线
被双曲线C 截得的弦长为
，求实数m 的值.
37．在平面直角坐标系
中，已知点
，动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)若直线
交
于
两点，且
，求直线的方程．
题型六：直线与圆锥曲线中的面积（定值）问题
38．如图所示，椭圆
的左、右焦点分别为
，一条直线经过
与椭圆交于A，B 两点.
(1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率；
(2)若直线的倾斜角为
，求
的面积.
39．已知椭圆
经过点
(1)求
的方程和离心率；
(2)若过点
且斜率为1 的直线与
的另一个交点为
，求
的面积．
40．已知双曲线的中心为坐标原点
，点
在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点
的直线与双曲线交于
，
两点，
的面积为
，求直线的方程.
41．已知点
到点
和
的距离之差的绝对值等于
为坐标原点，
(1)求点
的轨迹及轨迹方程；
(2)若过点
的直线 与点
的轨迹交于
两点，
的面积为
，求直线 的
方程.
42．两条动直线
和
分别与抛物线
相交于不同于原点的
，
两点，当
的垂心恰是
的焦点时，
．
(1)求
；
(2)若
，弦
中点为
，点
关于直线
的对称点
在抛物线
上．
①证明动弦
恒过定点
②求
的面积．
43．已知抛物线
，点
为抛物线
的焦点.
(1)若点
在抛物线
上，求
；
(2)过点
的直线与抛物线
相交于
、
两点，
为坐标原点，若
的面积为
，求直线的
方程.
题型七：直线与圆锥曲线中的面积（最值、范围）问题
44．已知椭圆
的长轴为
，椭圆的离心率
，左右焦点分别记作
、
，
且
，过
、
分别作直线、
交椭圆于
、
（
在
轴上方），且
；
(1)求此椭圆方程．
(2)当直线的斜率
与直线
的斜率
都存在时，求证：
为定值．
(3)求四边形
面积的最大值．
45．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
在
上，且满足
．
(1)求
的方程；
(2)设直线与
交于
两点，若线段
中点
的纵坐标为1，求
面积的最大值．
46．已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若斜率为
的直线与椭圆
交于
两点，且点
在第一象限，点
分别为椭圆
的右顶点和上
顶点，求四边形
面积的最大值.
47．在平面直角坐标系中，已知动点
满足：
．
(1)求动点E 的轨迹方程
；
(2)过
作直线交曲线
的y 轴左侧部分于A，B 两点，过
作直线交曲线
的y 轴右侧部分于
C，D 两点，且
，依次连接A，B，C，D 四点得四边形ABCD，求四边形ABCD 的面积的取值范
围．
48．已知双曲线
的渐近线上一点到左焦点
的最短距离为
．
(1)求双曲线的方程；
(2)O 为坐标原点，直线
与双曲线的左支交于A、B 两点，与渐近线交于C、D 两点，A 与C 在x 轴
的上方，B 与D 在x 轴的下方．
①求实数t 的取值范围．
②设
、
分别为
的面积和
的面积，求
的取值范围．
49．已知
是抛物线
上的点，
到抛物线
的焦点的距离为
．
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
，
两点，且
（点
为坐标原点），求
面积的最小
值．
题型八：圆锥曲线中的定点问题
50．如图，已知椭圆
，不经过右焦点
的直线
交椭圆于
，
两点．若
轴上任意一点到直线
，
的距离相等，求证：直线过定点．
51．已知椭圆
经过点
，且椭圆的离心率
．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点
作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点
及
，设线段
的中点分别为
．求证：直线
恒过一个定点．
52．已知
为双曲线
的右焦点，其渐近线被抛物线
截得的弦长为2，且点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)若过点
的直线与
交于
两点，则
轴上是否存在一点
，使得
为定值？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
53．已知双曲线
的离心率为
，
分别为其左、右顶点，点
在
上.
为直线
上的动点，
与双曲线
的另一交点为
，
与双曲线
的另一交点为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)证明：直线
过定点.
54．已知P 是抛物线C：
(
)上任意一点，且点P 到C 的焦点F 的最短距离为
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设M 是直线
上除与x 轴交点外的一动点，直线l 与抛物线C 相交于A，B 两点，且直线AM 与直线
BM 的斜率之和等于点M 纵坐标的相反数，证明：直线l 过定点．
题型九：圆锥曲线中的定值问题
55．已知椭圆
的离心率为
，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为
、
，过右焦点
的直线l 交椭圆于点M、N，且
的周长为
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)（i）求
的最小值；
（ii）记直线AM、BN 的斜率分别为
、
，证明：
为定值.
56．已知椭圆
：
（
）的长轴长为4，焦距为
.
(1)求
的方程.
(2)若
，
分别为
的左、右顶点，过点
的直线与
交于与
，
不重合的
，
两点.
①求四边形
面积的最大值.
②设直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，判断
是否为定值.若是，求出该定值，若不
是，请说明理由.
57．已知抛物线E：
的焦点为F，过F 作倾斜角为
的动直线l 交E 于A，B 两点．当
时，
．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)证明：无论
如何变化，
是定值（O 为坐标原点），并求出该定值．
58．已知抛物线
，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A，B 两点，线段AB 的中点为M．
(1)当直线l 的倾斜角为
时，
，求抛物线G 的方程：
(2)对于（1）问中的抛物线G，若点
，求证：
为定值，并求出该定值．
59．已知双曲线
的离心率为
，点
在双曲线
上．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)直线
与双曲线
交于点
，其中点
在第二象限．
①求
；
②已知双曲线
的左、右顶点分别为
，设直线
的斜率分别为
，求
的值．
题型十：圆锥曲线中的定直线问题
60．已知双曲线
的中心为坐标原点，上焦点为
，离心率为
.记
的上、下顶点分别为
，
，过点
的直线与
的上支交于M，N 两点.
(1)求
的方程；
(2)直线
和
的斜率分别记为
和
，求
的最小值；
(3)直线
与
交于点P，证明：点P 在定直线上.
61．已知
，
分别是双曲线
：
的上顶点，下焦点．
(1)求
的标准方程；
(2)过
的直线与
的上、下支分别交于
两点（
异于
），直线
平分线段
与
的下支交于点
，证明：直线
与直线
的交点在定直线上．
62．如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，
，过点
作不与
轴重合的直线，与
椭圆交于点
，
，直线
与直线
交于点
，试讨论点
是否在某条定直线上．若是，求出该直线
的方程；若不是，请说明理由．
63．已知点
是圆O：
上的动点，点
在
轴上的射影为
，点
满足
，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)设
分别是
与
轴的交点，（
点在
轴正半轴上），过点
的直线与
分别交于点
（异于点
），直线
与直线
交于点
，证明：点
在定直线上．
64．已知抛物线
的焦点为F，点
是C 上一点，且
，记O 为坐标原点，过
点F 的直线与C 相交于A，B 两点．
(1)求抛物线C 的方程与准线l 的方程；
(2)求
的最小值；
(3)已知P，M 分别是抛物线C 与准线l 上的动点，若C 在点P 处的切线
交y 轴于点Q，且
，试判断点N 是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．
65．已知圆
，一动圆与直线
相切且与圆
外切．
(1)求动圆圆心
的轨迹
的方程；
(2)若经过定点
的直线与曲线
交于
，
两点，
是
的中点，过
作
轴的平行线与曲线
相交于点
，试问是否存在直线使得
？若存在，求出直线的方程．
题型十一：圆锥曲线中的向量问题
66．已知椭圆
过点
，离心率为
，过点
的直线l 与椭圆
交于不
同的两点
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
的面积为
，且
，求实数
的值．
67．已知
为双曲线
的右焦点，其渐近线被抛物线
截得的弦长为2，且点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)若过点
的直线与
交于
两点，则
轴上是否存在一点
，使得
为定值？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
68．已知椭圆
的离心率为
，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．
(1)求椭圆
的标准方程：
(2)记椭圆
的左顶点为
，右顶点为
，过点
作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点
，过点
作
的垂线，垂足为
，且
，求直线的方程．
69．设A，B 两点的坐标分别为
，
直线AM，BM 相交于点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M 的轨迹方程C；
(2)若直线l 与C 交于P，Q 两点，且
（点O 为坐标原点），求
的取值范围．
70．已知抛物线
过点
，焦点为
．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)过点
且斜率为1 的直线交抛物线
于A、
两点，若
在以
为直径的圆内，求实数的取值范
围．
