文档文本内容
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3.1.2 函数的单调性
课程标准
学习目标
1、了解函数单调性的概念，会用定义判断或
证明函数的单调性
2、会借助图像和定义求函数的单调区间
3、理解函数的最大(小)值及其几何意义，并
能借助图像求函数的最大(小)值
4、会借助函数的单调性求最值
5、会根据函数的单调性求参数或解参数不等
式
1、了解函数单调性的概念，理解函数的最大(小)值
及其几何意义
2、借助图像求函数的单调区间和最值
3、判断函数区间的单调性和求最值
4、函数最值在实际生活中的应用
知识点01 增函数、减函数的定义
条
件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D，如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)
f(x1)>f(x2)
结
论
则称y＝f(x)在I 上是增函数(也称在I 上单调
递增)
则称y＝f(x)在I 上是减函数(也称在I 上单调
递减)
2
图
示
自左向右图像逐渐上升
自左向右图像逐渐下降
注：(1)“区间I⊆D”说明函数的单调区间是其定义域的子集，不一定是定义域．
(2)x1，x2的三个特征：
①同区间性，即x1，x2∈I；
②任意性，即不可用区间I 上的两个特殊值代替x1，x2；
③有序性，即需要区分大小，通常规定x1<x2.
(3)自变量的大小与函数值的大小关系：
①单调递增：x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＞f(x2).
②单调递减：x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＜f(x2).
即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化．
(4)若f(x)在区间I 上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I 上的对应部分自左向右逐渐上升(下降).
【即学即练1】（2024·高一课时练习）若函数
的定义域为
，且满足
，则函数
在
上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定
【即学即练2】（2024·高一课时练习）设函数
在区间
上有意义，任意两个不相等的实数
，
下列各式中，能够确定函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 单调性、单调区间、单调函数
如果一个函数在某个区间I 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间I 上具有单调性．区间I
称为函数的单调区间．
如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数．
注：(1)由于函数在单独的一个x 值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不
包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x 的值．
(2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或逗号连接．
3
【即学即练3】（2024·高一课时练习）如图为
的图象，则它的单调递减区间是 .
知识点03 函数的最大(小)值
名称
定义
几何意义
函数的
最大值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，
都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点．
函数的最大值对应
其图像最高点的纵坐
标．
函数的
最小值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，
都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点．
函数的最小值对应
其图像最低点的纵坐
标．
说明： 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．
注：函数的最值和值域的联系与区别
(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)区别：
①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；
②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素；
③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端
点值就是函数的最值．
【即学即练4】（2024·高二课时练习）已知
，求函数
在区间
上的最大值与
最小值．
知识点04 函数的平均变化率
（1）直线的斜率
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称
为直线AB 的斜率；当x1＝x2时，称直线AB 的斜率不存在．
①直线AB 的斜率反映了直线相对于x 轴的倾斜程度．
4
②若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0 时，斜率可记为k＝.
（2）平均变化率
一般地，当x1≠x2时，称
＝
为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．
利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性．
①Δx＝x2－x1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．
②注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy
＝f(x1)－f(x2).
③平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数
在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上
的图像先下降后上升，值域是[0，4].
(4)平均变化率的几何意义是函数y＝f(x)图像上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率．
(5)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变
化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δx＝x2－x1无限变小
时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”．
难点：由函数的单调性求参数的取值范围
示例：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．
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【题型1：单调性的定义理解】
例1.（2024·全国·高一专题练习）若函数
在
上是增函数，对于任意的
，
（
），
则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·全国·高一专题练习）定义在
上的函数
对任意两个不相等的实数
，
，总有
，则必有（ ）
A．函数
先增后减 B．函数
是
上的增函数
C．函数
先减后增 D．函数
是
上的减函数
【题型2：利用函数图象求单调区间】
例2．（2024·全国·高一专题练习）已知
的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A．
B．
和
C．
D．
和
变式1.（2024·高一课时练习）已知函数
的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的
单调递增区间有 ；函数的单调递减区间有 ．
变式2.（2024·高一课时练习）如图是函数
的图象，则函数
的减区间是（ ）
6
A．
B．
C．
D．
变式3.（2024·高一课时练习）已知函数
(1)在直角坐标系内画出
的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
变式4.（2024·全国·高一专题练习）函数
单调减区间是 .
变式5.（2024·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）函数
的单调递减区间是
.
变式6.（2024·全国·高一专题练习）已知函数
（1）把
写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数
大致图像；
（2）写出函数
的递减区间．
【方法技巧与总结】
图像法求函数单调区间的步骤
(1)作图：作出函数的图像．
(2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【题型3：函数的单调性判断与证明】
例3．（2024·全国·高一课堂例题）证明：
在区间
上是单调递增函数.
变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知函数
.判断函数
在
上的单调性，并证明；
变式2.（2024·全国·高一专题练习）设函数
．用定义证明函数
在区间
上是单调减函
数；
变式3.（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数
.
(1)求函数的定义域；
(2)用定义法证明：
在
上单调递增；
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变式4.（2024·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数
(1)判断并证明函数
在区间
上的单调性；
(2)求函数
在区间
上的值域．
变式5.（2024·全国·高一专题练习）判断函数
在区间
上的单调性，并用单调性的定义证
明.
变式6.（2024·全国·高一专题练习）判断并证明
在
的单调性.
变式7.（2024·全国·高一专题练习）已知
，试判断
在区间
上的单调性，并加以证
明．
变式8.．（2024·全国·高一专题练习）已知函数f（x）对任意的实数x、y 都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）
－1，且当x>0 时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R 上是增函数.
【方法技巧与总结】
1.利用定义证明函数单调性的步骤
注：作差变形是解题关键
2.利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧：
（1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；
（2）当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；
（3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；
（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。
【题型4：复合函数的单调性】
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例4．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知
是
上的增函数，
是
上的偶函数，且在
上单调递减，则（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
上单调递减
C．
在
上单调递增
D．
在
上单调递减
变式1．（2024·山东泰安·高三统考阶段练习）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（2024·全国·高一专题练习）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·高一课时练习）函数
的单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）关于函数
的结论正确的
是（ ）
A．值域是
B．单调递增区间是
C．值域是
D．单调递增区间是
变式5.（2024·全国·高一专题练习）已知函数
在
上单调递减，则函数
的单调递减区
间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型5：由函数的单调性求参数的取值范围】
例5．（2024·全国·高一专题练习）若函数
在区间
上是严格增函数，则实数
的取值范围
是 .
变式1．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）已知函数
在
上单调递减，则实数a 的
取值范围是 .
变式2.（2024·全国·高一专题练习）若
在
上单调递减，则实数
满足
（ ）
A．
B．
C．
D．
9
变式3.（2024·高一课时练习）已知函数
.若函数
在区间
上单调，求实数a 的取值
范围.
变式4.（2024·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）若函数
在区间
上是
减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5.（2024·江苏南京·高一校考期末）若函数
在区间
上为单调减函数，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6.（2024·江苏）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是
__________.
变式7.（2024·安徽亳州·高三蒙城第一中学校考阶段练习）若函数
在区间
上单调递
减，则实数
的取值范围为 .
变式8.（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）
是函数
在
单调递减的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
变式9.（2024·全国·高一专题练习）已知
是
上的增函数，那么
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式10.【多选】（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函数
是
上的增
函数，则a 的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．1
变式11.（2024·湖北鄂州·高一校联考期中）若函数
在
上单调递增，则实数
的
取值范围是 .
变式12.（2024·湖北）若函数
，在R 上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
10
A．
B．
C．
D．
变式13．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）函数
在R 上单调递减，
则实数a 的取值范围是 .
【题型6：利用单调性解不等式】
例6．（2024·高一课时练习）已知
为
上的减函数，则满足
的实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·高一课时练习）已知函数
是
上的增函数，且
对一切x∈R 都成立，
则实数a 的取值范围是________.
变式2.（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知函数
为定义在
上的增函数，且
，求a 的取值范围．
变式3.（2024·高一课时练习）已知函数
的定义域
，
，
且
，
．若
，则
的取值范围是（ ）A．
B．
C．
D．
变式4.（2024·全国·高一专题练习）已知
是定义在
上的增函数，且
，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
11
C．
D．
变式5.（2024·全国·高一专题练习）已知函数
，
．
(1)判断函数
的单调性，并利用定义证明；
(2)若
，求实数m 的取值范围．
变式6.（2024·高一单元测试）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7.（2024·江苏连云港·高一统考期中）已知定义在
上的函数
，对任意的
，
，若
，都
有
成立，若
，则满足不等式
的
的取值范围是 ．
变式8.（2024·高一单元测试）定义在
上的函数
满足
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型7：利用单调性比较大小】
例7．（2024·全国·高一专题练习）若函数
在
上是减函数，则
与
的大小关系
是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知
是函数
的增区间，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知函数
是区间
内的减函数，则
与
的
12
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．不确定
变式3.【多选】（2024·高一课时练习）（多选）设函数
在
上为减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
变式4.（2024·全国·高一专题练习）已知函数
在
上是递减函数，
且
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5.（2024·全国·高一专题练习）已知函数
，若
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型8：图像法求函数的最值】
例8．（2024·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考阶段练习）给定函数
.
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(1)在同一坐标系中画出函数
的图像，
(2)若
表示
中的较小者，例如
.记
.
（i）请分别用图像法和解析法表示函数
，并指出函数
的单调区间，
（ii）当
时，求
的最大值和最小值
变式1.（2024·河南洛阳·高一统考期中）给定函数
，
，
．
，用
表示
，
中的最小者，记为
．
(1)请用图象法和解析法表示函数
；
(2)根据图象说出函数
的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数
的最
大值和最小值．
【方法技巧与总结】
图像法求最值的一般步骤
【题型9：利用单调性求函数的最大(小)值】
例9.（2024·高一课时练习）求函数
在
上的最大值与最小值．
变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知
(1)函数
的值域；
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(2)用定义证明
在区间
上是增函数；
(3)求
函数在区间
上的最大值与最小值．
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知二次函数
，
，
的最大值为16；
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在区间
的最大值
.
【方法技巧与总结】
1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2.函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是
f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)
值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的那一个．
【题型10：根据函数的最值求参数】
例10.（2024·全国·高一专题练习）二次函数
的最大值是3，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
在闭区间
上有最大值3，最小值2，
则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.（2023 春·浙江嘉兴·高二校考期中）函数
的最大值为负值，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．a＞4
变式3.（2024·全国·高一专题练习）函数
在
时有最大值为
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
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变式4.（2024·广东茂名·高三校考阶段练习）若二次函数
的图象的对称轴为
，最小值为
，
且
．
(1)求
的解析式；
(2)若关于x 的不等式
在区间
上恒成立，求实数m 的取值范围．
变式5.（2024·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)判断函数
在
的单调性，并用定义证明.
(2)若
时函数
的最大值与最小值的差为
，求
的值.
【题型11：函数不等式恒成立、能成立问题】
例11．（2023 春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）条件
，
，则
的
一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）
，使得不等式
成立，则
的范围是 .
变式2.（2024·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）设
，当
时，
恒成立，则
的取值范围是 .
变式3.（2024·四川乐山·高一校考阶段练习）设命题
，不等式
恒成立；命题
，使得不等式
成立.
(1)若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题
有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.
变式4.（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）若二次函数
对任意
都满足
且
最小值为-1，
．
(1)求
的解析式；
(2)若关于
的不等式
在区间
上恒成立，求实数
的取值范围．
变式5.（2023 春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）函数
.
(1)若当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)若存在
，使
成立，求实数a 的取值范围；
16
(3)若当
时，
恒成立，求实数x 的取值范围.
变式6.（2024·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数
．
(1)判断并且证明函数
在
上的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围．
一、单选题
1．（23-24 高一上·吉林·阶段练习）如果函数
在区间
上单调递增.那么实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高一下·吉林长春·开学考试）已知函数
满足对任意实数
，都有
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川巴中·模拟预测）设函数
；若
，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高一上·江苏镇江·期中）已知函数
，下列结论正确的是（ ）
A．函数
的减区间
17
B．函数
在
上单调递减
C．函数
在
上单调递增
D．函数
的增区间是
5．（24-25 高三上·四川泸州·开学考试）已知分段函数
在区间
上单调递增，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·山东青岛·开学考试）设
，若
是
的最小值，则a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 高一上·江苏·专题练习）对于
中的任意
，不等式
恒成立，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
8．（2024 高一上·江苏·专题练习）设函数
，
，若对任意的
，存在
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高一下·全国·随堂练习）如图是函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在区间
上的最大值为3，最小值为
D．
在
上有最大值3，有最小值
18
10．（2024 高三·全国·专题练习）若二次函数
在区间
上的最大值为6，则a 等于
（ ）
A．
B．
C．
D．5
11．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上的最大值比最小值大，则
的值
可以是（ ）
A．4
B．12
C．
D．
12．（24-25 高一上·江西上饶·开学考试）下列说法能判断函数
在区间
上单调递增有（ ）
A．对于任意的
，当
时，都有
恒成立；
B．对于任意的
，都有
恒成立；
C．存在
，使得
成立；
D．对于任意的
，都有
恒成立，并且对于任意的
，
都有
也恒成立
三、填空题
13．（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）对于实数a，b，定义新运算：
设函数
，当
时，函数
的值域为 ．
14．（2024 高一·全国·专题练习）已知函数
，若
时不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是 .
15．（2024 高一上·江苏·专题练习）已知函数
是定义在
上的单调函数，且对
都有
，则
.
16．（24-25 高三上·甘肃白银·阶段练习）记
为
，
，中最小的数.设
，
，则
中的最大值为 .
17．（24-25 高三上·内蒙古包头·开学考试）俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义
在非空集合I 上的函数
，以及函数
，切比雪夫将函数
，
的最大值称为函数
与
的“偏差”．若
，
，则函数
与
19
的“偏差”取得最小值时，m 的值为 ．
四、解答题
18．（23-24 高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数
.
(1)证明:函数
在区间
上单调递减;
(2)当
时，求函数
的值域.
19．（22-23 高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数
.
(1)当
时，若
在
上的值域为
，求m 的取值范围；
(2)求
在
上的最小值
的解析式.
20．（24-25 高二上·四川南充·开学考试）定义在
上的函数
满足
，
且
，有
，且
，
，则不等式
的解集为
（ ）.
A．
B．
C．
D．
21．（24-25 高三上·四川成都·开学考试）已知函数
.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若
，对
，使得
成立，求
的取值范围.
22．（24-25 高一上·湖南邵阳·开学考试）已知定义在
上的函数
满足：①
；②
，
均有
，函数
，若曲线
与
恰有一个交点且交点横坐标为
1，令
.
(1)求实数
的值及
；
(2)判断函数
在区间
上的单调性，不用说明理由；
(3)已知
，且
，证明：
.
