【题型突破03：平面向量的综合应用】
1．（25-26 高三上·天津南开·月考）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC , ∠BAD =π
3 , AB = AD =2．
若M、N分别是AD、BC上的动点，满足⃗AM = λ⃗AD ,⃗BN =(1−λ)⃗BC，其中λ∈(0, 1)，则⃗AN ⋅⃗BM
的最大值为 ．
2．（25-26 高三上·山东·月考）已知△ABC满足AB =3，BC =6，∠ABC =60°，M，N为直线BC上的
动点，且S△AMN =3 ❑√3，则⃗AM ⋅⃗AN的最小值为 ．
3．（2025·上海闵行·一模）若点P是边长为1 的正三角形ABC 外接圆上的一点，则⃗PA ⋅⃗BC的最大值为
4．（2025·上海静安·一模）如图，已知AB是半圆O 的直径，直径长为2，点C , D均在半圆O 上，且都不
与点A ,B重合，A ,B ,C , D四点依次按照逆时针方向排列. 若CD 的长为❑√2，则⃗AC ⋅⃗BD的取值范围为
．
5．（25-26 高三上·上海松江·期中）已知|⃗a|=1,|⃗b|=1且⃗a⋅⃗b=0，若向量⃗c满足(⃗c−⃗a)⋅(⃗c−⃗b)=0，
命题角度1：数量积的最值问题
命题角度2：模与夹角的最值问题
则|⃗c|的最大值是 .
6．（25-26 高三上·上海·期中）|⃗a)=3,|⃗b)= 4 ,⃗a⋅⃗b= 4，若平面向量⃗c满足|⃗c−⃗b)=1，则|⃗c−⃗a)的最大值
为 .
7．（23-24 高一下·福建·期中）已知向量⃗a、⃗b满足：|⃗a)=|⃗b)=2，⃗a⋅⃗b=2，向量⃗a−⃗c与向量⃗b−⃗c的夹角
为π
6 ，则|⃗a−⃗c)的最大值为（ ）
A．❑√3
B．2
C．4 ❑√3
3
D．4
8．（25-26 高三上·上海·期中）已知平面向量⃗a、⃗b、⃗c满足|⃗a)=|⃗c)=1且⃗a⊥⃗c，向量⃗b满足⃗b
2−2⃗c⋅⃗b=0，
则|⃗a−⃗b)的最大值是 .
9．（北京市东城区2026 届高三上学期期末统一检测数学试题）在平面直角坐标系xOy中，已知点
A (cosθ , sinθ), B (−sinθ , cosθ)，点P(x , y)满足：⃗OP⋅⃗OA =1，⃗OP⋅⃗OB =2．若θ =π
4 ，则x =
；若θ∈[0,2π)，则xy的最大值为 ．
10．（25-26 高三上·北京海淀·月考）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE =CD，若点P
是以点A 为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AE，则λ+ μ的
最小值为 最大值为 ．
11．（25-26 高三上·天津蓟州·期中）在△ABC中，已知sin B =cos A sinC，且⃗AB⋅⃗AC = 4，则
|⃗CA |= ；若在线段AB上存在动点P，使得⃗CP =2m⃗
CA
|⃗CA |
+n⃗CB(m,n>0)，则1
m + 2
n的最小值
为 ．
12．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量⃑a,⃑b,⃑c ,(⃑c≠⃗0)满足|⃑a)=1,|⃑b)=2,⃑a⋅⃑b=0,(⃑a−⃑b)⋅⃑c =0.记向
量⃑d在⃑a,⃑b方向上的投影的数量分别为x，y，⃑d −⃑a在⃑c方向上的投影的数量为z，则x
2+ y
2+ z
2的最小值为
.
【多选题】13．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点P1(cosα ,sin α )，
P2(cos β ,−sin β)，P3(cos(α + β),sin(α + β))，A(1,0)，则（ ）
命题角度3：与平面向量有关的参数问题
命题角度4：平面向量与三角函数综
A．|⃗O P1|=|⃗O P2|
B．|⃗A P1|=|⃗A P2|
C．⃗OA ⋅⃗OP3=⃗O P1⋅⃗O P2
D．⃗OA ⋅⃗O P1=⃗O P2⋅⃗O P3
14．（2025·重庆·模拟预测）已知函数f (x)= A sin (ωx +φ)+ B (x∈R ,ω>0)的部分图象如图所示，M , N
为y = f (x)图象与x轴交点且满足⃗ON =3⃗OM ,△MNP为等边三角形，则ω=（ ）
A．1
B．π
2
C．2π
3
D．2
15．（2024·江西·模拟预测）已知向量⃗m=(
❑√3(1+cos(α + β)),−1),⃗n=(tan β
2 ,2❑√3sin(α + β))，其中
0< β <π，α + β ≠π+2k π,k ∈Z，若⃗m⊥⃗n，则tan α
2 的最小值是（ ）
A．1
4
B．−1
4
C．
❑√2
4
D．−
❑√2
4
16．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在函数f (x)=sin(ωx +φ)的部分图象中，若⃗TA =⃗AB，则点A的
纵坐标为（ ）
A．2−❑√2
2
B．
❑√3−1
2
C．❑√3−❑√2
D．2−❑√3
17．（2025·重庆九龙坡·三模）在 △ABC 中，角 A ，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知
(a+c)(sin A −sinC)+bsin B =asin B,b+2a= 4 ，若 ⃗CA +2⃗CB =3⃗CD ，则 |⃗CD) 的最小值为
（ ）
A．2❑√3
B．4
3
C．2❑√2
3
D．2❑√3
3
18．（23-24 高一下·云南昆明·期中）在△ABC中，S△ABC =
❑√3
6⃗AB⋅⃗AC =
❑√3
2 ,sin B =cos A sinC , P为
命题角度5：平面向量与解三角形问题综
线段AB上的动点，且⃗CP = x⃗CA
|⃗CA)
+ y⃗CB
|⃗CB)，则
❑√3
x + 1
y 的最小值为（）
A．4
B．2❑√3
C．2
D．❑√3
19．（2023·四川成都·二模）在△ABC中，已知⃗AD =2⃗DC，AC =3 BC，sin∠BDC =3sin∠BAC，当⃗
CA ⋅⃗CB−|⃗AB|取得最小值时，△ABC的面积为（ ）
A．
❑√3
4
B．
❑√5
2
C．3
8
D．3 ❑√5
16
20．（2025·新疆·模拟预测）已知O为△ABC的外心，若cos B
sinC⃗AB+ cosC
sin B⃗AC =m(cos A +2)⃗AO，则m
的最大值为 .
21．（2021·四川成都·三模）已知双曲线C ：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的左，右焦点分别是F1，F2，点
P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线x =a上，且满足⃑PH = λ(⃑
P F1
|⃑P F1)
+⃑P F2
|⃑P F2))，λ∈R.若
5⃑HP+ 4⃑H F2+3⃑H F1=⃑0，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
22．（2022·江西宜春·模拟预测）已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为
､
F1, F2, P为双曲
线上的一点，I为△P F1 F2的内心，且⃗I F1+2⃗I F2=2⃗PI，则C的离心率为（ ）
A．1
3
B．2
5
C．
❑√3
3
D．2
23．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为
､
F1, F2，M是C的
右支上一点，M在y轴上的射影为H，O为坐标原点.若⃗HN =3⃗N F2,⃗F2 H ⋅⃗MN =0,⃗ON // ⃗F1 M，则
C的离心率为（ ）
A．❑√2
B．❑√3
C．
❑√5
2
D．
❑√6
2
24．（2024·全国·模拟预测）已知向量⃗a是单位向量，向量⃗b满足|⃗a−⃗b)=2|⃗b)，向量⃗c满足
|⃗c−⃗a)+|⃗c +⃗a)=2❑√3，则⃗b⋅⃗c的最大值为（ ）
A．2❑√3
3
B．❑√3
C．4 ❑√3
3
D．2❑√3
25．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知|a
→)=2,|b
→)=1,a
→
⋅b
→
=0，向量⃗m,⃗n满足|⃗m+⃗a)+|⃗m−⃗a)=2❑√5, ⃗
n
2−6⃗b⋅⃗n+8=0，则|⃗m−⃗n)的最大值为（ ）
命题角度6：平面向量与解析几何综合
A．5
B．❑√21
C．❑√14+1
D．
❑√65
2
+1
26．（2024·四川德阳·一模）设F1, F2为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点，O 为坐标原点，P
为C的一条渐近线上一点，且|⃗P F1+⃗PO)=|⃗P F1−⃗PO)，若|⃗P F1)=2|⃗PO)，则C的离心率为（ ）
A．❑√6
B．❑√5
C．2
D．❑√3
27．（2024 高三·全国·专题练习）已知E为平行四边形ABCD的边CD的中点，以B，E 为焦点的椭圆
Γ : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点A，D，且⃗BD⋅⃗BC =|BE)
2−a
2
16 ，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．1
3
B．1
2
C．
❑√2
2
D．
❑√6
3
28．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，F1(−c ,0)、F2(c ,0)分别为
左、右焦点，若双曲线右支上有一点P 使得线段P F1与y 轴交于点E，|PO)=|P F2)，线段E F2的中点H
满足⃗F1 H ⋅⃗P F2=0，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 ❑√2+ ❑√10
2
B．3 ❑√2−❑√10
2
C．7+3 ❑√5
D．7−3 ❑√5
