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重难点专题01 认识二元一次方程组
模块一、二元一次方程组
重难点一、二元一次方程的定义
判断二元一次方程紧抓三大条件：含有两个未知数；未知数最高次数为 1；
整式方程，未知数不能在分母、根号内。做题逐项核对，警惕隐藏陷阱，例如xy=1 未知
数次数为 2，
不是整式方程，均不符合定义。牢记标准形式，快速排除干扰选
项。
1．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）下列方程中，是二元一次方程有（ ）
①
1
3
2
2
y −
=
；②(
)
1
1
1
3
4
5
x
y
+
−
=
；③
1
1
x
y
−
= ；④(
)
3
1
x
y
+
= ；⑤x
y
=
；⑥
3
xy =
．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
2．（25-26 七年级下·云南西双版纳·阶段检测）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．1
3
5
x
y
+
=
B．3
1
4
x −=
C．2
5
x
y
+
=
D．
2
7
x
x
−
=
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3．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）若(
)
2
3
5
23
0
m
m
x
y
−
−
+
−
=
是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的
值（ ）
A．1
B．3
C．1
D．3
±
4．（24-25 七年级下·甘肃庆阳·期中） 若(
)1
9
a
a
x
y
−
+
=
是关于x ，y 的二元一次方程，则a 的值是
________．
5．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）若
2
m
y
x
=
+
是关于x 、y 的二元一次方程，则m = ________．
6．（17-18 七年级下·全国·期末）若方程组
(
)
2
3
3
3
4
a
b
x
c
xy
x
y
−
−
+
+
=
−
=
是关于x ，y 的二元一次方程组，则代数式
a
b
c
+ + 的值是_____．
7．（25-26 七年级下·山东泰安·期中）若
1
3
6
m
mx
y
−−
=
是关于,x y的二元一次方程，则m 的值为_____．
8．（22-23 七年级下·贵州铜仁·期中）若方程(
)
| | 4
5
3
1
m
m
x
y
−
−
+
= 是关于x，y 的二元一次方程，则m 的值
为________．
9．（25-26 七年级下·全国·周测）已知方程组(
)
1
2
3
1
2
2025
m
x
y
m
x
−
+
=
−
=
是关于x ，y 的二元一次方程组，求m 的
值．
重难点二、二元一次方程的解
二元一次方程有无数组解。判断一组数值是否为解，直接将 x、y 代入方程
左右两边验算，两边相等即为解。求方程整数解时，先用一个未知数表示另一个未知数，
结合取值范围枚举。注意区分二元一次方程与一元方程解的个数差异，不要混淆概念。
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1．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）如果
x
m
y
n
=
=
是方程2
2026
x
y
−
=
的一个解，那么代数式
2
2027
m n
−−
的值是（ ）
A．1
−
B．0
C．1
D．4053
2．（21-22 七年级下·河南信阳·阶段检测）方程2
3
18
x
y
+
=
的非负整数解的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（25-26 七年级下·河北保定·期末）观察表格数据，可知方程组
2
1
3
2
12
x
y
x
y
+
= −
−
= −
的解为（ ）
2
1
x
y
+
= −
x
0
2
−
4
−
6
−
y
1
−
3
7
11
3
2
12
x
y
−
= −
x
0
2
−
4
−
6
−
y
6
3
0
3
−
A．
0
1
x
y
=
= −
B．
2
3
x
y
−
=
=
C．
4
0
x
y
= −
=
D．
6
11
x
y
= −
=
4．（25-26 七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知
1
2
x
y
−
=
=
是方程
3
ax
by
−
=
的解，则10 3
6
a
b
−
−
的值为
______．
5．（25-26 七年级下·北京·期末）写出二元一次方程2
5
x
y
−
=
的一组整数解：_________________．
6．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）方程2
3
7
x
y
+
=
的正整数解是___________．
7．（25-26 七年级下·全国·课后作业）已知三对数值：
8
0
10
10
6
1
x
x
x
y
y
y
−
−
−
=
=
=
=
=
=
(1)哪几对数值能使方程1
2
6
x
y
−
=
的左、右两边的值相等？
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(2)哪几对数值是方程组
1
6
2
2
31
11
x
y
x
y
−
=
+
= −
的解？
重难点三、判断是否是二元一次方程组
二元一次方程组核心要点：一共两个未知数；组内每个方程都是一次整式方
程。方程组不要求两个方程都同时含有两个未知数，例如
依然成立。甄别题型
时，留意未知数次数、分式形式，快速剔除含有高次、分式方程的错误选项。
1．（25-26 七年级下·吉林·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．
2
0
x
y
x
y
+
=
−
=
B．
2
1
x
y
xy
+
=
=
C．
2,
1
3
x
y
y
x
+
=
+
=
D．
2
2
0
x
y
x
y
+
=
−
=
2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．
2
1
xy
x
y
=
−
=
B．
2
3
5
1
x
y
y
−
=
=
C．
2
0
1
3
5
x
z
x
y
+
=
−
=
D．
5
1
7
x
y
x
=
+
=
3．（25-26 七年级下·江苏苏州·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．
3
10
x
y
xy
+
=
= −
B．
2
2
2
x
y
x
y
+
=
−
= −
C．
5
1
6
x
y
x
y
+
=
−
=
D．
1
2
2
x
y
x
z
+
=
−
=
4．（25-26 七年级下·安徽芜湖·期末）若 (
)
2
2
3
0
3
2
m
x
y
m
x
y
−
+
=
−
+
=
是关于x，y 的两个二元一次方程组成的二元一
次方程组，则m 的值是（ ）
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A．3
−
B．3
C．3
±
D．任意实数
5．（19-20 七年级下·山东临沂·期末）下列方程组中，①
2
1
1
x
y
y
z
−
=
=
+
；②
0
3
x
y
=
=
；③
0
2
3
5
x
y
x
y
−
=
+
=
；④
2
1
2
1
x
y
x
y
+
=
+
= −
；属于二元一次方程组的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
重难点四、判断是否是二元一次方程组的解
方程组的解需要同时满足组内所有方程。检验时，把数值依次代入每一个方
程，全部成立才是方程组的解，只满足其中一个方程不算正确答案。解题切勿只验算单个
方程，这是高频易错点。答题养成完整验算习惯，规避粗心丢分。
1．（25-26 七年级下·广东潮州·期末）解为
1
2
x
y
=
=
的方程组是（ ）
A．
1
3
5
x
y
x
y
−
=
+
=
B．
1
3
5
x
y
x
y
−
= −
+
= −
C．
3
3
1
x
y
x
y
−
=
−
=
D．
2
3
3
5
x
y
x
y
−
= −
+
=
2．（25-26 七年级下·浙江宁波·期末）下列选项中，不是方程
3
4
x
y
+
=
的解的是（ ）
A．
1
1
x
y
−
=
=
B．
7
1
x
y
=
= −
C．
10
2
x
y
=
= −
D．
2
2
x
y
−
=
=
3．（25-26 七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知
1
3
x
y
= −
=
，
1
2
x
y
=
=
，
3
1
x
y
=
=
是二元一次方程
2
5
x
y
+
=
的三
个解，
1
2
x
y
−
−
=
=
，
1
2
x
y
=
=
，
3
6
x
y
=
=
是二元一次方程2
0
x
y
−
=
的三个解，则方程组
2
5
2
0
x
y
x
y
+
=
−
=
的解为
（ ）
A．
1
3
x
y
= −
=
B．
1
2
x
y
−
−
=
=
C．
3
6
x
y
=
=
D．
1
2
x
y
=
=
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4．（25-26 七年级下·北京通州·期中）下列是方程
2
3
x
y
−
=
的解的一组数是（ ）
A．
3
0
x
y
=
=
B．
2
1
x
y
−
=
=
C．
1
2
x
y
−
=
=
D．
4
1
x
y
=
=
5．（25-26 七年级下·北京·期末）关于x 和y 的二元一次方程ax
by
c
−
=
和mx
ny
k
+
=
的部分解分别如表
1、表2 所示，则关于x 和y 的二元一次方程组
ax
by
c
mx
ny
k
−
=
+
=
的解是（ ）
表
1
x
1
−
0
1
2
表
2
x
1
−
0
1
2
y
4
−
3
−
2
−
1
−
y
4
1
2
−
5
−
A．
1
4
x
y
= −
= −
B．
0
0
x
y
=
=
C．
1
2
x
y
=
= −
D．
2
5
x
y
=
= −
重难点五、已知二元一次方程组的解求参数
已知方程组的解，直接把解代入原方程组，得到关于参数的全新方程组。按
照解方程组方法算出参数数值。遇到含参数、含未知数的复合题型，分清未知数与参数，
不要混淆字母。计算完成后代回原式复核，避免计算失误。
1．（25-26 七年级下·江西上饶·期末）若关于x，y 的二元一次方程组
2
2
5
9
ax
y
x
by
−
=
+
=
的解为
3
2
x
y
=
=
，则
2
a
b
+
的值为（ ）
A．4
−
B．4
C．5
−
D．5
2．（25-26 七年级下·云南曲靖·阶段检测）若方程组
2
5
2
4
x
y
x
y
+
=
+
=
的解为
x
a
y
b
=
=
，则a
b
+
的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（25-26 七年级下·北京房山·期末）如果
1
2
x
y
=
=
，是关于x ，y 的方程
3
8
ax
y
+
= 的解，那么a 的值为
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（ ）
A．5
2
B．2
C．1
D．2
−
4．（25-26 七年级下·河北承德·期末）已知
2
3
x
y
=
=
是方程2
0
x
y
m
−
+
=
的解，则m 的值是（ ）
A．2
−
B．1
−
C．0
D．1
5．（2022·福建福州·模拟预测）若方程组
7
3
5
3
x
y
x
y
+
=
−
= −
，则(
)
3
3
5
x
y
x
y
+
−
+
的值是_____．
6．（25-26 七年级下·甘肃定西·期末）若
2
1
x
y
=
=
是二元一次方程组
11
2
1
mx
ny
nx
my
+
=
−
=
的解，则m
n
+
的值是
________．
7．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）已知关于x ，y 的二元一次方程
2
x
ky
k
+
=
−
．
(1)若
6
3
x
y
=
=
是该方程的一个解，求k 的值；
(2)当k 每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解．
模块二、列二元一次方程组
重难点一、根据实际问题列二元一次方程组
审题先圈出两组等量关系，设置两个未知数。梳理题干信息，把文字描述转
化等式，一条等量关系列出一个方程。避开常见误区：等量关系重复、单位不统一。列式
完成简单验证，确保两个方程相互独立。适合行程、购物、工程类应用题，理清逻辑是关
键。
1．（25-26 七年级下·天津河北·期末）《九章算术》卷第八“方程”中记载：“今有牛五、羊二，直金十
两．牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：5 头牛和2 只羊共值10 两金，2 头牛和5 只
羊共值8 两金．设每头牛值x 两金，每只羊值y 两金，则可列出方程组为（ ）
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A．
5
2
10
2
5
8
x
y
x
y
+
=
+
=
B．
5
2
8
2
5
10
x
y
x
y
+
=
+
=
C．
5
2
10
2
5
10
x
y
x
y
+
=
+
=
D．
5
2
18
2
5
18
x
y
x
y
+
=
+
=
2．（25-26 七年级下·北京丰台·期末）《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店
中．一房七客多七客，一房九客一房空．”大意是：有很多客人来到李三公店里住宿，如果每间客房住7
人，就会多出7 人没客房住；如果每间客房住9 人，就会空出一间客房没人住．问客房有多少间，客人
有多少人？如果设客房一共有x 间，客人一共有y 人，那么可列方程组为（ ）
A．
(
)
7
7
9
1
y
x
x
y
−
=
−
=
B．
(
)
7
7
9
1
y
x
x
y
−
=
+
=
C．
(
)
7
7
9
1
x
y
x
y
−
=
−
=
D．
7
7
9
1
x
y
x
y
−
=
−
=
3．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）清源山景区售卖特色文创礼盒，每个大盒含6 枚石刻徽章，每个小
盒含4 枚茶花书签，两种礼盒共45 盒，文创物品总数为230 件．设大盒有x 盒，小盒有y 盒，根据题意
列出的方程组正确的是（ ）
A．
45
6
4
230
x
y
x
y
+
=
+
=
B．
230
6
4
45
x
y
x
y
+
=
+
=
C．
45
4
6
230
x
y
x
y
+
=
+
=
D．
230
4
6
45
x
y
x
y
+
=
+
=
4．（25-26 七年级下·河南周口·期末）某车间工人加工同一种零件，若每名工人每日加工5个零件，当日
总加工量比当日定额少30个；若每名工人每日加工8个零件，当日总加工量比当日定额多18个．设车间
共有x 名工人，当日定额为y 个零件，则下列方程组符合题意的是（ ）
A．
5
30
8
18
x
y
x
y
=
−
=
+
B．
5
30
8
18
x
y
x
y
=
+
=
−
C．
5
30
8
18
x
y
x
y
−
=
+
=
D．
5
30
{8
18
x
y
x
y
+
=
−
=
5．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九
步行．问车有多少辆，共有多少人？设有x 辆车，y 个人，根据题意，可列出关于x ，y 的方程组为
（ ）
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A．
5
3
4
9
x
y
x
y
−
=
+
=
B．
(
)
(
)
5
3
4
9
x
y
x
y
−
=
+
=
C．
(
)
5
3
4
9
x
y
x
y
−
=
+
=
D．
(
)
5
3
4
9
x
y
x
y
−
=
+
=
重难点二、根据几何图形列二元一次方程组
依托几何性质寻找等量关系，常用角度和、边长相等、周长、面积公式。从
图形标注提取边长、角度信息，设置未知数，依据两条几何等量关系建立方程组。重点读
懂图形标注，挖掘隐藏条件，比如对顶角相等、长方形对边相等，转化成数学等式列式。
1．（25-26 七年级下·广西梧州·期末）“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）
设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为
“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为265cm，宽为212cm 的长方
形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为xcm ，中桌的长为ycm，根据题意，可列方程组
（ ）
A．
4
212
2
265
x
x
y
=
+
=
B．
4
212
265
x
x
y
=
+
=
C．
4
212
2
265
y
x
y
=
+
=
D．
4
212
265
y
x
y
=
+
=
2．（25-26 七年级下·河北保定·期末）我国古代数学问题：现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的钱币比乙袋装
的钱币多8 枚，从甲袋取12 枚钱币放到乙袋，乙袋的钱币数量就是甲袋的两倍．设甲袋原有钱币x 枚，
乙袋原有钱币y 枚，则可列方程组为（ ）
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A．
(
)
8
2
12
12
x
y
x
y
=
+
−
=
+
B．
(
)
8
2
12
x
y
x
y
−
=
−
=
C．
(
)
8
12
2
12
x
y
x
y
−
=
−
=
+
D．
(
)
8
12
2
12
x
y
x
y
=
+
+
=
−
3．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一副三角板按如图摆放，且1
的度数比
2
的度数大30，若
设1
x
= ，
2
y
=
，则可得到的方程组为（ ）
A．
30
180
x
y
x
y
=
−
+
=
B．
30
180
x
y
x
y
=
+
+
=
C．
30
90
x
y
x
y
=
−
+
=
D．
30
90
x
y
x
y
=
+
+
=
4．（16-17 七年级下·河北石家庄·期中）如图，10 块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖
的长和宽分别为cm
x
和cm
y
，则依题意列方程组正确的是（ ）
A．
2
75
3
x
y
y
x
+
=
=
B．
2
75
3
x
y
x
y
+
=
=
C．
2
75
3
x
y
y
x
+
=
=
D．
2
75
3
x
y
x
y
+
=
=
5．（25-26 七年级下·浙江金华·期末）如图1，甲、乙两张等宽的长方形纸片，长分别为a，b，如图2，
把甲纸片长的1
5 与乙纸片长的1
2 叠合在一起，此时纸片总长为30．则关于a，b 的方程组不正确的是
（ ）
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A．
4
30
5
1
1
5
2
a
b
a
b
+
=
=
B．
1
30
2
5
0
2
a
b
a
b
+
=
−
=
C．
1
30
2
4
5
a
b
a
b
+
=
=
D．
4
30
5
1
30
2
a
b
a
b
+
=
+
=
6．（25-26 七年级下·北京·阶段检测）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3 块横放的墙
砖比1 块竖放的墙砖高10cm，2 块横放的墙砖比2 块竖放的墙砖低40cm ，设每块墙砖的长为xcm ，宽为
ycm，则符合右侧图形的方程组是（ ）
A．
10
3
2
2
40
x
y
x
y
+
=
=
+
B．
10
3
2
2
40
x
y
x
y
+
=
=
−
C．
10
3
2
2
40
y
x
y
x
+
=
=
+
D．
10
3
2
2
40
y
x
y
x
+
=
=
−
7．（25-26 八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6 个形状、大小都相同的小长方
形，设小长方形的长为x ，宽为y ，根据题意得到的二元一次方程组为_____．
8．（25-26 八年级上·河南平顶山·期末）如图，将四边形ABCD中的一角折叠，折痕为AE ，点B 落在点
B处，其中
90
BAD
=
，
B AD
比
BAE
大48．设
B AD
和
BAE
的度数分别为x 和y ，那么x 和y
满足的方程组是___________．
9．（25-26 七年级上·江西九江·阶段检测）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图
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形．设小长方形的宽为x ，长为y ，则可列方程组为______．
10．（25-26 七年级下·湖北宜昌·期末）如图，在长方形ABCD中，放入5个形状、大小完全相同的小长方
形（即空白部分），其中
8 cm
AB =
，
12 cm
BC =
，则图中阴影部分的面积为________．
