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1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 重难点专题03 二元一次方程组的应用 重难点一、方案问题（二元一次方程组的应用） 解决二元一次方程组方案问题，先设未知数，根据题干两组等量关系列出方 程组。求解后结合实际要求筛选整数解，物品数量、人数必须是非负整数。依次列举可行 方案，再根据总价、成本对比选出最优方案。注意检验所有解是否符合现实条件，不要遗 漏可行情况。 1．（25-26 七年级下·辽宁鞍山·期末）2026 年5 月1 日晚，在鞍山市立山区南沙河举办了一场大型无 人机灯光秀，这次灯光秀共有3000 架无人机参加表演，这3000 架无人机由外市用大型箱式半挂车通过 高速公路运输到鞍山，然后用中型厢货车一次性转运到表演场地．参与转运的中型厢货车有A，B 两种型 号，每辆A 型车运输240 架无人机，每辆B 型车运输120 架无人机，且两种型号车均满载，A 型车数量 是B 型车数量的2 倍，求A 型车和B 型车各有多少辆？设A 型车有 辆，B 型车有 辆，则下列方程组正 确的是（ ） A． B． C． D． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 2．（25-26 九年级下·吉林长春·期中）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货 物．已知1 架 型无人机和2 架 型无人机一次可配送货物220 千克，2 架 型无人机和3 架 型无人机 一次可配送货物380 千克．求1 架 型无人机和1 架 型无人机一次分别可配送货物多少千克． 3．（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）某校400 名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小 客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车 辆，租用大客车 辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所 有的租车方案． 4．（25-26 八年级上·四川成都·期末）2025 年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观 众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购 买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共 件，其中蜀绣纪念品每件售价 元，熊猫文创纪念品每件售价 元． (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了 元，求购买这两种纪念品各是多少件？ (2)设购买蜀绣纪念品 件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是 多少元？ 5．（25-26 八年级上·四川达州·期末）研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对 自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660 名学生到郊外参加研学活动．已知用3 辆 小客车和2 辆大客车每次可运送学生150 人，用2 辆小客车和1 辆大客车每次可运送学生85 人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车 辆，大客车 辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有 的租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若1 辆小客车需租金120 元/次，1 辆大客车需租金220 元/次．请选出费用最 3 / 33 学科网（北京）股份有限公司 少的租车方案，并求出最少租车费． 6．（25-26 八年级上·四川雅安·期末）某农场现有一批苹果要运往当地水果市场，农场准备租用汽车 公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1 次 3 2 13 第2 次 4 5 22 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨苹果？ (2)若农场共有18 吨苹果，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水 果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 7．（21-22 七年级下·云南昆明·期中）某商场计划花9 万元从厂家购进50 台电视机．已知该厂家生产 三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500 元，乙种每台2100 元，丙种每台2500 元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50 台，用去9 万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150 元，销售一台乙种电视机可获利200 元，销售一台丙种电视机 可获利250 元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 8．（25-26 七年级下·河南周口·期末）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质 量，该企业进行试生产．他们购得规格是 的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁 法一（2 块A 型、1 块B 型，剩余 ）或裁法二（1 块A 型、2 块B 型，剩余 ）裁下A 型与B 型 两种板材．如图1，（单位： ） (1)列出方程（组），求出图中 与 的值； (2)在试生产阶段，若将30 张标准板材用裁法一裁剪，4 张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A 型与B 型板材做侧面和底面，做成图2 的竖式与横式两种礼品盒． 4 / 33 学科网（北京）股份有限公司 ①两种裁法共产生A 型板材____________张，B 型板材____________张； ②已知①中的A 型板材和B 型板材恰好做成竖式有盖礼品盒 个，横式无盖礼品盒 个，求 、 的值． 重难点二、行程问题（二元一次方程组的应用） 行程问题牢记基础公式：路程 = 速度 × 时间。相遇问题利用路程之和建 立等式，追及问题依靠路程之差列式；航行题型区分顺水、逆水速度。找准两组路程等量 关系设立未知数，列出方程组。审题分清方向，统一时间、长度单位，避免单位不统一造 成计算错误。 1．（25-26 七年级下·山西吕梁·期末）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了 ；从乙码头返回甲 码头逆水而行，用了 ．已知水流的速度是 ，求船在静水中的平均速度和甲、乙两地之间的距 离．设船在静水中的平均速度是 ，甲、乙两地之间的距离是 ，则所列方程组正确的是 （ ） A． B． C． D． 2．（25-26 七年级下·河南周口·阶段检测）甲乙两人分别从相距 的A、B 两地同时出发，相向而 行， 小时相遇；若同向而行，甲9 小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（ ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 3．（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙 二人运动两次的情形．设甲的平均速度是 ，乙的平均速度是 / ，则可列方程组为（ ） 5 / 33 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 4．（25-26 七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从 两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步 行，沿同一条道路相向匀速而行，出发 后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进 ，相遇后 李 明到达 地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达 地？ 5．（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距 的两地相向而行，经过 相遇．设甲的骑行速度为每小时 ，乙的骑行速度为每小时 ， (1)列出关于 ， 的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使 ， 有唯一的解，并列出方 程组解答你改编后的问题． 6．（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游 公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200 公里，连接起众多名胜古迹 与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小 韵晚5 小时出发，小新出发29 小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20 小时，小新 驾车行驶的速度比小韵慢20 公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 7．（25-26 七年级下·重庆·期中）某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶 后报废；若安装在 后轮，行驶 后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． 6 / 33 学科网（北京）股份有限公司 (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行 驶了 ，交换后又行驶了 ．请根据题意，列出关于 、 的方程组． (2)计算 和 的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到 时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时 报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 8．（25-26 七年级下·山东日照·期中）骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市 场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10 辆．由于抽调不出足够的熟练工 来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发 现：1 名熟练工和2 名新工人每日可安装8 辆自行车；2 名熟练工和3 名新工人每日可安装14 辆自行 车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调 名熟练工，招聘 名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证 新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为 ；如安装在后 轮，安全行驶路程为 ，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后 轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶 的磨损量为___________，后轮每行驶 的 磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后 轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 重难点三、工程问题（二元一次方程组的应用） 工程问题常设总工作量为 1，核心公式：工作量 = 效率 × 时间。梳理两 类工作情景，找到两组等量关系构建方程组。分清单人效率、合作效率，注意分工、分段 施工条件。列式完成后检验结果，结合实际判断工期合理性，避开效率相加常见思维误 区。 7 / 33 学科网（北京）股份有限公司 1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m 的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施 工，2.5 天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为 x 米/天和y 米/天，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25 七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D 四人都可做，下表显示了两人组 合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应 该安排的人是（ ） 组合 A 与B B 与C A 与C B 与D 所需时间 7 天 9 天 11 天 14 天 A．A B．B C．C D．D 3．（25-26 七年级下·广东东莞·阶段检测）某地准备修建一条长为 米的道路，由甲、乙两个工程 队负责完成．已知甲工程队每天修路 米，乙工程队每天修路 米．如果两队同时施工，需要多少天能 完成这条道路的修建？请列方程组求解． 4．（25-26 八年级上·陕西西安·阶段检测）某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建 ，下雨时每天修建 ，他们连续 天共修建了 ，求这 天中有几天不下雨？有几天下 雨？（用二元一次方程组解答） 5．（2025 八年级上·全国·专题练习）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条 长的公路， 甲队每天修建 ，乙队每天修建 ，一共用15 天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组 请写出小红所列方程组中未知数x，y 表示的意义：x 表示________________，y 表示________________．该方程组中□处的数应是________， △处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了 公路，乙队一共修建了 公路．下面请你按照小芳的设想 8 / 33 学科网（北京）股份有限公司 列出方程组，并求出乙队修建的天数． 6．（24-25 九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅 游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长 千米的穿山隧道．为 缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2 米，经过 天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 7．（25-26 六年级下·上海·期末）夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300 台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3 个安装 小组，6 天恰好完工；如果安排5 个安装小组，2 天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安 装小组每天安装空调多少台？ 8．（2026·宁夏银川·二模）为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美 化．现有一段长为180 米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8 米， 乙工程队每天整治12 米，共用时20 天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x 米，乙工程队整治河道y 米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m 表示___________，n 表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 重难点四、数字问题（二元一次方程组的应用） 9 / 33 学科网（北京）股份有限公司 数字问题切勿直接设多位数为未知数，应设数位上的数字。例如两位数，设 十位数字、个位数字。利用原数与新数大小关系、倍数关系寻找等量关系。数字调换位置 后，及时正确表示出新数值。计算完成验证数字范围，每位数字取值 0~9，最高位不能为 0。 1．（25-26 七年级下·浙江温州·期中）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻 方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶 幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则 的值是（ ） A． B．0 C．1 D．3 2．（25-26 八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现 的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的 三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则 的值分别是（ ） 3 2 A． ，0 B．1， C． ，1 D．1，0 3．（25-26 七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书” （如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9 个数填在 （三 行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个 广义的三阶幻方．图3 的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 （ ）． 10 / 33 学科网（北京）股份有限公司 A．1 B．3 C．5 D．7 4．（25-26 八年级上·全国·课后作业）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间 看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它 的两个数字之和为6 是一个两位数，它 的十位与个位数字 是9：00 时所看到 的两位数正好互换 了 是一个三位数，它 比9：00 时看到的 两位数中间多了个0 则10：00 小明看到的两位数为（ ） A．21 B．32 C．42 D．51 5．（23-24 七年级下·河北唐山·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十 位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为 ，个位数字为 ，则下列说法正 确的是（ ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 6．（25-26 七年级下·山东临沂·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的 幻方——九宫格，将9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3 个数之 11 / 33 学科网（北京）股份有限公司 和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则 的值是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把 十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大63，求原来两位数．（列方程组解 答） 8．（25-26 七年级下·广东东莞·阶段检测）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数 加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的 2 倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 重难点五、年龄问题（二元一次方程组的应用） 年龄问题核心规律：人与人年龄差值始终不变。随着年份变化，所有人年龄 同步增减。设两人现在年龄为未知数，依据当下年龄关系、若干年后年龄倍数关系列出两 组等式。列式时注意年份同步加减，不要只改动其中一人年龄，求出结果后带入题干验证 逻辑。 1．（20-21 七年级下·江苏南京·期末）小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4 岁， 你到我这么大时，我就40 岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（ ） A．8 岁、20 岁 B．16 岁、28 岁 C．15 岁、27 岁 D．9 岁、21 岁 12 / 33 学科网（北京）股份有限公司 2．（20-21 八年级上·陕西榆林·期末）10 年前，小明妈妈的年龄是小明的6 倍，10 年后，小明妈妈的 年龄是小明的2 倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x 岁 和y 岁，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 3．（21-22 七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么 大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36 岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（ ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 4．（25-26 七年级下·全国·课后作业）一名34 岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个 孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（ ） A．9 岁，7 岁 B．10 岁，6 岁 C．12 岁，7 岁 D．12 岁，6 岁 5．（24-25 七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁 数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7 岁．”则今年甲的年龄为___ 岁． 6．（25-26 七年级上·全国·单元复习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10 岁，乙是甲现在的年龄时，甲 25 岁，则甲、乙现在的年龄差为___________． 7．（22-23 七年级上·全国·期末）小强问叔叔多少岁了．叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁．你 到我这么大时，我就 40 岁了．”问小强和叔叔今年各是多少岁？ 13 / 33 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）小明和小亮比年龄．小明说：“再过 年，我就和你现在一样 大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的 年龄．（列二元一次方程组解应用题） 重难点六、分配问题（二元一次方程组的应用） 分配问题重点抓住总量不变，区分两种分配方案。读懂分配后的剩余、缺少 条件，提取两组等量关系，设置未知数建立方程组。分清分配对象总数与物资总数，避免 等量关系混淆。求解后核对物资数量与分配人数，确保答案契合题目给出的盈、亏条件。 1．（2026·河南三门峡·三模）某车间有80 名工人生产太阳镜，1 名工人每天可生产镜片300 片或镜架 60 个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排 名工人 生产镜片， 名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古通辽·三模）我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多 “盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区 生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8 锭，还剩余5 锭；若每人分10 锭，则 缺少7 锭．若设参与分配的牧民有 人，驮银有 锭，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某车间有90 名工人，每人每天平均能生产螺栓15 个 或螺帽24 个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设 生产螺栓x 人，生产螺帽 人，列方程组为（ ） 14 / 33 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 4．（25-26 七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1 张桌子配4 把椅子），已知 每块板材可制作桌子1 张或椅子3 把，现计划用140 块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗）， 生产出来的桌椅刚好配套．设用 块板材制作桌子，用 块板材制作椅子，则 ________． 5．（25-26 九年级上·吉林长春·期末）一张方桌由1 个桌面、4 条桌腿组成，如果 木料可以做方桌 的桌面50 个或做桌腿300 条，现有 木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿， 做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 6．（25-26 八年级上·江西鹰潭·阶段检测）某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3 人，那么有12 人无法住宿；如果每间宿舍住5 人，那么就会空出2 间宿舍．设宿舍有 间，学生有 人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 7．（25-26 六年级下·上海·期末）某企业有A，B 两条加工相同原材料的生产线，A 生产线共加工a 吨 原材料，加工时间为 小时； 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为 小时． (1)当 时，A 生产线的加工时间是 小时，B 生产线的加工时间是 小时． (2)第一天，该企业把5 吨原材料分配到 ， 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工 时间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5 吨原材料后，又给 生产线分配了m 吨原材料， 给 生产线分配了n 吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时 间相同，则m 和n 有怎样的数量关系？若此时m 与n 的和为9 吨，则m 和n 的值分别为多少？ 8．（21-22 七年级下·江苏宿迁·阶段检测）某学校实践课准备用图甲所示的A 型正方形板材和B 型长 方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． 15 / 33 学科网（北京）股份有限公司 (1)若学校现有库存A 型板材50 张，B 型板材100 张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材 用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n 张规格为 的C 型正方形板材，将其中一张板材切割成了3 张A 型板材和2 张B 型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A 型板材，另一部分全部切割成B 型板材（不计损 耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20 只，且材料恰好用完，则n 的最小值 是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 重难点七、销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 熟练运用公式：利润 = 售价−进价，总利润 = 单件利润 × 销量。理清进 价、标价、折扣之间联系，折扣需要换算。寻找两组销售情景，列出方程组。审题区分单 件成本与总成本，不要混淆标价和实际售价。算出结果后验算总收入与利润，规避经济类 题型常见陷阱。 1．（24-25 七年级下·河北唐山·阶段检测）根据以下对话，可以求得明明所买的笔和笔记本的价格分 别是（ ） A． 元/支， 元/本 B． 元/支， 元/本 C． 元/支， 元/本 D． 元/支， 元/本 2．（2026·山西阳泉·模拟预测）山西博物院某文创商店热销两款经典文创产品：晋侯鸟尊钥匙扣与雁 鱼铜灯书签．已知购买3 个晋侯鸟尊钥匙扣和2 个雁鱼铜灯书签共需159 元；购买1 个晋侯鸟尊钥匙扣 和5 个雁鱼铜灯书签共需144 元．设1 个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x 元，1 个雁鱼铜灯书签的价格为y 元，根据题意，所列方程组正确的是（ ） 16 / 33 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 3．（25-26 七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解应用题： 电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据 最新统计更新，《哪吒之魔 童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674 亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648 亿美元 总票房，升至全球影史票房榜第4 名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40 元，银 河厅每张票售价50 元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20 张票，由于星光厅余票不足20 张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950 元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？ 4．（2026·山西阳泉·三模）4 月16 日至24 日，2026 年山西省全民阅读大会暨全民阅读活动周在晋城 举办．某校举办“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动，计划给图书馆添置书籍，已知购买4 本《论 语》和购买5 本《诗经》的费用相同，购买2 本《论语》比购买3 本《诗经》少8 元，求《论语》和 《诗经》的单价分别是多少． 5．（25-26 八年级下·重庆秀山·期末）某学校准备购买两种造型花卉来装扮校园，已知购买 株 种 花卉和 株 种花卉共需 元；购买 株 种花卉和 株 种花卉共需 元． (1)求这两种花卉的单价； (2)在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下： 种花卉按原价的七折销售，购买 种花卉 株以上，超出部分按原价的五折销售．设购买 株 种花卉需要 元，购买 株 种花卉需要 元，分别求出 ， 关于 的函数解析式． 17 / 33 学科网（北京）股份有限公司 6．（22-23 九年级下·河南郑州·开学考试）小刚去文具店购买画笔，第一次用27 元买了3 支A 型画笔 和4 支B 型画笔，第二次用49 元买了8 支A 型画笔和3 支B 型画笔． (1)求A 型画笔和B 型画笔的单价． (2)小刚使用两种画笔后，决定以后使用A 型画笔，但感觉其价格稍贵，和文具店沟通后，文具店给出以 下优惠方案：若一次购买A 型画笔不超过24 支，每支打九折；若一次购买A 型画笔超过24 支，则前24 支不打折，超过的部分打七五折． 设小刚购买A 型画笔 支，购买费用为 元，请写出 关于 的函数关系式． (3)在（2）的优惠方案下，若小刚计划用210 元（全部花完）购买A 型画笔，则能购买多少支A 型画笔？ 7．（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修 施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费 元； ②若先由甲队单独施工 天，剩余工程交由乙队单独施工 天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳 务费 元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要 天，乙队独立完成全部工程需要 天．商铺正常营业每日净利润 为 元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费 元，乙队工作天商店需付费 元，请列出二元一次方程组，并求解甲、 乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个 成本更低，并说明理由． 18 / 33 学科网（北京）股份有限公司 8．（2026·广东广州·二模）某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知 购买1 枚国风书签和2 个校徽钥匙扣需要8 元，购买2 枚国风书签和3 个校徽钥匙扣需要13 元． (1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； (2)班委准备用33 元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． ①写出 枚国风书签和 个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； ②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概 率． 重难点八、和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 和差倍分题型，抓住关键词转化文字语言。看见 “和、差、几倍、多、 少” 直接翻译成等式。设两个基础量为未知数，整理两组独立等量关系列出方程组。答 题重点区分 A 是 B 的几倍、A 比 B 多几倍两种表述，两者含义不同，审题仔细防止列 式出错。 1．（25-26 七年级下·浙江台州·期中）班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520 元买50 瓶饮品， 矿泉水每瓶4 元，运动饮料每瓶12 元．设矿泉水 瓶，运动饮料 瓶，正确方程组是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 九年级下·吉林松原·期中）2026 年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能 机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B 两型智能分拣机器人来处理 该物流中心包裹的分类．已知2 台A 型机器人每小时的总分拣量是3 台B 型机器人每小时的总分拣量，1 台A 型机器人和2 台B 型机器人每小时共分拣3500 件包裹．求A、B 两型机器人每小时分别分拣多少件 包裹？ 3．（25-26 七年级下·河南开封·期中）某港口码头使用 ， 两种型号的机器人搬运货物，在 内， 19 / 33 学科网（北京）股份有限公司 3 台 型机器人和2 台 型机器人共搬运货物 ，且每台 型机器人比 型机器人多搬运货物 ． (1)每台 型机器人和每台 型机器人 的搬运量分别是多少？ (2)若安排10 台 型机器人和12 台 型机器人，求这些机器人 内的总搬运量是多少吨？ 4．（2022·吉林长春·三模）2022 年第19 届亚运会即将在我国杭州举行．如图是杭州市桐庐县瑶琳镇 林场区块，从高处俯瞰，有一处白绿相间的“马”字形建筑分外引人注目，这里就是杭州亚运会马术项 目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4 万平方米，包括各种功能区．其中主赛场和室内训练场 总共占17000 平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2 倍还多2000 平方米．问主赛场的面积和室内 训练场的面积各多少平方米？ 5．（25-26 八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380 人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不 同类型的客车共10 辆，租用1 辆甲型客车需租金600 元，租用1 辆乙型客车需租金500 元，租车费用共 5600 元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5 个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 6．（25-26 七年级下·陕西延安·期末）某俱乐部的 名成员相约周末去爬山，有徒步爬山和坐索道上 山两种爬山方式，选择徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多 人，求选择徒步爬山 和坐索道上山的成员各有多少人？（请用二元一次方程组的知识解答） 7．（25-26 七年级下·北京通州·期末）列方程组解应用题： 20 / 33 学科网（北京）股份有限公司 2026 年5 月11 日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男 队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层 底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为 ，杯身高比6 层底座高多 ，垫台高与 杯身高之和是 ，求这届斯韦思林杯的总高度． 8．（2025 八年级上·全国·专题练习）某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生 做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计， 主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的 少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选 演讲与口才与选信息技术的人数之和的5 倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选 手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？ 重难点九、几何问题（二元一次方程组的应用） 几何应用题结合图形性质寻找等量关系，常用周长、边长、角度、面积公 式。根据图形标注信息设未知数，挖掘隐藏条件，如长方形对边相等、三角形内角和等。 整理两组几何等量关系建立方程组，算出边长、角度后，确认数值符合几何常识。 1．（25-26 七年级下·福建漳州·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1 和如图2 所示的 正方形，边长分别为6 和2．则一个直角三角形的面积为（ ） 21 / 33 学科网（北京）股份有限公司 A．2 B．4 C．8 D．16 2．（25-26 七年级上·安徽阜阳·期末）如图，在周长为64 的长方形 中放入六个相同的小长方 形，若 ，则图中阴影部分的面积S 为（） A． B． C． D． 3．（25-26 七年级上·安徽淮北·期末）如图，长方形 中有6 个形状、大小完全相同的小长方 形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（ ） A．12 B．18 C．20 D．24 4．（25-26 七年级下·广东珠海·期末）如图，在长为 的大长方形中，以水平或竖直的方式放入个 形状、大小完全相同的小长方形，则下列说法正确的是（ ） ① ② ③若 ，则每个小长方形的面积均为；④若 、 、 均为正整数， 22 / 33 学科网（北京）股份有限公司 则 只能是 ． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 5．（25-26 七年级下·全国·单元测试）分别用8 个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个 大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm 的小正方形．你能 求出小长方形的长和宽吗？ 6．（24-25 七年级下·福建厦门·期中）如图，每张标准卡纸可以剪裁成 张相同的小长方形，每张小 长方形可以剪裁成两张小正方形．如图 ，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如 图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 现有 张标准卡纸通过剪裁一共得到 张小长方形和 张小正方形，做成 个竖式叠盖纸盒和 个横式 叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若 ，求 ， ， 的值； 23 / 33 学科网（北京）股份有限公司 (2)求 的最大值． 7．（25-26 七年级下·江苏南京·期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量， 该企业进行试生产．他们购得规格是 的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一 或裁法二裁下A 型与B 型两种板材．如图所示，（单位： ） (1)列出方程（组），求出图1 中 与 的值． (2)在生产阶段，若将150 张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A 型与B 型板材做侧面和底面，请问能做 成图2 的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 8．（25-26 七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知长方形 ，动点 ， 同时从点 出 发，点 按照 方向运动，点 按照 方向运动．点 运动的速度是点 运动速度的 倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且 ， 两点在点 处首次相遇． (1)若长方形周长为 ，求 和 的长度； (2)当运动秒时，连接 ，线段 所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出 ， 两 点从出发到首次相遇所用的时间． 24 / 33 学科网（北京）股份有限公司 重难点十、图表信息问题（二元一次方程组的应用） 图表信息题先认真读取表格、图像数据，横向纵向梳理已知条件。从图表中 提取两组有效等量关系，设定未知数列出方程组。不要遗漏图表备注、限制条件。理清数 据之间的运算逻辑，避免看错行列数值，计算完成对照图表信息复核答案。 1．（25-26 七年级上·福建漳州·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛 书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之 和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2 的值为（ ） A． B．6 C． D．36 2．（20-21 八年级上·陕西咸阳·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3 方格中填入了 一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x、y 的值分别为（ ） x 8 1 y 6 A． 、4 B．3、 C．3、4 D． 、 3．（25-26 七年级下·广东惠州·期中）为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某 学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均 为 ，其营养成分表如下： 25 / 33 学科网（北京）股份有限公司 若每份午餐需要恰好摄入 热量和 蛋白质，应选用A，B 两种食品各多少包？ 4．（24-25 七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担 忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准 ，收费为 正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025 年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1 月 11 28 2 月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是 ，他有50 元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 5．（2022·河南开封·模拟预测）“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则 如下：如图，在一大盆里放一小茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投 到大盆外不得分；每人各投6 个球，总得分不低于30 分得奖券一张．现统计小刚、小明、小红三人的得 分情况如下图： (1)每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？ 26 / 33 学科网（北京）股份有限公司 (2)根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由． 6．（25-26 七年级下·江苏徐州·期末）某地出租车的收费标准如下（设行驶里程为千米）： 收费项目 收费标准 起步价（当 时） 元 里程费（当 时） 的部分，2 元 /千米 的部分，3 元/千 米 等候费（按等时收 费） 元/分钟（不足1 分 钟按1 分钟计费） “等时”指出租车在计费过程中因拥堵、红灯、乘客临时要求停车等原因导致的非行驶状态时间．例 如：“等时 ”表示等时为0 小时4 分39 秒，此时等候费按5 分钟计费． (1)若 且等时0 分钟，则车费为 元；（用含 的代数式表示） (2)若 且等时3 分钟，则车费为 元；（用含 、 的代数式表示） (3)下图为某游客在当地乘坐出租车的两张发票，根据相关信息，求 、 的值． 重难点十一、古代问题（二元一次方程组的应用） 27 / 33 学科网（北京）股份有限公司 古文类应用题第一步先翻译题意，把文言描述转化为现代数学语句。圈出物 品总量、盈亏条件，找到两组等量关系，设立未知数列出方程组。准确理解古文中 “余、不足、共、倍” 等词汇含义，防止翻译偏差导致列式错误，最后验证结果匹配原 文情景。 1．（2026·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有如下问题：浓酒1 斗值50 钱，淡酒1 斗值10 钱．现有30 钱，买酒2 斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒 斗，淡酒 斗，则下列方程组正确的是 （ ） A． B． C． D． 2．（25-26 七年级下·江苏淮安·期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十； 行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1 斗，价值50 钱；行酒（劣质酒）1 斗，价值10 钱；现有30 钱，买得2 斗酒．问醇酒、行酒各能买得多 少？设醇酒为 斗，行酒为 斗，则可列二元一次方程组为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 七年级下·浙江宁波·期中）我国古代九章算术里有这样一道题：今有牛五、羊二，直金 十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是现有头牛、 只羊，共值 两金； 头 牛、只羊，共值两金．问：头牛值多少金？只羊值多少金？据此求牛和羊的价格．假设一头牛需要 两金，一只羊需要 两金．则可建立方程组为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车 28 / 33 学科网（北京）股份有限公司 空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3 人，则空余 两辆车；若每辆车乘坐2 人，则有9 人步行，问人与车各多少？设有x 人，y 辆车，则下面所列方程组正 确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·新疆·中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长 短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长 木，绳子还剩余4.5 尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1 尺，问木长多少尺．设木长 尺，绳子长 尺，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26 七年级下·重庆荣昌·期末）我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经 之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各 几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9 钱，会多11 钱；每人出6 钱，又差16 钱．问人数、鸡价各 多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（ ） 小青：设人数有 人，则 ； 小军：设鸡价有 钱，则 ； 小萍：设人数有 人，鸡价有 钱，则 ． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 7．（25-26 七年级下·辽宁大连·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道 题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几 29 / 33 学科网（北京）股份有限公司 何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50 钱；如果乙得到 甲所有钱的 ，那么乙也共有50 钱，甲乙两人各带了多少钱？ 8．（2026·北京石景山·二模）《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份 制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不 同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为 份，高度为 份；华栱的长度为 份，高度为 份；散斗的长度为 份， 高度为 份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形 态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三 种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实 际高度之和为 寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比 为 ．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由． 重难点十二、其他问题（二元一次方程组的应用） 其余综合类应用题通用解题流程：审题找出两组等量关系，合理设定未知 数，规范列出二元一次方程组。运用消元法求解，结合现实场景取舍答案，人数、物件数 量通常取正整数。答题完整书写检验步骤，灵活迁移各类题型解题思路，冷静识别题目隐 藏条件。 30 / 33 学科网（北京）股份有限公司 1．（25-26 七年级下·广东珠海·期末）广东省城市篮球联赛（简称“粤 ”），是广东省篮球协会于 年对广东省男子篮球联赛进行全面升级的城市篮球联赛．如下表所示，是常规赛第七轮结束后的部 分球队积分榜信息，则胜一场的积分是（ ） 排名 球队 胜场 负场 积分 中山 … … … … … 珠海 … … … … … 江门 阳江 … … … … … A．1 分 B．2 分 C．3 分 D．4 分 2．（25-26 七年级下·安徽合肥·期末）“综合与实践”小组的学生利用课余时间对学校食堂窗口买饭 排队等待时间问题进行了调查，在食堂窗口开放前，已经有n 人在排队；窗口开始打饭时，前来打饭的 人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．当同时开放2 个窗口时，40 分 钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放3 个窗口时，20 分钟后恰好不会出现排队现象．为减少同学排 队打饭时间，食堂承诺5 分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放（ ） A．6 个窗口 B．7 个窗口 C．8 个窗口 D．9 个窗口 3．（25-26 七年级上·湖南株洲·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距 的两地相向而行，经过 31 / 33 学科网（北京）股份有限公司 相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少 ？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 4．（2026·广东肇庆·一模）中医药作为中华民族原创医药学体系，深深地融入了民众的生产生活实践 中．某中药厂名熟练工和 名新工人每天可生产 盒中药制剂， 名熟练工和名新工人每天可生产 盒中药制剂，求每名熟练工和每名新工人每天分别可生产多少盒中药制剂． 5．（25-26 七年级下·湖北孝感·期末）垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门 每天安排10 台A 型车和8 台B 型车用于垃圾清运，一台A 型车比一台B 型车每次多清运7 吨垃圾，该区 域每天需要清运垃圾428 吨，每天每台车均需清运垃圾2 次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一 台A 型车和一台B 型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？ 6．（2026·山西·三模）学校图书馆整理科技类图书和文学类图书共 本，科技类图书每本需要贴 个标签，文学类图书每本需要贴个标签，总共贴了 个标签．求科技类图书和文学类图书各有多少 本． 7．（25-26 七年级下·吉林四平·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是 最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和 小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有 座和 座两种型号的客车可供租用， 座客车每辆每天的租金比 座的贵 元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了 辆 座和 辆 座的客车到该博物馆参观，一天的租金 共计 元．” 小萱：“如果我们七年级租用 座的客车 辆，那么还有 人没有座位；如果租用 座的客车可少租 32 / 33 学科网（北京）股份有限公司 辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有________人； (2)客运公司 座和 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 8．（25-26 六年级下·上海·期末）篮球比赛中投进一个球，所得分值有3 种：3 分，2 分和1 分．一名 篮球队员在一场比赛中15 投10 中得20 分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3 倍．求投进三分球 的个数． 9．（2022 七年级下·甘肃武威·竞赛）长沙市某公园的门票价格如表所示： 购票人数 人 人 100 人以上 票价 10 元/人 8 元/人 5 元/人 某校九年级甲、乙两个班共100 多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50 多人不到60 人，乙班 不足50 人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920 元；如果两个班联合起来作为一个团体购 票，一共要付515 元，问甲，乙两班分别有多少人？ 10．（25-26 七年级下·广东广州·期中）【问题情境】 我国新能源车发展迅速，由于电池重量，导致整车质量较大，新能源车轮胎的磨损普遍会比传统能源油 车较大，且前期大多数新能源汽车是前轮驱动和转向的，所以前、后轮的磨损程度不一．从安全角度考 虑，通常前后一起换新轮胎；从性价比考虑，可先进行前、后轮胎换位，使磨损程度均衡，从而延长使 用寿命． 信息1：新能源汽车的轮胎，若只放置在前轮，一般行驶达到 时报废，而放置在后轮，应在行驶 达到 时报废； 信息2：为了让轮胎均匀磨损并延长使用寿命，一般建议每行驶 进行一次轮胎换位． 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 根据以上信息，在不考虑其他因素影响下，解决下列任务： (1)任务一： 可类比工程类问题，将每个新轮胎的总磨损量设为“单位1”或引入未知数． ①汽车前轮轮胎每千米的磨损量为________，后轮轮胎每千米的磨损量为________； ②若汽车没有按照建议，只在行驶了 时进行了1 次前、后轮胎换位，则该汽车第一次轮胎报废 时，汽车行驶的总里程为________ ； (2)任务二： 如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时交换前、后轮轮 胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程． (3)任务三： 若按建议每 更换前后轮胎一次，经过偶数次换位后至有轮胎报废时，汽车的行驶里程最高是多 少？（精确到 ）
