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重难点专题03 二元一次方程组的应用
重难点一、方案问题（二元一次方程组的应用）
解决二元一次方程组方案问题，先设未知数，根据题干两组等量关系列出方
程组。求解后结合实际要求筛选整数解，物品数量、人数必须是非负整数。依次列举可行
方案，再根据总价、成本对比选出最优方案。注意检验所有解是否符合现实条件，不要遗
漏可行情况。
1．（25-26 七年级下·辽宁鞍山·期末）2026 年5 月1 日晚，在鞍山市立山区南沙河举办了一场大型无
人机灯光秀，这次灯光秀共有3000 架无人机参加表演，这3000 架无人机由外市用大型箱式半挂车通过
高速公路运输到鞍山，然后用中型厢货车一次性转运到表演场地．参与转运的中型厢货车有A，B 两种型
号，每辆A 型车运输240 架无人机，每辆B 型车运输120 架无人机，且两种型号车均满载，A 型车数量
是B 型车数量的2 倍，求A 型车和B 型车各有多少辆？设A 型车有
辆，B 型车有
辆，则下列方程组正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【难度】0.85
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、根据实际问题列二元一次方程组
【分析】根据实际问题列二元一次方程组，只需从题干提取两个等量关系，分别列方程即可得到正确方
程组．
【详解】
设A 型车有
辆，B 型车有
辆，且A 型车数量是B 型车数量的
倍，
可得第一个方程
.
总共有
架无人机，每辆A 型车运
架，每辆B 型车运
架，且两种车均满载，
运输无人机总数满足
.
因此可得方程组
．
2．（25-26 九年级下·吉林长春·期中）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货
物．已知1 架
型无人机和2 架
型无人机一次可配送货物220 千克，2 架
型无人机和3 架
型无人机
一次可配送货物380 千克．求1 架
型无人机和1 架
型无人机一次分别可配送货物多少千克．
【答案】1 架
型无人机一次可配送货物100 千克，1 架
型无人机一次可配送货物60 千克
【难度】0.85
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设1 架
型无人机一次可配送货物
千克，1 架
型无人机一次可配送货物
千克，根据题意，
得
，解方程组即可；
【详解】解：设1 架
型无人机一次可配送货物
千克，1 架
型无人机一次可配送货物
千克，根据题
意，得
解得
答：1 架
型无人机一次可配送货物100 千克，1 架
型无人机一次可配送货物60 千克．
3．（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）某校400 名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小
客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示：
大客车（辆）
小客车（辆）
共计载客人数
1
3
105
3
2
175
(1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？
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(2)若租用小客车
辆，租用大客车
辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所
有的租车方案．
【答案】(1)每辆小客车满员能坐20 人，每辆大客车满员能坐45 人
(2)方案1：小客车11 辆，大客车4 辆；方案2：小客车2 辆，大客车8 辆
【难度】0.85
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．
（1）设每辆小客车满员乘坐
人，每辆大客车满员乘坐
人，根据表格中信息，列出方程组，解方程组
即可；
（2）根据每辆小客车满员乘坐20 人，每辆大客车满员乘坐45 人，师生共400 人，列出二元一次方程，
求出方程的正整数解即可．
【详解】（1）解：设每辆小客车满员能坐
人，每辆大客车满员能坐
人，
由题意得：
，
解得：
答：每辆小客车满员能坐20 人，每辆大客车满员能坐45 人．
（2）解：由题意得：
，
整理可得：
，
又因为
均为正整数，于是b 应该是4 的正整数倍．
可得
，
，
方案1：小客车11 辆，大客车4 辆；
方案2：小客车2 辆，大客车8 辆．
4．（25-26 八年级上·四川成都·期末）2025 年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观
众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购
买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共
件，其中蜀绣纪念品每件售价
元，熊猫文创纪念品每件售价
元．
(1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了
元，求购买这两种纪念品各是多少件？
(2)设购买蜀绣纪念品
件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是
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多少元？
【答案】(1)购买蜀绣纪念品
件，购买熊猫文创纪念品
件．
(2)共有三种购买方案，购买蜀绣纪念品
件，购买熊猫文创纪念品
件时，总费用最低，为
元．
【难度】0.85
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题：
（1）题目中的等量关系为：蜀绣纪念品数量
熊猫文创纪念品数量
件，蜀绣纪念品总价
熊猫文创
纪念品总价
元，据此列二元一次方程组即可；
（2）根据题意可知，共有三种购买方案：购买蜀绣纪念品
件，购买熊猫纪念品
件；购买蜀绣纪念
品
件，购买熊猫纪念品
件；购买蜀绣纪念品
件，购买熊猫纪念品
件．
【详解】（1）解：设购买蜀绣纪念品
件，购买熊猫文创纪念品
件．
根据题意，得
解得
所以，购买蜀绣纪念品
件，购买熊猫文创纪念品
件．
（2）根据题意可知，共有三种购买方案：
（Ⅰ）购买蜀绣纪念品
件，购买熊猫文创纪念品
件，可得
总费用
（元）
（Ⅱ）购买蜀绣纪念品
件，购买熊猫文创纪念品
件，可得
总费用
（元）
（Ⅲ）购买蜀绣纪念品
件，购买熊猫文创纪念品
件，可得
总费用
（元）
综上所述，购买蜀绣纪念品
件，购买熊猫文创纪念品
件时，总费用最低，为
元．
5．（25-26 八年级上·四川达州·期末）研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对
自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660 名学生到郊外参加研学活动．已知用3 辆
小客车和2 辆大客车每次可运送学生150 人，用2 辆小客车和1 辆大客车每次可运送学生85 人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车
辆，大客车
辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有
的租车方案．
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(3)在第（2）问的条件下，若1 辆小客车需租金120 元/次，1 辆大客车需租金220 元/次．请选出费用最
少的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)每辆小客车能坐20 名学生，每辆大客车能坐45 名学生
(2)共有3 种租车方案，
方案1：租用24 辆小客车，4 辆大客车；
方案2：租用15 辆小客车，8 辆大客车；
方案3：租用6 辆小客车，12 辆大客车
(3)最省钱的租车方案是方案三，即租用6 辆小客车，12 辆大客车，最少租车费为3360 元
【难度】0.85
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系正确列式是关键．
（1） 设每辆小客车能坐
名学生，每辆大客车能坐
名学生，结合题意列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意得：
，由二元一次方程的解的方法求解即可；
（3）根据（2）中的方法，结合题意分别算出各自的费用，再比较即可求解．
【详解】（1）解：设每辆小客车能坐
名学生，每辆大客车能坐
名学生，
根据题意得：
，
解得：
．
答：每辆小客车能坐20 名学生，每辆大客车能坐45 名学生；
（2）解：根据题意得：
，
，
又
，
均为正整数，
或
或
，
共有3 种租车方案，
方案1：租用24 辆小客车，4 辆大客车；
方案2：租用15 辆小客车，8 辆大客车；
方案3：租用6 辆小客车，12 辆大客车．
（3）解：方案一所需租金为
（元）；
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方案二所需租金为
（元）；
方案三所需租金为
（元）；
，
最省钱的租车方案是方案三，即租用6 辆小客车，12 辆大客车，最少租车费为3360 元．
6．（25-26 八年级上·四川雅安·期末）某农场现有一批苹果要运往当地水果市场，农场准备租用汽车
公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表：
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第1 次
3
2
13
第2 次
4
5
22
(1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨苹果？
(2)若农场共有18 吨苹果，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水
果运完，则汽车公司有哪几种方案？
【答案】(1)每辆甲种货车可装3 吨苹果，每辆乙种货车可装2 吨苹果
(2)农场有两种方案：租用2 辆甲种货车和6 辆乙种货车，或租用4 辆甲种货车和3 辆乙种货车
【难度】0.85
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解
题的关键．
（1）根据表格中两次运输的车辆数与总吨数，设未知数列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设租用甲、乙两种货车的数量，根据总吨数列出方程，结合车辆数为正整数求解所有可能组合．
【详解】（1）解：设每辆甲种货车可装x 吨苹果，每辆乙种货车可装y 吨苹果，
依题意，得
，
解得
．
答：每辆甲种货车可装3 吨苹果，每辆乙种货车可装2 吨苹果；
（2）解：设租用m 辆甲种货车，n 辆乙种货车，
依题意，得：
，
∴
．
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∵m，n 均为正整数，
∴当
时，
，
当
时，
，
∴农场有两种方案：租用2 辆甲种货车和6 辆乙种货车，或租用4 辆甲种货车和3 辆乙种货车；
答：农场有两种方案：租用2 辆甲种货车和6 辆乙种货车，或租用4 辆甲种货车和3 辆乙种货车．
7．（21-22 七年级下·云南昆明·期中）某商场计划花9 万元从厂家购进50 台电视机．已知该厂家生产
三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500 元，乙种每台2100 元，丙种每台2500 元．
(1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50 台，用去9 万元，请你帮助该商场设计进货方案．
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150 元，销售一台乙种电视机可获利200 元，销售一台丙种电视机
可获利250 元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？
【答案】(1)共有2 种进货方案．方案一：购进甲种电视机25 台，乙种电视机25 台．方案二：购进甲种
电视机35 台，丙种电视机15 台．
(2)应选择购进甲种电视机35 台、丙种电视机15 台的进货方案．
【难度】0.55
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50 台”和“买两种电视花去的费用9 万
元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可；
（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可．
【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x 台，乙种电视机y 台．
则有：
，解得：
，
所以购进甲种电视机25 台，乙种电视机25 台．
②设购进乙种电视机a 台，丙种电视机b 台．
则有：
，解得：
，（不符合题意舍去）．
③设购进甲种电视机c 台，丙种电视机d 台．
则有：
，解得：
．
所以购进甲种电视机35 台，丙种电视机15 台．
综上，共有2 种进货方案．方案一：购进甲种电视机25 台，乙种电视机25 台．方案二：购进甲种电视
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机35 台，丙种电视机15 台．
（2）解：方案一获利为：
（元）；
方案二获利为：
（元）．
因为
，
所以应选择购进甲种电视机35 台、丙种电视机15 台的进货方案，此时获利最多．
8．（25-26 七年级下·河南周口·期末）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质
量，该企业进行试生产．他们购得规格是
的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁
法一（2 块A 型、1 块B 型，剩余
）或裁法二（1 块A 型、2 块B 型，剩余
）裁下A 型与B 型
两种板材．如图1，（单位：
）
(1)列出方程（组），求出图中
与
的值；
(2)在试生产阶段，若将30 张标准板材用裁法一裁剪，4 张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A 型与B
型板材做侧面和底面，做成图2 的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A 型板材____________张，B 型板材____________张；
②已知①中的A 型板材和B 型板材恰好做成竖式有盖礼品盒
个，横式无盖礼品盒
个，求
、
的值．
【答案】(1)
；值为
；
(2)①64；38；②
【难度】0.57
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】1）由图示列出关于a、b 的二元一次方程组求解．
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（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A 型板材和B 型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B 两种型号板材的张数列出关于x、y 的二元一次方程组，求解，
即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意列
解得
答：图1 中a 与b 的值分别为：52、44；
（2）解：①由图示裁法一产生A 型板材为：
，
裁法二产生A 型板材为：
，所以两种裁法共产生A 型板材为
（张），
由图示裁法一产生B 型板材为：
，
裁法二产生B 型板材为：
，所以两种裁法共产生B 型板材为
（张）
②根据题意竖式有盖礼品盒
个，横式无盖礼品盒
个，则A 型板材需要
个，B 型板材需要
个，
解得
答：竖式有盖礼品盒7 个，横式无盖礼品盒12 个．
重难点二、行程问题（二元一次方程组的应用）
行程问题牢记基础公式：路程 = 速度 × 时间。相遇问题利用路程之和建
立等式，追及问题依靠路程之差列式；航行题型区分顺水、逆水速度。找准两组路程等量
关系设立未知数，列出方程组。审题分清方向，统一时间、长度单位，避免单位不统一造
成计算错误。
1．（25-26 七年级下·山西吕梁·期末）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了
；从乙码头返回甲
码头逆水而行，用了
．已知水流的速度是
，求船在静水中的平均速度和甲、乙两地之间的距
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离．设船在静水中的平均速度是
，甲、乙两地之间的距离是
，则所列方程组正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设船在静水中的平均速度是
，甲、乙两地之间的距离是
，则顺水速度为
，行驶时间为
，路程为
，可得方程
．逆水速度为
，行驶时间为
，路程为
，可得方程
，即可解答．
【详解】解：设船在静水中的平均速度是
，甲、乙两地之间的距离是
，根据题意，得
．
2．（25-26 七年级下·河南周口·阶段检测）甲乙两人分别从相距
的A、B 两地同时出发，相向而
行，
小时相遇；若同向而行，甲9 小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶
) 分别为（ ）
A．12， 8
B．10， 10
C．14， 6
D．16， 4
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设甲的速度是
，乙的速度是
，根据追及问题和相遇问题列二元一次方程组求解即
可．
【详解】解：设甲的速度是
，乙的速度是
，
由题意可得：
，解得：
．
∴甲的速度是
，乙的速度是
，即A 选项符合题意．
3．（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙
二人运动两次的情形．设甲的平均速度是
，乙的平均速度是
/
，则可列方程组为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲
乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系．
【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶
小时，再与乙共同行驶2 小时，两人走完
的路程，
甲的总路程为
，乙的路程为
，因此列方程为
；
根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1 小时后，两人之间仍相距
，总路程为
，
因此甲乙1 小时的路程和加上
等于总路程，列方程为
；
综上，可列方程组为
，
故选：A．
4．（25-26 七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从
两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步
行，沿同一条道路相向匀速而行，出发
后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进
，相遇后
李
明到达
地．
(1)两人每小时分别行进多少千米？
(2)相遇后经过多长时间刘伟到达
地？
【答案】(1)李明每小时行进16 千米，刘伟每小时行进4 千米
(2)相遇后经过
刘伟到达A 地
【难度】0.85
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、有理数乘除混合运算
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【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．
（1）设李明每小时行进a 千米，刘伟每小时行进b 千米，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）根据路程
速度
时间解答即可．
【详解】（1）解：设李明每小时行进a 千米，刘伟每小时行进b 千米，根据题意得：
，
整理得：
，
解得：
，
答：李明每小时行进16 千米，刘伟每小时行进4 千米；
（2）解：
，
答：相遇后经过
刘伟到达A 地．
5．（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距
的两地相向而行，经过
相遇．设甲的骑行速度为每小时
，乙的骑行速度为每小时
，
(1)列出关于
，
的二元一次方程；
(2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使
，
有唯一的解，并列出方
程组解答你改编后的问题．
【答案】(1)
(2)
解：增加条件：甲的速度比乙快
，即
，
则
，解得
；
答：甲，乙两人的速度分别为
和
．
【难度】0.85
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键：
（1）根据路程等于速度乘以时间，列出方程即可；
（2）添加甲的速度比乙快
，求两人的速度，列出方程组进行求解即可．
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【详解】（1）解：由题意，
，整理，得
；
（2）略
6．（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游
公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200 公里，连接起众多名胜古迹
与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小
韵晚5 小时出发，小新出发29 小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20 小时，小新
驾车行驶的速度比小韵慢20 公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度．
【答案】小新驾车行驶的速度是40 公里/时，小韵驾车行驶的速度是60 公里/时
【难度】0.85
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是
公里/时，小韵驾车行驶的速
度是
公里/时，结合小新比小韵晚5 小时出发，小新出发29 小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消
耗的时间均为20 小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20 公里/时，列出方程组，再解得
，即可作
答．
【详解】解：设小新驾车行驶的速度是
公里/时，小韵驾车行驶的速度是
公里/时，
根据题意，得
，
解得
，
答：小新驾车行驶的速度是40 公里/时，小韵驾车行驶的速度是60 公里/时．
7．（25-26 七年级下·重庆·期中）某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶
后报废；若安装在
后轮，行驶
后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）．
(1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行
驶了
，交换后又行驶了
．请根据题意，列出关于
、
的方程组．
(2)计算
和
的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米．
(3)如果小明希望在总行驶里程达到
时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时
报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
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(2)
，
千米．
(3)小明的这个想法不能实现，理由见解析
【难度】0.52
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设交换前行驶了
，交换后又行驶了
．根据题意列出方程组即可；
（2）方程组变形后求出方程组的解即可；
（3）设交换前行驶了
千米，求出前轮磨损和后轮磨损即可作出判断．
【详解】（1）解：设交换前行驶了
，交换后又行驶了
．则
；
（2）解；
整理得到
解得
∴
，
即这辆自行车最多可以行驶
千米．
（3）小明的这个想法不能实现，理由如下：
设交换前行驶了
千米，则前轮磨损为
，后轮磨损为
，
∵
，
∴在行驶到
千米之前，后轮轮胎就已经报废，所以小明无法在行驶
千米时交换轮胎，
∴小明的这个想法不能实现．
8．（25-26 七年级下·山东日照·期中）骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市
场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10 辆．由于抽调不出足够的熟练工
来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发
现：1 名熟练工和2 名新工人每日可安装8 辆自行车；2 名熟练工和3 名新工人每日可安装14 辆自行
车．
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(1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？
(2)如果工厂抽调
名熟练工，招聘
名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证
新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
(3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为
；如安装在后
轮，安全行驶路程为
，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后
轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议．
①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶
的磨损量为___________，后轮每行驶
的
磨损量为___________；
②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后
轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程．
【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4 辆自行车，每名新工人每日可以安装2 辆自行车
(2)共有2 种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3 名新工人，抽调1 名熟练工；方案二：招聘1 名新工
人，抽调2 名熟练工；
(3)①
，
；②应在自行车行驶里程达到
公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同
时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为
公里
【难度】0.53
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、行程问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解
【分析】（1）设每名熟练工每日可以安装x 辆自行车，每名新工人每日可以安装y 辆自行车，根据题意
列二元一次方程组求解即可；
（2）由题意得，
，则
，再求出符合题意的整数解即可；
（3）①根据“本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为
；如安装在后轮，安全行驶路程为
”即可求解每行驶
的磨损量；
②设自行车行驶
时交换前后轮，总行驶里程为
，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x 辆自行车，每名新工人每日可以安装y 辆自行车，
由题意，可列方程组
解得
答：每名熟练工每日可以安装4 辆自行车，每名新工人每日可以安装2 辆自行车；
（2）解：由题意得，
，则
，
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∵m，n 均为非负整数，且“保证新工人和熟练工在工作上有照应”，
∴
，
∴
或
∴共有2 种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3 名新工人，抽调1 名熟练工；方案二：招聘1 名新工
人，抽调2 名熟练工；
（3）解：①∵本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为
；如安装在后轮，安全行驶路程为
∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶
的磨损量为
，后轮每行驶
的磨损量
为
；
②设自行车行驶
时交换前后轮，总行驶里程为
，
由题意得，
解得
，
答：应在自行车行驶里程达到
公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮
报废时自行车的行驶里程为
公里．
重难点三、工程问题（二元一次方程组的应用）
工程问题常设总工作量为 1，核心公式：工作量 = 效率 × 时间。梳理两
类工作情景，找到两组等量关系构建方程组。分清单人效率、合作效率，注意分工、分段
施工条件。列式完成后检验结果，结合实际判断工期合理性，避开效率相加常见思维误
区。
1．（24-25 七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m 的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施
工，2.5 天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为
x 米/天和y 米/天，可列方程组为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、根据实际问题列二元一次方程组
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键．
根据“甲、乙两个工程队同时施工，
天修完
的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修
了
”，即可得出关于
，
的二元一次方程组．
【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，
天修完
的供暖管线，
∴
；
∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了
，
∴
．
∴根据题意可列方程组
故选：B．
2．（24-25 七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D 四人都可做，下表显示了两人组
合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应
该安排的人是（ ）
组合
A 与B
B 与C
A 与C
B 与D
所需时间
7 天
9 天
11 天
14 天
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D 的工作效率分别为
、
、、
，通过
比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可．
【详解】解：设A、B、C、D 的工作效率分别为
、
、、
（效率指每天完成的工作量）．根据组合
时间可得：
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1．
2．
3．
4．
解前三个方程：
联立方程1、2、3，得：
，
，
．
比较可知：
．
由方程4 得：
（负数不合理，说明D 效率极低）．
综上，B 的效率最高，单独完成时间最短，应安排B．
故选：B．
3．（25-26 七年级下·广东东莞·阶段检测）某地准备修建一条长为
米的道路，由甲、乙两个工程
队负责完成．已知甲工程队每天修路
米，乙工程队每天修路
米．如果两队同时施工，需要多少天能
完成这条道路的修建？请列方程组求解．
【答案】两队同时施工，需要
天才能完成
【难度】0.85
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设甲工程队施工
天，乙工程队施工
天，根据“两队同时施工”和“甲工程队的总工程量
乙
工程队的总工程量
”列方程组求解即可．
【详解】解：设甲工程队施工
天，乙工程队施工
天，
根据题意得：
，
解得
．
答：两队同时施工，需要
天才能完成．
4．（25-26 八年级上·陕西西安·阶段检测）某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建
，下雨时每天修建
，他们连续
天共修建了
，求这
天中有几天不下雨？有几天下
雨？（用二元一次方程组解答）
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【答案】
天中有
天不下雨，有天下雨
【难度】0.85
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程组；
根据
天共修建了
可列方程组求解即可．
【详解】解：设这
天中有
天不下雨，有
天下雨，
根据题意，得
解得
，
答：这
天中有
天不下雨，有天下雨．
5．（2025 八年级上·全国·专题练习）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条
长的公路，
甲队每天修建
，乙队每天修建
，一共用15 天完成．
(1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组
请写出小红所列方程组中未知数x，y
表示的意义：x 表示________________，y 表示________________．该方程组中□处的数应是________，
△处的数应是________．
(2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了
公路，乙队一共修建了
公路．下面请你按照小芳的设想
列出方程组，并求出乙队修建的天数．
【答案】(1)甲队修路的天数，乙队修路的天数，15，335
(2)方程组为
，7 天
【难度】0.85
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）利用工作总量=工作效率×工作时间，结合题意列出方程组，即可解决问题；
（2）利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲、乙两队完成
米公路的修建任务，列出关于
、
二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：∵甲队每天修建
，乙队每天修建
，一共用
天完成，
则小红所列方程组为
∴小红所列方程中
表示甲队修建公路的天数，
表示乙队修建公路的天数，该方程组中□处的数应是
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，△处的数应是
．
故答案为：甲队修路的天数，乙队修路的天数，
，
．
（2）解：方程组为
解得
所以乙队修建了
（天）．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系及
小红所列的方程，找出小红所列方程中未知数
，
表示的意义；（2）找准等量关系，正确列出二元一
次方程组．
6．（24-25 九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅
游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长
千米的穿山隧道．为
缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2 米，经过
天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？
【答案】甲组平均每天开凿
米，乙组平均每天开凿
米
【难度】0.85
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确出方程组求解．
设甲组平均每天开凿
米，乙组平均每天开凿
米，根据题意列出方程组求解．
【详解】解：设甲组平均每天开凿
米，乙组平均每天开凿
米．
根据题意，得
，
解得
，
答：甲组平均每天开凿
米，乙组平均每天开凿
米．
7．（25-26 六年级下·上海·期末）夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300
台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3 个安装
小组，6 天恰好完工；如果安排5 个安装小组，2 天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安
装小组每天安装空调多少台？
【答案】每天新申请安装空调100 台，每个安装小组每天安装空调50 台．
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【难度】0.65
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设每天新申请安装空调x 台，每个安装小组每天安装空调y 台，然后根据每天安装的空调数乘以
天数等于安装的总空调数，列出方程组即可解答．
【详解】解：设每天新申请安装空调x 台，每个安装小组每天安装空调y 台，
依题意得
解得
答：每天新申请安装空调100 台，每个安装小组每天安装空调50 台．
8．（2026·宁夏银川·二模）为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美
化．现有一段长为180 米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8 米，
乙工程队每天整治12 米，共用时20 天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度．
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x 米，乙工程队整治河道y 米．
根据题意，得
小华同学：设整治任务完成后，m 表示___________，n 表示___________．
根据题意，得
请你补全小明、小华两位同学的解题思路；
(2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程）
【答案】(1)
，
，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，
，
．
(2)整治任务完成后甲工程队整治河道120 米，乙工程队整治河道60 米．
【难度】0.62
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可；
（2）选择适当的方法解方程组即可．
本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下：
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小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道
米，乙工程队整治河道
米，
根据题意，得
小华同学：设整治任务完成后，
表示甲工程队整治河道用的天数，
表示乙工程队整治河道用的天
数，
根据题意，得
（2）解：选小明同学所列方程组解答如下：
设整治任务完成后，甲工程队整治河道
米，乙工程队整治河道
米，
根据题意，得
②
，得
．③
①
，得
．④
③－④，得
．把
代入①，得
．
答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120 米，乙工程队整治河道60 米．
选小华同学所列方程组解答如下：
设整治任务完成后，甲工程队整治河道用
天，乙工程队整治河道用
天，根据题意，得
．
①
，得
．③
②－③，得
，
．把
代入①，得
，
，
．
答：整治任务完成后甲工程队整治河道120 米，乙工程队整治河道60 米．
重难点四、数字问题（二元一次方程组的应用）
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数字问题切勿直接设多位数为未知数，应设数位上的数字。例如两位数，设
十位数字、个位数字。利用原数与新数大小关系、倍数关系寻找等量关系。数字调换位置
后，及时正确表示出新数值。计算完成验证数字范围，每位数字取值 0~9，最高位不能为
0。
1．（25-26 七年级下·浙江温州·期中）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻
方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶
幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则
的值是（ ）
A．
B．0
C．1
D．3
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】首先根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”列方程组求出
，然后求出
第一行三个数之和和中间的数，进而求解即可．
【详解】解：根据题意得，
，
解得
，
∴
，
，
∴
的值是
．
2．（25-26 八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现
的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的
三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则
的值分别是（ ）
3
2
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A．
，0
B．1，
C．
，1
D．1，0
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题的关键；根据每行、每列、
每条对角线上的三个数之和都相等列方程组求解即可．
【详解】解：
每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，
，
整理得
，
解得：
，
的值分别是
，1，
故选：
．
3．（25-26 七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”
（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9 个数填在
（三
行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个
广义的三阶幻方．图3 的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则
（ ）．
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)、数字类规律探索
【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每
行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程．
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【详解】解：观察图3 得
，
解得
，
．
故选：A．
4．（25-26 八年级上·全国·课后作业）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间
看到的里程碑上的数如下：
时刻
9：00
10：00
11：30
里程碑上的数
是一个两位数，它
的两个数字之和为6
是一个两位数，它
的十位与个位数字
是9：00 时所看到
的两位数正好互换
了
是一个三位数，它
比9：00 时看到的
两位数中间多了个0
则10：00 小明看到的两位数为（ ）
A．21
B．32
C．42
D．51
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
根据表格中的内容，可用含
的代数式表示出
，
及
时看到里程表上的数，根据“
时里程碑上的两个数字之和是
，及行驶的路程与时间成正比”，可列出关于
的二元一次方程组，
解之可得出
的值，再将其代入
中，即可求出结论．
【详解】解：设：
时里程碑上的这个两位数十位数字为
，个位数字为
，
根据题意得：
时里程碑上的数字为
；
时里程碑上的数字为
；
时里程碑上的数字为
；
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根据题意得：
，
解得：
，
∴
．
答：
时里程碑上的数为
．
故选：D.
5．（23-24 七年级下·河北唐山·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十
位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为
，个位数字为
，则下列说法正
确的是（ ）
A．根据题意，列方程组得
B．根据题意，列方程组得
C．这个两位数是26
D．这个两位数是62
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数
之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，
此题得解．
【详解】解：依题意得：
，即
，
解得：
，
则这个两位数是
．
故选：A．
6．（25-26 七年级下·山东临沂·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的
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幻方——九宫格，将9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3 个数之
和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】利用幻方的性质，即每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3 个数之和相等进行分析
即可．
【详解】解；如图：
则有
，解得
，
则有
，解得
，
则有
，解得
，
则有
，解得
，
7．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把
十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大63，求原来两位数．（列方程组解
答）
【答案】原来两位数为29．
【难度】0.65
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设原来两位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，
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依题意有
，
解得
，
答：原来两位数为29．
8．（25-26 七年级下·广东东莞·阶段检测）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数
加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数．
(1)求这个两位数．
(2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？
(3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的
2 倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)35
(2)大18
(3)不存在，理由见解析
【难度】0.52
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y 的二元一次方程组
求解，然后进一步即可得出答案．
（2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案．
（3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b 的二元一次方程组，求解即可
得出
，由a、b 均为0−9 的整数，且
，a 必须是8 的倍数，符合条件的a 只有8，此时
（不是个位数），不符合题意，
【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
根据题意，得
解得
，
∴这个两位数是
．
（2）解：对调后的新两位数为53，
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答：新两位数比原两位数大18．
（3）解：不存在
理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，
根据题意得
整理方程②：
，即
．
∵ a、b 均为0−9 的整数，且
，a 必须是8 的倍数，符合条件的a 只有8，
此时
（不是个位数），不符合题意，
故不存在这样的两位数．
以
．
重难点五、年龄问题（二元一次方程组的应用）
年龄问题核心规律：人与人年龄差值始终不变。随着年份变化，所有人年龄
同步增减。设两人现在年龄为未知数，依据当下年龄关系、若干年后年龄倍数关系列出两
组等式。列式时注意年份同步加减，不要只改动其中一人年龄，求出结果后带入题干验证
逻辑。
1．（20-21 七年级下·江苏南京·期末）小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4 岁，
你到我这么大时，我就40 岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（ ）
A．8 岁、20 岁
B．16 岁、28 岁
C．15 岁、27 岁
D．9 岁、21 岁
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔
现在的年龄是
岁，小君现在的年龄是
岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4 岁，你到我
这么大时，我就40 岁了，列方程组求解即可．
【详解】解：设叔叔现在的年龄是
岁，小君现在的年龄是
岁，
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由题意可得：
，
解得：
．
故叔叔现在的年龄是28 岁，小君现在的年龄是16 岁．
故选：B．
2．（20-21 八年级上·陕西榆林·期末）10 年前，小明妈妈的年龄是小明的6 倍，10 年后，小明妈妈的
年龄是小明的2 倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x 岁
和y 岁，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．
由“10 年前，小明妈妈的年龄是小明的6 倍”可知
，由“10 年后，小明妈妈的年龄是
小明的2 倍”可知
，进而列方程组即可．
【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x 岁和y 岁，由题意可得：
故选：B
3．（21-22 七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么
大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36 岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（ ）
A．24、12
B．24、11
C．25、11
D．26、10
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设老师现在的年龄是
岁，学生现在的年龄是
岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程
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组求解．
【详解】解：设老师现在的年龄是
岁，学生现在的年龄是
岁，
由题意可得：
，
解得：
．
故老师现在的年龄是24 岁，学生现在的年龄是12 岁．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．
4．（25-26 七年级下·全国·课后作业）一名34 岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个
孩子与记者的对话：
根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（ ）
A．9 岁，7 岁
B．10 岁，6 岁
C．12 岁，7 岁
D．12 岁，6 岁
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键；
根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄．
【详解】解：设妹妹的年龄为x 岁，哥哥的年龄为y 岁
由①得：
把③代入②，得
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把
代入③
故方程组的解为
即妹妹的年龄为
岁，哥哥的年龄为
岁；
故选：B ．
5．（24-25 七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁
数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7 岁．”则今年甲的年龄为___
岁．
【答案】28
【难度】0.85
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x 岁，乙的年龄为y 岁，根据我
像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程
，根据当你到我这
样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7 岁可得方程
，据此建立方程组求解
即可．
【详解】解：设今年甲的年龄为x 岁，乙的年龄为y 岁，
由题意得，
，
解得
，
∴今年甲的年龄为28 岁，
故答案为：28．
6．（25-26 七年级上·全国·单元复习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10 岁，乙是甲现在的年龄时，甲
25 岁，则甲、乙现在的年龄差为___________．
【答案】5
【难度】0.85
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在
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的年龄是x 岁，乙现在的年龄是y 岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10 岁，乙是甲现在的年龄时，甲25
岁，列出方程组，求出
即可．
【详解】解：设甲现在的年龄是x 岁，乙现在的年龄是y 岁，由题意可得：
，
即
由此可得：
，
∴
，即甲比乙大5 岁．
故答案为：5．
7．（22-23 七年级上·全国·期末）小强问叔叔多少岁了．叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁．你
到我这么大时，我就 40 岁了．”问小强和叔叔今年各是多少岁？
【答案】小强今年 16 岁，叔叔今年 28 岁
【难度】0.62
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设小强今年 x 岁，叔叔今年 y 岁，根据小强和叔叔的年龄差不变，列出二元一次方程组并求解
即可．
【详解】解：设小强今年 x 岁，叔叔今年 y 岁，根据小强和叔叔的年龄差不变，可得
解得
答：小强今年 16 岁，叔叔今年 28 岁．
8．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）小明和小亮比年龄．小明说：“再过
年，我就和你现在一样
大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的
年龄．（列二元一次方程组解应用题）
【答案】小明现在
岁，小亮现在
岁．
【难度】0.65
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设小明现在
岁，小亮现在
岁，根据题意得
，然后解方程组即可．
【详解】解：设小明现在
岁，小亮现在
岁，
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根据题意得
，
解得：
，
答：小明现在
岁，小亮现在
岁．
重难点六、分配问题（二元一次方程组的应用）
分配问题重点抓住总量不变，区分两种分配方案。读懂分配后的剩余、缺少
条件，提取两组等量关系，设置未知数建立方程组。分清分配对象总数与物资总数，避免
等量关系混淆。求解后核对物资数量与分配人数，确保答案契合题目给出的盈、亏条件。
1．（2026·河南三门峡·三模）某车间有80 名工人生产太阳镜，1 名工人每天可生产镜片300 片或镜架
60 个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排
名工人
生产镜片，
名工人生产镜架，则可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.84
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】找出题目中的两个等量关系，一个是工人总人数，另一个是配套关系下镜片和镜架的数量关
系，据此列出方程组即可．
【详解】解：设安排
名工人生产镜片，
名工人生产镜架，
∵车间总共有
名工人，
∴
，
∵两个镜片和一个镜架配套，因此镜片总数量应为镜架总数量的
倍，生产镜片总数量为
，生产镜
架总数量为
，
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∴
，
∴可得方程组
．
2．（2026·内蒙古通辽·三模）我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多
“盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区
生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8 锭，还剩余5 锭；若每人分10 锭，则
缺少7 锭．若设参与分配的牧民有
人，驮银有
锭，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、分配问题(二元一次方程组的应用)
【详解】解：∵参与分配的牧民有
人，驮银有
锭，
则当每人分锭，剩余锭时，总驮银
，
当每人分
锭，缺少
锭时，总驮银
，
因此可得方程组
．
3．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某车间有90 名工人，每人每天平均能生产螺栓15 个
或螺帽24 个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设
生产螺栓x 人，生产螺帽
人，列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配
套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2 倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2 倍=螺帽数
量．
等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即
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可．
【详解】解：设生产螺栓x 人，生产螺帽
人，
根据总人数可得方程
；
根据生产的零件个数可得方程
，
可得方程组：
．
故选A．
4．（25-26 七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1 张桌子配4 把椅子），已知
每块板材可制作桌子1 张或椅子3 把，现计划用140 块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），
生产出来的桌椅刚好配套．设用
块板材制作桌子，用
块板材制作椅子，则
________．
【答案】60
【难度】0.85
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组在配套问题中的应用，掌握根据配套比例建立数量关系，结合总资源
数列方程的方法是解题的关键．
根据总板材数和桌椅配套关系列出二元一次方程组，通过代入法求解
．
【详解】解：设用
块板材制作桌子，
块板材制作椅子，
由总板材数可得
．
生产桌子
张，椅子
把，由于配套要求为张桌子配
把椅子，故椅子数量是桌子数量的
倍，即
．
联立方程得：
解得：
故答案为：
．
5．（25-26 九年级上·吉林长春·期末）一张方桌由1 个桌面、4 条桌腿组成，如果
木料可以做方桌
的桌面50 个或做桌腿300 条，现有
木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，
做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌?
【答案】用
的木料做桌面，
的木料做桌腿，恰好能配成方桌
【难度】0.85
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、分配问题(二元一次方程组的应用)
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【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用
木料做桌面，用
木料做桌腿，找出等量关系
列出方程组，最终求解方程组即可得出结果．
【详解】解：设用
木料做桌面，用
木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌，
根据题意得
，解得
，
即用
的木料做桌面，
的木料做桌腿，恰好能配成方桌．
6．（25-26 八年级上·江西鹰潭·阶段检测）某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3
人，那么有12 人无法住宿；如果每间宿舍住5 人，那么就会空出2 间宿舍．设宿舍有
间，学生有
人．
(1)请根据题意，列出二元一次方程组；
(2)宿舍有多少间？学生有多少人？
【答案】(1)
(2)宿舍有11 间，学生有45 人
【难度】0.85
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键．
（1）设宿舍有
间，学生有
人．根据题意，列出二元一次方程组，即可；
（2）利用代入消元法解答即可．
【详解】（1）解：设宿舍有
间，学生有
人．
根据题意，列出二元一次方程组：
；
（2）解：由（1）得
把②代入①，可得
，
解得
，
把
代入①，得
，
解得
，
∴二元一次方程组的解为
，
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答：宿舍有11 间，学生有45 人．
7．（25-26 六年级下·上海·期末）某企业有A，B 两条加工相同原材料的生产线，A 生产线共加工a 吨
原材料，加工时间为
小时；
生产线共加工b 吨原材料，加工时间为
小时．
(1)当
时，A 生产线的加工时间是 小时，B 生产线的加工时间是 小时．
(2)第一天，该企业把5 吨原材料分配到
，
两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工
时间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？
(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5 吨原材料后，又给
生产线分配了m 吨原材料，
给
生产线分配了n 吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时
间相同，则m 和n 有怎样的数量关系？若此时m 与n 的和为9 吨，则m 和n 的值分别为多少？
【答案】(1)5，5
(2)分配到
生产线2 吨，则分配到
生产线3 吨
(3)m 与n 的关系为
，当
时，
，
【难度】0.65
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）因为已知
、
的取值，所以直接将数值分别代入A、B 生产线的加工时间公式计算即可；
（2）首先设分配到A 生产线
吨，则分配到B 生产线
吨，根据总吨数5 吨和两条生产线加工时间相
同，可以列二元一次方程组求解；
（3）先根据第一天的分配结果，写出第二天A、B 生产线各自的总加工吨数；因为加工时间相同，所以
令两者的加工时间表达式相等，整理即可得到
和
的数量关系；再结合
的条件，联立两个方程
求解
、
的值．
【详解】（1）解：当
时，A 生产线加工时间为
（小时）；
当
时，B 生产线加工时间为
（小时）．
（2）解：设分配到A 生产线
吨，则分配到B 生产线
吨，
根据题意得：
，解得
，
答：分配到A 生产线
吨，则分配到B 生产线吨．
（3）解：由第（2）问可知第一天A 分配了2 吨、B 分配了3 吨，额外分配后A 的总加工量为
吨，B 的总加工量为
吨．
根据加工时间相同列等式：
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展开化简：
，
得
，即
，
当
时，
，
解得
，则
．
【点睛】本题考查了代数式求值、二元一次方程组实际应用以及二元一次方程组的求解，解题的关键是
准确提取题干中的时间等量关系，根据两条生产线加工时间相同的核心条件建立对应的方程，结合实际
问题的取值约束求解未知量．
8．（21-22 七年级下·江苏宿迁·阶段检测）某学校实践课准备用图甲所示的A 型正方形板材和B 型长
方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
(1)若学校现有库存A 型板材50 张，B 型板材100 张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材
用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
(2)若学校新购得n 张规格为
的C 型正方形板材，将其中一张板材切割成了3 张A 型板材和2 张B
型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A 型板材，另一部分全部切割成B 型板材（不计损
耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20 只，且材料恰好用完，则n 的最小值
是多少？此时能制作横式箱子多少只？
【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10 只和20 只
(2)n 的最小值是35，此时能制作横式箱子5 只
【难度】0.65
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设竖式做
个，横式做
个，根据现有库存A 型板材50 张，B 型板材100 张，用这批板材
制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可；
（2）设制作横式箱子
只，设余下的
张C 型中有
张切割为A 型，剩余
张切割为B 型
（
为非负整数），根据竖式箱子做20 只，横式箱子做
只，根据总板材需求列出方程，化简得出
，再对k，n 进行讨论，即可求得．
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【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1 个需要1 张A，4 张B，横式纸盒做1
个需要2 张A，3 张B，
设竖式做
个，横式做
个，
则
，解得：
，
答：制作出竖式和横式的箱子分别为10 只和20 只；
（2）解：∵1 张
的C 型板材，全切割为A 型可得9 张A 型，全切割为B 型可得3 张B 型；其中1
张已经切割为3 张A 型、2 张B 型，
设制作横式箱子
只，设余下的
张C 型中有
张切割为A 型，剩余
张切割为B 型（
为非
负整数），
已知竖式箱子做20 只，总板材需求满足：
A 型总数：
，整理得：
，即
；
B 型总数：
，整理得：
，
将
代入
，得：
，
因为
且为整数，所以
为正偶数，得
为最小奇数
（
时
为负，舍去）；
代入得：
，
，是最小的正整数
，
即
的最小值为
，此时能制作横式箱子只．
重难点七、销售、利润问题（二元一次方程组的应用）
熟练运用公式：利润 = 售价−进价，总利润 = 单件利润 × 销量。理清进
价、标价、折扣之间联系，折扣需要换算。寻找两组销售情景，列出方程组。审题区分单
件成本与总成本，不要混淆标价和实际售价。算出结果后验算总收入与利润，规避经济类
题型常见陷阱。
1．（24-25 七年级下·河北唐山·阶段检测）根据以下对话，可以求得明明所买的笔和笔记本的价格分
别是（ ）
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A．
元/支，
元/本
B．
元/支，
元/本
C．
元/支，
元/本
D．
元/支，
元/本
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】先理解题意，设笔的价格为x 元/支，笔记本为y 元/本，根据对话内容进行列方程组，再解得
，即可作答．
【详解】解：设笔的价格为x 元/支，笔记本为y 元/本，
依题意，列方程组：
，
解得
，
∴笔的价格为
元/支，笔记本为
元/本，
2．（2026·山西阳泉·模拟预测）山西博物院某文创商店热销两款经典文创产品：晋侯鸟尊钥匙扣与雁
鱼铜灯书签．已知购买3 个晋侯鸟尊钥匙扣和2 个雁鱼铜灯书签共需159 元；购买1 个晋侯鸟尊钥匙扣
和5 个雁鱼铜灯书签共需144 元．设1 个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x 元，1 个雁鱼铜灯书签的价格为y
元，根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
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【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设1 个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x 元，1 个雁鱼铜灯书签的价格为y 元，根据“购买3 个晋侯鸟
尊钥匙扣和2 个雁鱼铜灯书签共需159 元；购买1 个晋侯鸟尊钥匙扣和5 个雁鱼铜灯书签共需144
元”，列方程组求解即可；
【详解】解：设1 个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x 元，1 个雁鱼铜灯书签的价格为y 元，
根据题意可得：
．
3．（25-26 七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解应用题：
电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据
最新统计更新，《哪吒之魔
童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674 亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648 亿美元
总票房，升至全球影史票房榜第4 名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40 元，银
河厅每张票售价50 元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20 张票，由于星光厅余票不足20
张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950 元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？
【答案】实践小组买了星光厅票5 张，银河厅票15 张．
【难度】0.83
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题根据总票数和总花费两个等量关系，设两个未知数列出二元一次方程组，求解方程组即可
得到结果．
【详解】解：设实践小组买了星光厅票
张，银河厅票
张，
根据题意可得
，
解得
，
即实践小组买了星光厅票5 张，银河厅票15 张．
4．（2026·山西阳泉·三模）4 月16 日至24 日，2026 年山西省全民阅读大会暨全民阅读活动周在晋城
举办．某校举办“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动，计划给图书馆添置书籍，已知购买4 本《论
语》和购买5 本《诗经》的费用相同，购买2 本《论语》比购买3 本《诗经》少8 元，求《论语》和
《诗经》的单价分别是多少．
【答案】《论语》的单价为20 元，《诗经》的单价为16 元
【难度】0.85
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
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【分析】设《论语》的单价为
元，《诗经》的单价为
元，根据“购买4 本《论语》和购买5 本《诗
经》的费用相同，购买2 本《论语》比购买3 本《诗经》少8 元”列二元一次方程组求解．
【详解】解：设《论语》的单价为
元，《诗经》的单价为
元．
根据题意，得
解得
答：《论语》的单价为20 元，《诗经》的单价为16 元．
5．（25-26 八年级下·重庆秀山·期末）某学校准备购买两种造型花卉来装扮校园，已知购买
株
种
花卉和
株
种花卉共需
元；购买
株
种花卉和
株
种花卉共需
元．
(1)求这两种花卉的单价；
(2)在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下：
种花卉按原价的七折销售，购买
种花卉
株以上，超出部分按原价的五折销售．设购买
株
种花卉需要
元，购买
株
种花卉需要
元，分别求出
，
关于
的函数解析式．
【答案】(1)
种花卉单价为
元，
种花卉单价为
元
(2)
（
为非负整数）
【难度】0.65
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）设
种花卉单价为
元，
种花卉单价为
元，列二元一次方程组解题；
（2）根据题意分别求出函数解析式即可．
【详解】（1）解：设
种花卉单价为
元，
种花卉单价为
元，
则有
，
解得
，
∴
种花卉单价为
元，
种花卉单价为
元；
（2）解：由题意知，
（
为非负整数）；
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当
，且
为整数时，
，
当
，且
为整数时，
；
∴
（
为非负整数）；
．
6．（22-23 九年级下·河南郑州·开学考试）小刚去文具店购买画笔，第一次用27 元买了3 支A 型画笔
和4 支B 型画笔，第二次用49 元买了8 支A 型画笔和3 支B 型画笔．
(1)求A 型画笔和B 型画笔的单价．
(2)小刚使用两种画笔后，决定以后使用A 型画笔，但感觉其价格稍贵，和文具店沟通后，文具店给出以
下优惠方案：若一次购买A 型画笔不超过24 支，每支打九折；若一次购买A 型画笔超过24 支，则前24
支不打折，超过的部分打七五折．
设小刚购买A 型画笔
支，购买费用为
元，请写出
关于
的函数关系式．
(3)在（2）的优惠方案下，若小刚计划用210 元（全部花完）购买A 型画笔，则能购买多少支A 型画笔？
【答案】(1)A 型画笔的单价为5 元，B 型画笔的单价为3 元
(2)
（其中x 是自然数）
(3)购买48 支A 型画笔
【难度】0.65
【知识点】求一次函数自变量或函数值、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、梯度计价问题
【分析】（1）设A 型画笔的单价为
元，B 型画笔的单价为
元．根据“27 元买了3 支A 型画笔和4 支
B 型画笔，49 元买了8 支A 型画笔和3 支B 型画笔”列出二元一次方程组，求解即可；
（2）分
和
两种情况列出函数关系式即可；
（3）把
代入（2）中的函数关系式，求解即可．
【详解】（1）解：设A 型画笔的单价为
元，B 型画笔的单价为
元．根据题意，得
，解得
．
答：A 型画笔的单价为5 元，B 型画笔的单价为3 元．
（2）解：当
时，
．
当
时，
．
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关于
的函数关系式为
（其中x 是自然数）．
（3）解：当
，解得
．
，
∴不合题意，舍去．
当
，解得
．
，
符合题意．
答：若小刚计划用210 元（全部花完）购买A 型画笔，则能购买48 支A 型画笔．
7．（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】
某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修
施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下：
【提出问题】
①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费
元；
②若先由甲队单独施工
天，剩余工程交由乙队单独施工
天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳
务费
元．
【分析问题】
经测算：甲队独立完成全部工程需要
天，乙队独立完成全部工程需要
天．商铺正常营业每日净利润
为
元，停工装修期间没有营业收入．
请结合以上信息，完成以下实践分析：
【解决问题】
(1)设甲队工作天商店需付费
元，乙队工作天商店需付费
元，请列出二元一次方程组，并求解甲、
乙两队每日劳务费用；
(2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个
成本更低，并说明理由．
【答案】(1)甲、乙两队每日劳务费用分别为
元，
元
(2)单独聘请甲队完成装修的总花费更低，
理由：单独聘请甲队完成装修的总花费
（元），
单独聘请乙队完成装修的总花费
（元），
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，
单独聘请甲队完成装修的总花费更低
【难度】0.62
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）根据两队同时施工天的总劳务费和甲单独施工
天、乙单独施工
天的总劳务费，列出
二元一次方程组，解方程组即可得到两队每日劳务费用；
（2）分别用“每日劳务费+每日净利润”乘以各自的独立工期，算出单独聘请甲、乙两队的总花费，再
比较两个总花费的大小，即可判断哪个成本更低．
【详解】（1）解：由题意列方程组为：
，
解得
，
答：甲、乙两队每日劳务费用分别为
元，
元．
（2）略
8．（2026·广东广州·二模）某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知
购买1 枚国风书签和2 个校徽钥匙扣需要8 元，购买2 枚国风书签和3 个校徽钥匙扣需要13 元．
(1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格；
(2)班委准备用33 元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件．
①写出
枚国风书签和
个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数；
②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概
率．
【答案】(1)每枚国风书签的价格为2 元，每个校徽钥匙扣的价格为3 元；
(2)①
，符合条件的方案有5 个；②买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率为
．
【难度】0.48
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设每枚国风书签的价格为x 元，每个校徽钥匙扣的价格为y 元，根据“购买1 枚国风书签
和2 个校徽钥匙扣需要8 元，购买2 枚国风书签和3 个校徽钥匙扣需要13 元”列出方程组，解方程组即
可；
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（2）①根据购买m 枚国风书签和n 个校徽钥匙扣的总费用列出m，n 的数量关系，再根据m，n 为正整
数写出方案；
②根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：设每枚国风书签的价格为x 元，每个校徽钥匙扣的价格为y 元．
根据题意列方程组：
，
解得
，
答：每枚国风书签的价格为2 元，每个校徽钥匙扣的价格为3 元；
（2）解：①由（1）可知，国风书签单价2 元，校徽钥匙扣单价3 元，总费用33 元，
可得：
，
∴
，
因为m，n 都是正整数，
所以
必须是正偶数，
∴
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
（舍去，因为每种奖品至少买一件）．
所以符合条件的方案有5 个；
②校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即
，
∴
，
和
，
，
∵满足条件的方案有2 个，总方案数为5 个，
∴概率为：
．
重难点八、和差倍分问题（二元一次方程组的应用）
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和差倍分题型，抓住关键词转化文字语言。看见 “和、差、几倍、多、
少” 直接翻译成等式。设两个基础量为未知数，整理两组独立等量关系列出方程组。答
题重点区分 A 是 B 的几倍、A 比 B 多几倍两种表述，两者含义不同，审题仔细防止列
式出错。
1．（25-26 七年级下·浙江台州·期中）班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520 元买50 瓶饮品，
矿泉水每瓶4 元，运动饮料每瓶12 元．设矿泉水
瓶，运动饮料
瓶，正确方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】根据班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520 元买50 瓶饮品，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意得：
，
故选：C．
2．（25-26 九年级下·吉林松原·期中）2026 年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能
机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B 两型智能分拣机器人来处理
该物流中心包裹的分类．已知2 台A 型机器人每小时的总分拣量是3 台B 型机器人每小时的总分拣量，1
台A 型机器人和2 台B 型机器人每小时共分拣3500 件包裹．求A、B 两型机器人每小时分别分拣多少件
包裹？
【答案】A 型机器人每小时分拣1500 件包裹，B 型机器人每小时分拣1000 件包裹
【难度】0.85
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】列二元一次方程组解决实际问题．
【详解】解：设A 型机器人每小时分拣x 件包裹，B 型机器人每小时分拣y 件包裹．
由题意列二元一次方程组，得
，
解得
，
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答：A 型机器人每小时分拣1500 件包裹，B 型机器人每小时分拣1000 件包裹．
3．（25-26 七年级下·河南开封·期中）某港口码头使用
，
两种型号的机器人搬运货物，在
内，
3 台
型机器人和2 台
型机器人共搬运货物
，且每台
型机器人比
型机器人多搬运货物
．
(1)每台
型机器人和每台
型机器人
的搬运量分别是多少？
(2)若安排10 台
型机器人和12 台
型机器人，求这些机器人
内的总搬运量是多少吨？
【答案】(1)
每台
型机器人
的搬运量是
，每台
型机器人
的搬运量是
(2)
这些机器人
内的总搬运量是
【难度】0.86
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）根据（1）中求出的结果计算即可．
【详解】（1）解：设每台
型机器人
的搬运量是
，每台
型机器人
的搬运量是
，
则有
，
解得
，
答：每台
型机器人
的搬运量是
，每台
型机器人
的搬运量是
；
（2）解：
，
答：这些机器人
内的总搬运量是
．
4．（2022·吉林长春·三模）2022 年第19 届亚运会即将在我国杭州举行．如图是杭州市桐庐县瑶琳镇
林场区块，从高处俯瞰，有一处白绿相间的“马”字形建筑分外引人注目，这里就是杭州亚运会马术项
目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4 万平方米，包括各种功能区．其中主赛场和室内训练场
总共占17000 平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2 倍还多2000 平方米．问主赛场的面积和室内
训练场的面积各多少平方米？
【答案】主赛场的面积为12000 平方米，室内训练场的面积为5000 平方米
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【难度】0.85
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设主赛场的面积为x 平方米，室内训练场的面积为y 平方米，根据其中主赛场和室内训练场总共
占17000 平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2 倍还多2000 平方米，列出方程组进行求解即可.
【详解】解：设主赛场的面积为x 平方米，室内训练场的面积为y 平方米．
根据题意，得
解得
答：主赛场的面积为12000 平方米，室内训练场的面积为5000 平方米．
5．（25-26 八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380 人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不
同类型的客车共10 辆，租用1 辆甲型客车需租金600 元，租用1 辆乙型客车需租金500 元，租车费用共
5600 元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5 个座位，且租用的所有客车刚好满座．
(1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解）
(2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位．
【答案】(1)租用甲型客车6 辆，乙型客车4 辆
(2)一辆甲型客车有40 个座位，一辆乙型客车有35 个座位
【难度】0.85
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）设租用甲型客车
辆，乙型客车
辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可；
（2）设一辆乙型客车有
个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5 个座位，且租用的所有客车刚
好满座，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设租用甲型客车
辆，乙型客车
辆，根据题意，得
解得
；
答：租用甲型客车6 辆，乙型客车4 辆．
（2）解：设一辆乙型客车有
个座位，则一辆甲型客车有
个座位，根据题意，得
解得
，
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答：一辆甲型客车有40 个座位，一辆乙型客车有35 个座位．
6．（25-26 七年级下·陕西延安·期末）某俱乐部的
名成员相约周末去爬山，有徒步爬山和坐索道上
山两种爬山方式，选择徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多
人，求选择徒步爬山
和坐索道上山的成员各有多少人？（请用二元一次方程组的知识解答）
【答案】选择徒步爬山的成员有
人，选择坐索道上山的成员有
人
【难度】0.7
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设选择徒步爬山的成员有
人，选择坐索道上山的成员有
人，根据总人数为
人，徒步爬山
的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多
人，列出方程组并解方程组，即可得到答案．
【详解】解：设选择徒步爬山的成员有
人，选择坐索道上山的成员有
人，
根据题意可列方程组：
，
解得：
，
答：选择徒步爬山的成员有
人，选择坐索道上山的成员有
人．
7．（25-26 七年级下·北京通州·期末）列方程组解应用题：
2026 年5 月11 日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男
队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层
底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为
，杯身高比6 层底座高多
，垫台高与
杯身高之和是
，求这届斯韦思林杯的总高度．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
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【分析】设垫台高为
，则一层底座高为
，则6 层底座高为
，杯身高为
，根据题意
列出方程组并解方程组得到
的值，即可求出斯韦思林杯的总高度．
【详解】解：设垫台高为
，则每层底座高为
，则6 层底座高为
，杯身高为
，
根据题意可得，
解得
，
则这届斯韦思林杯的总高度为
．
8．（2025 八年级上·全国·专题练习）某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生
做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计，
主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的
少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选
演讲与口才与选信息技术的人数之和的5 倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选
手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？
【答案】参加调查问卷的学生有48 名
【难度】0.4
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】通过设未知数，根据数量关系列出方程组，求解出各项目的人数，进而得出参加调查问卷的学
生总数．
【详解】解：设选信息技术的有
人，选演讲与口才的有
人，则选手工制作的有
人，选趣味数学
的有
人．
根据题意，得
整理①，得
．③
整理②，得
．④
③
④，得
，
整理，得
．
③④，得
，即
．
∵
都是正整数，
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∴
或
或
或
或
或
当
或
或
或
或
时，
都不是整数，不符合题意；
当
时，
．
∴选信息技术的有
人，选演讲与口才的有
人，选手工制作的有
人，选趣味数学的有
人．由于每
名学生都填了调查表，且只选了一个项目，则
（人）．
故答案为：参加调查问卷的学生有
名．
【点睛】本题考查通过设定未知数建立方程组，解题关键是根据题目中的数量关系准确设出未知数，列
出方程组，再结合正整数的条件进行求解．
重难点九、几何问题（二元一次方程组的应用）
几何应用题结合图形性质寻找等量关系，常用周长、边长、角度、面积公
式。根据图形标注信息设未知数，挖掘隐藏条件，如长方形对边相等、三角形内角和等。
整理两组几何等量关系建立方程组，算出边长、角度后，确认数值符合几何常识。
1．（25-26 七年级下·福建漳州·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1 和如图2 所示的
正方形，边长分别为6 和2．则一个直角三角形的面积为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、加减消元法
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【分析】根据题意和图形，可以先设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图1 和图2 可
以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长．
【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∴
，
解得
，
∴直角三角形的面积为：
．
2．（25-26 七年级上·安徽阜阳·期末）如图，在周长为64 的长方形
中放入六个相同的小长方
形，若
，则图中阴影部分的面积S 为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各
边之间的关系，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出x，y 的值，再利用图中阴影部分的
面积等于大长方形的面积减去6 个小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】解：∵长方形
的周长为64，
，
∴
．
设小长方形的长为x，宽为y，依题意得，
，
解得
，
∴图中阴影部分面积
．
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故选：B．
3．（25-26 七年级上·安徽淮北·期末）如图，长方形
中有6 个形状、大小完全相同的小长方
形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．12
B．18
C．20
D．24
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设小长方形的长为
，宽为
，根据题意，列出方
程组，即可求解．
【详解】解：设小长方形的长为
，宽为
，由题意得，
，
解得：
，
所以图中阴影部分的面积之和为
．
故选B．
4．（25-26 七年级下·广东珠海·期末）如图，在长为
的大长方形中，以水平或竖直的方式放入个
形状、大小完全相同的小长方形，则下列说法正确的是（ ）
①
②
③若
，则每个小长方形的面积均为；④若
、
、
均为正整数，
则
只能是
．
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A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】根据图形，列出二元一次方程组，逐一进行判断即可.
【详解】解：由图可知，
，故①正确；
解得
，故②正确；
当
时，
，
∴每个小长方形的面积为
；故③正确；
若
、
、
均为正整数，则
只能是
．故④正确.
5．（25-26 七年级下·全国·单元测试）分别用8 个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个
大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm 的小正方形．你能
求出小长方形的长和宽吗？
【答案】小长方形的长为
，宽为
．
【难度】0.85
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设小长方形的长为
，宽为
，观察图①、图②，可得出关于
、
的二元一次方程组，解之即可
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得出结论．
【详解】解：设小长方形的长为
，宽为
，
根据题意，得
解得
答：小长方形的长为
，宽为
．
6．（24-25 七年级下·福建厦门·期中）如图，每张标准卡纸可以剪裁成
张相同的小长方形，每张小
长方形可以剪裁成两张小正方形．如图
，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如
图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
现有
张标准卡纸通过剪裁一共得到
张小长方形和
张小正方形，做成
个竖式叠盖纸盒和
个横式
叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
(1)若
，求
，
，
的值；
(2)求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.55
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）先根据标准卡纸总数求出小正方形数量，再结合竖式、横式纸盒用料列出二元一次方程
组，解方程组得到
、
的值；
（2）根据剪裁总量建立小长方形、小正方形数量与纸盒个数的等式，整理得到关于
的二元一次方
程，求出所有非负整数解，通过计算各组解中
的数值，确定最大值．
【详解】（1）解：由题意得，
，
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，
解得：
；
（2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要
个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要
个小长方形，
，
整数解为：
或
或
或
，
，
的最大值为
．
7．（25-26 七年级下·江苏南京·期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，
该企业进行试生产．他们购得规格是
的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一
或裁法二裁下A 型与B 型两种板材．如图所示，（单位：
）
(1)列出方程（组），求出图1 中
与
的值．
(2)在生产阶段，若将150 张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A 型与B 型板材做侧面和底面，请问能做
成图2 的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
【答案】(1)
，
(2)做成竖式无盖礼品盒
个，横式无盖礼品盒
个
【难度】0.65
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）根据图1 的两种裁法，可得到关于
、
的二元一次方程组，解方程组即可得出结果；
（2）设做成竖式无盖礼品盒
个，横式无盖礼品盒
个，根据将150 张标准板材用裁法一裁剪，得到A
型板材
个，B 型板材
个，竖式无盖礼品盒需要
个A 型板材和个B 型板材；横式无盖礼品盒需要
个A 型板材和
个B 型板材；列出关于
、
的二元一次方程组，解方程组即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意可得
，
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解得：
；
（2）解：设做成竖式无盖礼品盒
个，横式无盖礼品盒
个，
将150 张标准板材用裁法一裁剪，得到A 型板材
（个），B 型板材
（个），
∵竖式无盖礼品盒需要
个A 型板材和个B 型板材；横式无盖礼品盒需要个A 型板材和
个B 型板
材；
∴
，
解得
，
∴做成竖式无盖礼品盒
个，横式无盖礼品盒
个．
8．（25-26 七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知长方形
，动点
，
同时从点
出
发，点
按照
方向运动，点
按照
方向运动．点
运动的速度是点
运动速度的
倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且
，
两点在点
处首次相遇．
(1)若长方形周长为
，求
和
的长度；
(2)当运动秒时，连接
，线段
所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出
，
两
点从出发到首次相遇所用的时间．
【答案】(1)
，
(2)
或
．
【难度】0.35
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）
【分析】（1）根据长方形周长以及
，
两点在点
处首次相遇，可得
，
，再
进一步求解即可；
（2）由（1）得：
，设
，则
，可得长方形周长为
，设
的速
度为，则
的速度为
，再分两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵长方形周长为
，
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∴
，
，
，即
，
∵点
运动的速度是点
运动速度的
倍，
∴运动时间相同时点
的运动路程是点P 运动路程的
倍，
∵
，
两点在点
处首次相遇，
∴
，即
，
∴
，
解得：
，
．
（2）解：由（1）得：
，
设
，则
，
∴长方形周长为
，
设
的速度为，则
的速度为
，
当运动秒时，
的运动路程为
，
的运动路程为
，
如图，
∵线段
所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，长方形是中心对称图形，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴
，
两点从出发到首次相遇所用的时间为
，
如图，
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∵
，
，
当
运动到
的时间为：
，
此时
的运动路程为
，
∴
已经停止运动，
∴当运动秒时，
停止，
与
重合，此时线段
所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，
∵长方形是中心对称图形，
此时
，
∴
，
∴
，
两点从出发到首次相遇所用的时间为
，
综上：
，
两点从出发到首次相遇所用的时间为
或
．
重难点十、图表信息问题（二元一次方程组的应用）
图表信息题先认真读取表格、图像数据，横向纵向梳理已知条件。从图表中
提取两组有效等量关系，设定未知数列出方程组。不要遗漏图表备注、限制条件。理清数
据之间的运算逻辑，避免看错行列数值，计算完成对照图表信息复核答案。
1．（25-26 七年级上·福建漳州·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛
书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之
和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2 的值为（ ）
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A．
B．6
C．
D．36
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
根据三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得出关于
、
的方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于三阶
幻方中心数的三倍，
则
解得
，
，即
，
解得
，
因此
，
故选：D．
2．（20-21 八年级上·陕西咸阳·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3 方格中填入了
一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x、y 的值分别为（ ）
x
8
1
y
6
A．
、4
B．3、
C．3、4
D．
、
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)
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【分析】本题考查了图表信息题(二元一次方程组的应用)，解题关键是准确列出方程组．
根据表中数据，依据“各行、各列及对角线上的三个数之和都相等”，列出方程组求解．
【详解】解：∵各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，
∴
，解得：
，
故选：C．
3．（25-26 七年级下·广东惠州·期中）为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某
学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均
为
，其营养成分表如下：
若每份午餐需要恰好摄入
热量和
蛋白质，应选用A，B 两种食品各多少包？
【答案】应选用A 种食品3 包，B 种食品2 包
【难度】0.85
【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)
【详解】解：设应选用A 种食品x 包，B 种食品y 包，
根据题意得：
，
解得：
，
答：应选用A 种食品3 包，B 种食品2 包．
4．（24-25 七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担
忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准
，收费为
正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025 年两个月的收费表：
时间项目
用水量
费用（元）
1 月
11
28
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2 月
15
44
(1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？
(2)小明家三月份用水量是
，他有50 元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？
【答案】(1)正常收费标准为2 元
，超过部分4 元
(2)不够交水费，还差30 元
【难度】0.85
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用；
（1）设正常收费标准为x 元
，超过部分y 元
，根据表格信息建立方程组解题即可；
（2）先列式计算水费，再与50 元比较即可；
【详解】（1）解：设正常收费标准为x 元
，超过部分y 元
，
由题意，得
，
解得，
答：正常收费标准为2 元
，超过部分4 元
．
（2）解：
元，
，
不够，
元，
答：不够交水费，还差30 元.
5．（2022·河南开封·模拟预测）“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则
如下：如图，在一大盆里放一小茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投
到大盆外不得分；每人各投6 个球，总得分不低于30 分得奖券一张．现统计小刚、小明、小红三人的得
分情况如下图：
(1)每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？
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(2)根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由．
【答案】(1)投中“幸运区”一次得10 分，投中“环形区”一次得3 分；
(2)解：能得到一张奖券，理由如下：
（分），
∵
，
∴根据这种得分规则，小红能得到一张奖券．
【难度】0.65
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设投中“幸运区”一次得x 分，投中“环形区”一次得y 分，根据小刚和小明的得分列二
元一次方程组求解；
（2）根据得分规则计算小红的得分，然后判断即可．
【详解】（1）解：设投中“幸运区”一次得x 分，投中“环形区”一次得y 分，
根据题意得：
，
解得：
，
答：投中“幸运区”一次得10 分，投中“环形区”一次得3 分；
（2）略
6．（25-26 七年级下·江苏徐州·期末）某地出租车的收费标准如下（设行驶里程为千米）：
收费项目
收费标准
起步价（当
时）
元
里程费（当
时）
的部分，2 元
/千米
的部分，3 元/千
米
等候费（按等时收
费）
元/分钟（不足1 分
钟按1 分钟计费）
“等时”指出租车在计费过程中因拥堵、红灯、乘客临时要求停车等原因导致的非行驶状态时间．例
如：“等时
”表示等时为0 小时4 分39 秒，此时等候费按5 分钟计费．
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(1)若
且等时0 分钟，则车费为 元；（用含
的代数式表示）
(2)若
且等时3 分钟，则车费为 元；（用含
、
的代数式表示）
(3)下图为某游客在当地乘坐出租车的两张发票，根据相关信息，求
、
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
、
的值分别为8、0.32
【难度】0.65
【知识点】列代数式、图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）计算起步价与里程费用即可；
（2）计算起步价，分两段计算里程费用，计算等时费，各项费用相加即可；
（3）根据费用列出二元一次方程组并求解即可．
【详解】（1）解：
元；
（2）解：
元；
（3）解：由题意，得
解得
，
即
、
的值分别为8、0.32．
重难点十一、古代问题（二元一次方程组的应用）
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古文类应用题第一步先翻译题意，把文言描述转化为现代数学语句。圈出物
品总量、盈亏条件，找到两组等量关系，设立未知数列出方程组。准确理解古文中
“余、不足、共、倍” 等词汇含义，防止翻译偏差导致列式错误，最后验证结果匹配原
文情景。
1．（2026·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有如下问题：浓酒1 斗值50 钱，淡酒1 斗值10
钱．现有30 钱，买酒2 斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒
斗，淡酒
斗，则下列方程组正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设浓酒
斗，淡酒
斗，根据“买酒总斗数为2 斗，总钱数为30 钱”列出方程组即可．
【详解】解：设浓酒
斗，淡酒
斗，根据题意，得
．
2．（25-26 七年级下·江苏淮安·期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；
行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1
斗，价值50 钱；行酒（劣质酒）1 斗，价值10 钱；现有30 钱，买得2 斗酒．问醇酒、行酒各能买得多
少？设醇酒为
斗，行酒为
斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】由共买得2 斗酒，可得
，由总钱数为30 钱，醇酒1 斗值50 钱，行酒1 斗值10 钱，
可得
，即可列出方程组．
【详解】解：设醇酒为
斗，行酒为
斗
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由题意可列方程组为
．
3．（25-26 七年级下·浙江宁波·期中）我国古代九章算术里有这样一道题：今有牛五、羊二，直金
十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是现有头牛、
只羊，共值
两金；
头
牛、只羊，共值两金．问：头牛值多少金？只羊值多少金？据此求牛和羊的价格．假设一头牛需要
两金，一只羊需要
两金．则可建立方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】根据“ 头牛、
只羊，共值
两金；
头牛、只羊，共值两金”，即可列出关于
、y 的二
元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意，可建立方程组为
．
4．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车
空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3 人，则空余
两辆车；若每辆车乘坐2 人，则有9 人步行，问人与车各多少？设有x 人，y 辆车，则下面所列方程组正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】根据题中两个乘车条件，分别找出总人数、车辆数之间的等量关系，列出方程，即可得到正确
的方程组．
【详解】解：设有
人，
辆车，根据题意，得
．
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5．（2026·新疆·中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长
短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长
木，绳子还剩余4.5 尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1 尺，问木长多少尺．设木长
尺，绳子长
尺，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.82
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【详解】解：设木长
尺，绳长
尺，
用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5 尺，
绳长
木长
剩余绳长，即
将绳子对折再量长木，长木还剩余1 尺，
对折后绳长
木长
剩余木长，对折后绳长为
，即
；
综上可得方程组
6．（25-26 七年级下·重庆荣昌·期末）我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经
之首”．其中记载这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各
几何？译文为：今有人合伙买鸡，每人出9 钱，会多11 钱；每人出6 钱，又差16 钱．问人数、鸡价各
多少？对于以下三位同学的解题方案，正确的个数是（ ）
小青：设人数有
人，则
；
小军：设鸡价有
钱，则
；
小萍：设人数有
人，鸡价有
钱，则
．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】以鸡价不变、人数不变为等量关系，验证三人的解题方案是否正确．
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【详解】解：设人数为x 人，鸡价为y 钱．
由每人出9 钱多11 钱，可得鸡价为
钱，即
；
由每人出6 钱差16 钱，可得鸡价为
钱，即
，
根据鸡价相等得到
，故小青的方案正确；
也可得
，故小萍的方案正确；
由每人出9 钱多11 钱，可得人数为
，
由每人出6 钱差16 钱，可得人数为
，
根据人数相等得到
，与小军的式子不符，故小军的方案错误．
综上，正确的方案有2 个．
7．（25-26 七年级下·辽宁大连·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道
题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几
何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50 钱；如果乙得到
甲所有钱的
，那么乙也共有50 钱，甲乙两人各带了多少钱？
【答案】甲带了
钱，乙带了
钱．
【难度】0.76
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设甲带了x 钱，乙带了y 钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50 钱；如果乙得
到甲所有钱的
，那么乙也共有50 钱”列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设甲带了x 钱，乙带了y 钱，
根据题意得，
解得
∴甲带了
钱，乙带了
钱．
8．（2026·北京石景山·二模）《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份
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制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不
同，具体如表：
材等
一等
二等
三等
四等
五等
六等
份实际长度（寸）
书中记载：栌斗的长度为
份，高度为
份；华栱的长度为
份，高度为
份；散斗的长度为
份，
高度为
份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形
态．
某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三
种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实
际高度之和为
寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比
为
．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．
【答案】两种材等分别为三等材、六等材
【难度】0.54
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设第一种材等1 份的实际长度为x 寸，第二种材等1 份的实际长度为
寸，根据“采用第一种材
等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为
寸；采用第一种材等制作的散
斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为
”列方程组求解即可．
【详解】解：设第一种材等1 份的实际长度为x 寸，第二种材等1 份的实际长度为
寸，
第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度
寸，栌斗长32 份，华栱高21 份，因此得
；
第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度
，散斗高都是10 份，因此得
，
∴
，
解得
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对照表格可知：1 份实际长度0.5 寸对应三等材，0.4 寸对应六等材，
因此两种材等分别为三等材、六等材．
重难点十二、其他问题（二元一次方程组的应用）
其余综合类应用题通用解题流程：审题找出两组等量关系，合理设定未知
数，规范列出二元一次方程组。运用消元法求解，结合现实场景取舍答案，人数、物件数
量通常取正整数。答题完整书写检验步骤，灵活迁移各类题型解题思路，冷静识别题目隐
藏条件。
1．（25-26 七年级下·广东珠海·期末）广东省城市篮球联赛（简称“粤
”），是广东省篮球协会于
年对广东省男子篮球联赛进行全面升级的城市篮球联赛．如下表所示，是常规赛第七轮结束后的部
分球队积分榜信息，则胜一场的积分是（ ）
排名
球队
胜场
负场
积分
中山
…
…
…
…
…
珠海
…
…
…
…
…
江门
阳江
…
…
…
…
…
A．1 分
B．2 分
C．3 分
D．4 分
【答案】B
【难度】0.87
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
小学
初中
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【分析】设胜一场和负一场的积分分别为未知数，根据表格中球队的积分关系列出方程组，求解即可得
到结果．
【详解】解：设胜一场积
分，负一场积
分
根据中山队和阳江队的胜负场与总积分，可得
由第一个方程得
，
将
代入第二个方程得
解得
验证可知
符合所有球队积分数据
因此胜一场的积分是2 分．
2．（25-26 七年级下·安徽合肥·期末）“综合与实践”小组的学生利用课余时间对学校食堂窗口买饭
排队等待时间问题进行了调查，在食堂窗口开放前，已经有n 人在排队；窗口开始打饭时，前来打饭的
人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．当同时开放2 个窗口时，40 分
钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放3 个窗口时，20 分钟后恰好不会出现排队现象．为减少同学排
队打饭时间，食堂承诺5 分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放（ ）
A．6 个窗口
B．7 个窗口
C．8 个窗口
D．9 个窗口
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题是类似牛吃草的实际问题，通过设未知数表示每分钟新增人数和每个窗口每分钟处理人
数，根据已知条件列等式推导各量关系，再计算5 分钟不排队需要的最少窗口数．
【详解】解：设每分钟新增排队人数为
人，每个窗口每分钟减少排队人数为
人，设需要同时开放
个
窗口，
根据题意列方程组：
用第一个方程减去第二个方程，得
，
，
把
代入第一个方程，得
，
，
若5 分钟后不出现排队，则总人数不超过
个窗口5 分钟减少的排队人数，可得：
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把
，
代入，得
，
，两边同时除以
，得
，
至少需要同时开放9 个窗口，
故选D．
3．（25-26 七年级上·湖南株洲·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距
的两地相向而行，经过
相遇．
(1)甲、乙两人的速度各是多少
？请至少写出满足条件的两组解；
(2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题．
【答案】(1)甲的速度是
，乙的速度是
；甲的速度是
，乙的速度是
(2)
增加条件：已知乙的速度是甲的速度的
倍，
根据题意可得：
，
解得：
，
答：甲的速度是
，乙的速度是
．
【难度】0.65
【知识点】开放型问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．本题是一道开放型题，需要补充一
个条件再解二元一次方程组．
(1)设甲的速度是
，乙的速度是
，可列二元一次方程
，求出两组满足二元一次
方程的条件的解；
(2)补充条件已知乙的速度是甲的速度的
倍，列二元一次方程组求解．
【详解】（1）解：设甲的速度是
，乙的速度是
，
，
根据题意可得：
，
当
时，解得：
，
当
时，解得：
，
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甲的速度是
，乙的速度是
；
甲的速度是
，乙的速度是
；
（2）略
4．（2026·广东肇庆·一模）中医药作为中华民族原创医药学体系，深深地融入了民众的生产生活实践
中．某中药厂名熟练工和
名新工人每天可生产
盒中药制剂，
名熟练工和名新工人每天可生产
盒中药制剂，求每名熟练工和每名新工人每天分别可生产多少盒中药制剂．
【答案】每名熟练工每天可生产
盒中药制剂，每名新工人每天可生产
盒中药制剂
【难度】0.85
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【详解】解：设每名熟练工每天可生产
盒中药制剂，每名新工人每天可生产
盒中药制剂，
由题意得
，
解得
，
答：每名熟练工每天可生产
盒中药制剂，每名新工人每天可生产
盒中药制剂．
5．（25-26 七年级下·湖北孝感·期末）垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门
每天安排10 台A 型车和8 台B 型车用于垃圾清运，一台A 型车比一台B 型车每次多清运7 吨垃圾，该区
域每天需要清运垃圾428 吨，每天每台车均需清运垃圾2 次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一
台A 型车和一台B 型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？
【答案】一台A 型车每次清运垃圾15 吨，一台B 型车每次清运垃圾8 吨
【难度】0.85
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【详解】解：设一台A 型车每次清运垃圾x 吨，一台B 型车每次清运垃圾y 吨，
根据题意得，
，
解得
，
答：一台A 型车每次清运垃圾15 吨，一台B 型车每次清运垃圾8 吨．
6．（2026·山西·三模）学校图书馆整理科技类图书和文学类图书共
本，科技类图书每本需要贴
个标签，文学类图书每本需要贴个标签，总共贴了
个标签．求科技类图书和文学类图书各有多少
本．
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【答案】科技类图书有
本，文学类图书有
本．
【难度】0.85
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设科技类图书有
本，文学类图书有
本，依题意得
，然后解方程组即可．
【详解】解：设科技类图书有
本，文学类图书有
本，
依题意得，
，
解得
，
答：科技类图书有
本，文学类图书有
本．
7．（25-26 七年级下·吉林四平·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是
最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和
小真、小萱同学有关租车问题的对话：
王老师：“客运公司有
座和
座两种型号的客车可供租用，
座客车每辆每天的租金比
座的贵
元．”
小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了
辆
座和
辆
座的客车到该博物馆参观，一天的租金
共计
元．”
小萱：“如果我们七年级租用
座的客车
辆，那么还有
人没有座位；如果租用
座的客车可少租
辆，且正好坐满”．
根据以上对话，解答下列问题：
(1)参加此次活动的七年级师生共有________人；
(2)客运公司
座和
座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
【答案】(1)
(2)
座客车每辆每天的租金为
元，
座客车每辆每天的租金为
元．
【难度】0.65
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45 座的客车a 辆，那么还有15 人没有座位；如果租用60 座
的客车可少租2 辆，且正好坐满”，可得出关于a 的一元一次方程，解方程得到a 的值，再将其代入
中，即可解答；
（2）设客运公司60 座客车每辆每天的租金是x 元，45 座客车每辆每天的租金是y 元，根据“60 座客车
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每辆每天的租金比45 座的贵150 元，租用4 辆60 座和2 辆45 座的客车，一天的租金共计5100 元”，
可得出关于x，y 的二元一次方程组，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得：
，
，
参加此次活动的七年级师生共有420 人．
（2）解：设客运公司60 座客车每辆每天的租金是x 元，45 座客车每辆每天的租金是y 元，
根据题意得：
，
解得：
．
答：客运公司60 座客车每辆每天的租金是900 元，45 座客车每辆每天的租金是750 元．
8．（25-26 六年级下·上海·期末）篮球比赛中投进一个球，所得分值有3 种：3 分，2 分和1 分．一名
篮球队员在一场比赛中15 投10 中得20 分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3 倍．求投进三分球
的个数．
【答案】投进3 分球2 个
【难度】0.65
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【详解】解：设投进3 分球x 个，2 分球
个，1 分球y 个，
，
解得
，
答：投进3 分球2 个．
9．（2022 七年级下·甘肃武威·竞赛）长沙市某公园的门票价格如表所示：
购票人数
人
人
100 人以上
票价
10 元/人
8 元/人
5 元/人
某校九年级甲、乙两个班共100 多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50 多人不到60 人，乙班
不足50 人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920 元；如果两个班联合起来作为一个团体购
票，一共要付515 元，问甲，乙两班分别有多少人？
【答案】甲班有55 人，乙班有48 人
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【难度】0.65
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【详解】解：设甲班有x 人，乙班有y 人，
依题意，得：
，
解得：
．
答：甲班有55 人，乙班有48 人．
10．（25-26 七年级下·广东广州·期中）【问题情境】
我国新能源车发展迅速，由于电池重量，导致整车质量较大，新能源车轮胎的磨损普遍会比传统能源油
车较大，且前期大多数新能源汽车是前轮驱动和转向的，所以前、后轮的磨损程度不一．从安全角度考
虑，通常前后一起换新轮胎；从性价比考虑，可先进行前、后轮胎换位，使磨损程度均衡，从而延长使
用寿命．
信息1：新能源汽车的轮胎，若只放置在前轮，一般行驶达到
时报废，而放置在后轮，应在行驶
达到
时报废；
信息2：为了让轮胎均匀磨损并延长使用寿命，一般建议每行驶
进行一次轮胎换位．
根据以上信息，在不考虑其他因素影响下，解决下列任务：
(1)任务一：
可类比工程类问题，将每个新轮胎的总磨损量设为“单位1”或引入未知数．
①汽车前轮轮胎每千米的磨损量为________，后轮轮胎每千米的磨损量为________；
②若汽车没有按照建议，只在行驶了
时进行了1 次前、后轮胎换位，则该汽车第一次轮胎报废
时，汽车行驶的总里程为________
；
(2)任务二：
如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时交换前、后轮轮
胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程．
(3)任务三：
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若按建议每
更换前后轮胎一次，经过偶数次换位后至有轮胎报废时，汽车的行驶里程最高是多
少？（精确到
）
【答案】(1)①
，
；②
；
(2)应在行驶
时交换轮胎，报废时总行驶里程为
；
(3)最高行驶里程约为
．
【难度】0.42
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的
实际应用
【分析】（1）①根据信息1 即可解答；②先求出行驶
剩余磨损，即可求出换到后轮后还可行驶
的路程，即可解答；
（2）设行驶
时交换前后轮，总行驶里程为
时两对轮胎同时报废，由题意列出二元一次方程组求
解即可；
（3）设经过
（
为正整数）次换位，换位完成时已经行驶了
，求出总磨损为
，设换位
后原前轮回到前轮，剩余磨损可继续行驶
，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：① 设每个轮胎总磨损量为单位，
前轮
报废，因此每千米磨损为
；后轮
报废，因此每千米磨损为
；
② 行驶
后，原前轮总磨损
，剩余磨损
，
换到后轮后还可行驶
，
总里程为
，
（2）解：设行驶
时交换前后轮，总行驶里程为
时两对轮胎同时报废，
根据题意得
，
解得
，
则
答：应在行驶
时交换轮胎，报废时总行驶里程为
；
（3）解：设经过
（
为正整数）次换位，换位完成时已经行驶了
，每两次换
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位后，每个轮胎在前轮、后轮各行驶
，
总磨损为
，
设换位后原前轮回到前轮，剩余磨损可继续行驶
，
则
，
解得
，
总里程为
，
∵
，即
，
为整数，
∴最大
，
则
，
答：最高行驶里程约为
．
