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第6 题 “数”与“形”突破平面向量问题（解透一题）
【2025 年3 月广西柳州市联考数学试题T14】
在直角三角形
中，其中
，
，并且点 P 是三角形内一点，
且AP = 1 ，
，则
的最大值为
.
这是一道基于平面向量的最值问题，以三角形为载体，给出直角三角形的两边长度以及向
量的关系和模长条件，要求求解一个关于向量系数的线性组合的最大值，属于向量与代数
运算相结合的综合性题目，题型具有较强的综合性和创新性.
而此类涉及平面向量的线性运算、模与数量积等 综合应用问题，通常是高考中该模块知识
的一大基本考点．常见的思维方法或通过“数”的基本属性进行代 数运算，或通过“形”
的几何结构进行直观化处理，或 通过“数形结合”的综合应用进行坐标法求解等，从不同
思维视角切入与应用，合理发散数学思维，可以很好地考查数学的“四基”，以及学生的
“四能”与关键能力等．
【方法一】转化为二元约束优化问题
根据条件得到 λ 与 μ 的关系，然后最大化
.这是一个典型的约束优化问题.
先求λ 与 μ 的关系
【角度1】坐标法得λ 与 μ 的关系
鉴于
，以A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴， AC 所在直线为 y 轴构建平面直
角坐标系. (重点：借助垂直构建平面直角坐标系)
由此可得
，设
，则
.
已知
，将坐标代入可得
即
.
（依据向量关系推导坐标关系）
因为AP=1，所以点P 在以
为圆心， 1 为半径的圆上，即
（x>0，y>0，因
为P 为△ABC 内一点），此时也有
【角度2】模方得λ 与 μ 的关系
因为
，所以
，又∣AP =1
∣
，对
两边平方得：
，即
. 已知
，则
.因为P 为△ABC 内一点，所以
求解
的最大值
角度一-----三角换元法
因为AP=1，所以点P 在以A(0，0)为圆心， 1 为半径的圆上，即
（x>0，y>0，
因为P 为△ABC 内一点），所以可设
故
（
时取等）
角度二-----线性规划法
设
，则
，
.
令
，则
，表示直线
在y 轴上的截距. 根据直线与四分之一圆
的位置关系，直线
与圆相切时
.
角度三------均值不等式
运用均值不等式
（当且仅当
时等号成立）.
对于
.
因为
，所以
，则
，当且仅当
时等号
成立.
角度四------柯西不等式
由柯西不等式有
，
当
时取等号.
因为
，所以
故
，
角度五------方程法
令
，则
.
把
代入
中，得到
.即
).
由于
为实数，所以关于
的一元二次方程的判别式
.
解得
. （本题
是由范围限制的，方程法的局限性在于容易出错不好检查）
方法一点评与总结:
1.在直角三角形中，合理构建平面直角坐标系可将向量问题转化为坐标运算问题，降低问
题难度，注意坐标原点、坐标轴的选取要结合已知条件.
2.准确运用向量基本定理：根据
，准确得到坐标之间的关系，为后续的代
数变形做准备.
3.灵活选择求最值方法：本题可以通过构造一元二次方程利用判别式求最值，也可以利用
均值不等式求最值，要根据自己的熟练程度和题目的特点灵活选择.
【方法二】利用共线向量得得2λ+3μ 的表达式+几何法
以A 为圆心，AP 为半径作圆分别交AB，AC 于M，N，如图:
因为AP=1，则AM=AN=1，则
①
设
，由M，N，Q 三点共线得：存在
，使
由A，P，Q 三点共线得: 存在
，使
②
这里
由①②得：
.
当AQ⊥MN 时，|AQ|最短为
，此时取
得最大值为
，即
的最大值为
.
【方法三】利用向量的数量积得2λ+3 μ 的表达式
，
，
所以
，
所以
故
.
涉及平面向量的模或数量积的求值与最值(或取值范围)等综合应用问题时，往往借助平面
向量“数”与“形”的双重属性.抓住平面向量的模与数量积自身“数”的属性应用，或
“形”的几何特征，并结合不同的应用场景，选择行之有效的方法与解题策略 来处理对应
的平面向量的模或数量积的综合应用问 题． 依托平面向量自身的“数”与“形”的双重
属性，借 助“数”与“形”的不同视角，使得平面向量的模或数量 积的综合问题的求解
与应用更加合理、有效、可行、快 捷，或借助“数”来代数运算，或借助“形”来直观想
象， 也可以实现“数”与“形”的紧密结合，有效实现知识与 能力的有效融合
(回归教材研究平面向量基本定理表示向量)
1．将向量
的起始点平移至同一点，即两个向量都是从点A 出发的，从点A 出发任意方
向作一个向量，从的终点处分别作向量
的平行线，形成一个平行四边形，那么由向
量相加的平行四边形法则可知，向量可以表示成分别与
共线的两个向量之和，即
.
问题: 已知向量
､
､在正方形网格中的位置如图所示，若
（
），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
(坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决)
2．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
，则
+
的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．2
3．在边长为1 的正方形
中，动点
在以点
为圆心且与
相切的圆上.若
，则
的最大值是
A．3
B．
C．
D．4
(基底法)
4．如图，在
中，
，点
是
的中点，点
在边
上，
交
于点
，设
，则
；点
是线段
上的一个动点，则
的最大值为 ．
5．如图，矩形
中，
，
，以
为直径的半圆上有一点
，若
，则
的最大值为 .
