专题1.3不等关系与不等式性质六大题型（原卷版）_11.4-2_2026-11-04

      
      
专题1.3 不等关系与不等式性质【六大题型】

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 5   #567 ................................................................................................................................5
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(2)‹Œ a>bHb>cHŽ a>c. a>bHb>c⇒a>c.
(3)‹Œ a>bHŽ a‘c>b‘c.
(4)‹Œ a>bHc>0HŽ ac>bc\‹Œ a>bHc<0HŽ ac<bc.
(5)‹Œ a>bHc>dHŽ a‘c>b‘d.
(6)‹Œ a>b>0Hc>d>0HŽ ac>bd.
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· 1'2024·¸¹º»·¼½(¾c¿
𝑎H𝑏H𝑐H𝑑ÀÁ
𝑎> 𝑏> 0 > 𝑐> 𝑑HÂÃu TSÄÅ#
|'    (
A‡𝑎+ 𝑑> 𝑏+ 𝑐B‡𝑎𝑑> 𝑏𝑐
C‡𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑
D‡𝑎𝑐> 𝑏𝑑
 1-1'2024·ÆÇ·½ÈÉÊ(“𝑥< 0 < 𝑦”|“(𝑥−𝑦)2 > 𝑥2 + 𝑦2”#'    (
A‡ËCÌ> ¡
B‡Ì>ËC ¡
C‡Ë> ¡
D‡ÍËCÎÌ> ¡
 1-2'2023·¸¹º»·T½(¾c¿
𝑎H𝑏ÀÁ𝑎> 𝑏HÂÃu ϞŸ#|'    (
A‡𝑎2 > 𝑏2
B‡𝑎3 > 𝑏3
C‡|𝑎| > |𝑏|
D‡𝑎−1 > 𝑏−1
 1-3'2023·ÐÑÒÓ·½ÈÉÊ(¾c𝑎,𝑏,𝑥ÔZ¿
HÃu ϞŸ#|'    (
A‡Õ𝑎< 𝑏HÂ𝑎2024 < 𝑏2024
      
      
B‡Õ𝑎< 𝑏HÂ
2024
𝑎
<
2024
𝑏
C‡Õ𝑎𝑥2024 < 𝑏𝑥2024HÂ𝑎< 𝑏
D‡Õ𝑎< 𝑏HÂ𝑎𝑥2024 < 𝑏𝑥2024
 2  %&
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· 2'2023·Ö×·½ÈÉÊ(¾cÄ¿
 xHy ÀÁ𝑥< 𝑦HØ𝑎= 𝑥e𝑥+𝑦H𝑏= 𝑦e𝑦+𝑥H𝑐= 𝑦e𝑥+𝑥'
ÙeZÚ_P
e ≈2.71828⋯(HÂ aHbHc #)*;|'    (
A‡𝑎< 𝑐< 𝑏
B‡c<a<b
C‡𝑐< 𝑏< 𝑎
D‡𝑏< 𝑐< 𝑎
 2-1'2023·ÛÜ·½ÈÉÊ(¾clog5𝑎> log5𝑏HÂÃu TSžŸ#|'    (
A‡ 𝑎<
𝑏
B‡log5(𝑎−𝑏) > 0
C‡5𝑎−𝑏> 1
D‡𝑎𝑐> 𝑏𝑐
 2-2'2023·ÝÞßà·T½(¾c𝑥< −1HŽwÃu ÙHžŸ#|
A‡𝑥2−1 > 0
B‡𝑥+
1
𝑥< −2
C‡sin𝑥−𝑥> 0
D‡cos𝑥+ 𝑥> 0
 2-3'2024·áâãÑ·½ÈÉÊ(Õ𝑐> 𝑏> 𝑎> 0HÂ'    (
A‡𝑎𝑏𝑏𝑐> 𝑎𝑐𝑏𝑏
B‡2ln𝑏< ln𝑎+ ln𝑐
C‡𝑎−
𝑐
𝑎> 𝑏−
𝑐
𝑏
D‡log𝑎𝑐> log𝑏𝑐
 3  +, 
· 3'2024 ä·ÆÇ·åæ(¾c𝑎,𝑏ZÄ¿
‡.+
𝑎2
𝑏+ 𝑏2
𝑎> 𝑎+ 𝑏.
 3-1'22-23 T¸·ÆÇ·çèmé(+,Ãu 
(1)¾c𝑎> 𝑏，𝑒> 𝑓，𝑐> 0H.+𝑓−𝑎𝑐< 𝑒−𝑏𝑐
(2)¾c𝑎> 𝑏> 0,𝑐< 𝑑< 0H.+
3 𝑎
𝑑<
3 𝑏
𝑐‡
      
      
 3-2'2023 ä·ÆÇ·åæ(+,{
“Õw △𝐴𝐵𝐶Ù𝑎、𝑏、𝑐C£Zê𝐴、𝐵、𝐶ëP#ìíH
Â
𝑐
1+𝑐<
𝑎
1+𝑎+
𝑏
1+𝑏”
 3-3'22-23 ¼Ã·ÖÝî°ïðñLò·óô(Õ𝑎> 𝑏> 0H𝑐< 𝑑< 0,|𝑏| > |𝑐|
'1(.+
𝑏+ 𝑐> 0\
'2(.+
𝑏+𝑐
(𝑎−𝑐)2 <
𝑎+𝑑
(𝑏−𝑑)2\
'3(w'2(Ù# ÙHJõöiTF÷
 HÀÁ
𝑏+𝑐
(𝑎−𝑐)2 < ë. <
𝑎+𝑑
(𝑏−𝑑)2øÕJHù°±úûü÷

 \ÕJHùý,þ.
 4  - #!"./0 #1234
· 4'2023·Ûÿ×Ā·½ÈÉÊ(¾c𝑎−𝑏∈[0,1],𝑎+ 𝑏∈[2,4]HÂ4𝑎−2𝑏#1234|'    (
A‡[1,5]
B‡[2,7]
C‡[1,6]
D‡[0,9]
 4-1'23-24 T¸·āßĂă·Ąąåæ(¾c−1 ≤𝑥+ 𝑦≤1H1 ≤𝑥−𝑦≤3HÂ3𝑥−2𝑦#1234
|'    (
A‡2 ≤3𝑥−2𝑦≤8
B‡3 ≤3𝑥−2𝑦≤8
C‡2 ≤3𝑥−2𝑦≤7
D‡5 ≤3𝑥−2𝑦≤10
 4-2'23-24 丷ÖÝ·Ąąåæ(¾c𝑎< 𝑏< 𝑐Ć𝑎+ 2𝑏+ 4𝑐= 0HÂ
𝑏
𝑎#1234| '     (
A‡ −∞,−1
6
B‡ −1
6 ,1
C‡ 0, 1
6
D‡ 1
6 ,1
 4-3'2023·ćÜ×Ĉ·½ÈÉÊ(¾cp
𝑓(𝑥) = 𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐H0 < 𝑥1 < 1 < 𝑥2 < 2H𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)
= 0HÂ𝑏+ 2𝑐#1234Z'    (
      
      
A‡(−2,−1)
B‡(−2,1)
C‡(−1,1)
D‡(−1,2)
 5   #567
· 5'23-24 T¸·¸¹»ß·Ąąåæ(G¦Ãu7
(1)¾c𝑚,𝑛∈RHØ𝑎= (𝑚2 + 1)(𝑛2 + 4)H𝑏= (𝑚𝑛+ 2)2.%&𝑎<𝑏#)*\
(2)¾c𝑎> 𝑏> 0H𝑐< 𝑑< 0H𝑒> 0H.+
𝑒
𝑎−𝑐<
𝑒
𝑏−𝑑.
 5-1'2023 T·¸¹·åæ(ĉSĊ
𝜃∈(0,1)‡ÕÄċ
𝑎,𝑏,𝑐,𝑑ÀÁ
𝑎
𝑏＜𝜃＜
𝑐
𝑑‡
(1)Č%&ä
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑H
𝑎
𝑏H
𝑐
𝑑#)*\
(2)Õ𝑏𝑐−𝑎𝑑＝1H+,ÃčäF ÙĎď§TFžŸ
①|𝜃−𝑎
𝑏| ≥
1
5𝑏2\②|𝜃−𝑎+𝑐
𝑏+𝑑| ≥
1
5(𝑏+𝑑)2\③|
𝑐
𝑑−𝜃| ≥
1
5𝑑2‡
 5-2'23-24 T¸·ĐÝđS·Ąąåæ('1(Ē pHq ēZÄ
Ć𝑝+ 𝑞= 1ªHČ%&÷
 (𝑝𝑥+ 𝑞𝑦)2
<𝑝𝑥2 +𝑞𝑦2#)*.
'2(¾c1 ≤𝑥−𝑦≤2,3 ≤2𝑥+ 𝑦≤4H.4𝑥−𝑦#1234.
 5-3'23-24 T¸·¸¹Ĕĕ·óÙ(Ø𝑡|*Ė 1 #¿
.ÕPėĘ𝑎,𝑏∈[−1,𝑡]Hšęw𝑐,𝑑∈
[−1,𝑡]HĚě(𝑎+ 𝑐)(𝑏+ 𝑑) = 1HÂĜĝĞ#𝑡ÀÁ“!" 1”
(1)C£¨©𝑡> 2ğ1 ≤𝑡<
3
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1
2HĆ𝑢+𝑣≥
5
2HÂ𝑢𝑣≥1; Iþġ+,Ē
3
2 ≤𝑡≤2ªHPėĘ𝑎,𝑏∈[−1,𝑡]Hšęw𝑐1,𝑑1 ∈
[−1,𝑡]HĚě(𝑎+ 𝑐1)(𝑏+ 𝑑1) ≥1.
(3).ûë§ÀÁ“!" 1”#¿
 t
 6  89 
· 6'22-23 T¸·ÐÑĢģ9·óô(ĤĢĥĦÙħHĨÇ
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A‡
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𝑎+𝑛>
𝑏
𝑎
B‡
𝑏
𝑎+𝑛>
𝑏
𝑎
C‡
𝑏+𝑛
𝑎+𝑛≥
𝑏
𝑎
D‡
𝑎+𝑛
𝑏+𝑛>
𝑎
𝑏
 6-1'23-24 T¸·ćßśŜ·Ąąåæ(¾c𝑏g89Ùŏ§𝑎g8'𝑏> 𝑎> 0(HÕŐőŒ𝑚g8ŝ
ÆŔGwÙHÂ89ěŞŕŖ'89Ùŏ8şŠ)(‡šƒĝFŘ¿HÃu ÙTSžŸ
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A‡
𝑎
𝑏<
𝑎+𝑚
𝑏+𝑚
B‡
𝑎+𝑚
𝑏+𝑚<
𝑎+2𝑚
𝑏+2𝑚
C‡(𝑎+ 2𝑚)(𝑏+ 𝑚) < (𝑎+ 𝑚)(𝑏+ 2𝑚) D‡
2
3𝑏−1 <
1
3𝑎−1
 6-2'22-23 T¸·ćßßŢ·Ąąåæ('1(¾c𝑏Ŏ89Ùŏ§𝑎Ŏ8(𝑏> 𝑎>0)HŐőŒ𝑚Ŏ8
(𝑚>0)'œØÆŊŔG(H89ŕŖ.ùŗĝTŘ¿řŚZTF HI+,ĝF žŸ‡
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 6-3'22-23 T¸·ÛÿÿÑ·Ąąåæ(¾c𝑏g89Ù§𝑎g8'𝑏> 𝑎> 0(He89ÙŒĿ𝑚g8
'𝑚> 0(H'œØÆŊŔG(89ŞŕŖ.
(1)ùŗĝFŘ¿řŚZTF HI+,ĝF .
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“Õw △𝐴𝐵𝐶Ù a:b:c C£Zê A:B:C ëP#ìíHÂ
𝑐
1+𝑐<
𝑎
1+𝑎+
𝑏
1+𝑏”
T:L
1‡'2024·ÆÇ·½ÈÉÊ(¾c𝑥> 𝑦HÂÃu ÄÅ#|'   (
A‡1−𝑥< 1−𝑦
B‡𝑥2 > 𝑦2
C‡|
𝑥
𝑦| > 1
D‡𝑥𝑧> 𝑦𝑧
2‡'2024·ÝÞŹź·¼½(Õ𝑎,𝑏∈𝑅HĆ𝑎> 𝑏HÂ'    (
A‡
1
𝑎2+1 <
1
𝑏2+1
B‡𝑎2𝑏> 𝑎𝑏2
C‡𝑎2 > 𝑎𝑏> 𝑏2
D‡𝑎>
𝑎+𝑏
2 > 𝑏
3‡'2023·ÖׯŜ·½ÈÉÊ(¾c1 < 𝑎< 3,3 < 𝑏< 6HÂ
𝑏
2𝑎#1234Z'    (
A‡ 3
2 ,1
B‡(2,6)
C‡(1,6)
D‡ 1
2 ,3
4‡'2024·ÛÜ·½ÈÉÊ(¾c𝑎H𝑏H𝑐∈𝑅HÂÃużÙ|“𝑎< 𝑏”#TFËCÌ> ¡#|'    (
A‡
|𝑐|
𝑎>
|𝑐|
𝑏
B‡𝑎𝑐2 < 𝑏𝑐2
C‡𝑎3 < 𝑏3
D‡3𝑎< 3𝑏
5‡'2023·ÖׯŜ·½ÈÉÊ(¾c𝑎,𝑏,𝑐Z¿
HÂÃu{žŸ#|'    (
A‡Õ𝑎< 𝑏HÂ𝑎𝑐< 𝑏𝑐
B‡Õ𝑎< 𝑏HÂ𝑎−𝑐> 𝑏−𝑐
C‡Õ𝑎|𝑐| > 𝑏|𝑐|HÂ𝑎> 𝑏
      
      
D‡Õ𝑎> 𝑏HÂ
2
𝑎<
2
𝑏
6‡'2023·ÆÇ·½ÈÉÊ(¾c¿
𝑎,𝑏‡ØŽ
1
𝑎>
1
𝑏Hž
𝑎
𝑏<
𝑎+3
𝑏+3HÂ'    (
A‡Ž|ž#ËCÌ> ¡
B‡Ž|ž#Ì>ËC ¡
C‡Ž|ž#Ë> ¡
D‡Ž|ž#ÍËCÎÌ> ¡
7‡'2023·ćß·¼½(Õ𝑎=
3 +
1
2 2,𝑏=
5−
1
2 3,𝑐=
2 +
1
3HÂ'    (
A‡𝑎> 𝑐> 𝑏
B‡𝑎> 𝑏> 𝑐
C‡𝑐> 𝑏> 𝑎
D‡𝑏> 𝑐> 𝑎
8‡'2023·ſÜ·½ÈÉÊ(¾c−1 < 𝑎< 5,−3 < 𝑏< 1HÂVÃƀƁ#|'    (
A‡−15 < 𝑎𝑏< 5
B‡−4 < 𝑎+ 𝑏< 6
C‡−2 < 𝑎−𝑏< 8
D‡−
5
3 <
𝑎
𝑏< 5
¼:`
9‡'2024·áâƂƃ·T½(Ãu{ÄÅ#|'    (
A‡Õ𝑎< 𝑏< 0HÂ𝑎2 > 𝑎𝑏> 𝑏2
B‡Õ𝑎< 𝑏< 0HÂ𝑎𝑐2 < 𝑏𝑐2
C‡Õ0 < 𝑎< 𝑏< 𝑐HÂ
𝑐
𝑎>
𝑐
𝑏
D‡Õ0 < 𝑎< 𝑏HÂ2𝑎+
𝑏
2 > 2 𝑎𝑏
10‡'2023·Đ×ƄŜ·½ÈÉÊ(Ø¿
𝑎,𝑏ÀÁ1 ≤𝑎𝑏≤4,4 ≤
𝑎
𝑏≤9HÂ'    (
A‡2 ≤|𝑎| ≤6
B‡1 ≤|𝑏| ≤3
C‡4 ≤𝑎3𝑏≤144
D‡1 ≤𝑎𝑏3 ≤4
11‡'2024·ćÜ·¼½(¾c¿
 aHbHc ÀÁ𝑎> 𝑏> 𝑐HĆ𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0HÂÃuvŷÙÄÅ#|'    (
A‡𝑎+ 𝑏> 0
B‡𝑎𝑐> 𝑏𝑐
C‡
1
𝑎−𝑏>
1
𝑏−𝑐
D‡(𝑎−𝑐)(𝑏−𝑐) <
9
4𝑐2
ä:XY
12‡'2023·ÝÞƅā·T½(JƆý,“Ø𝑎,𝑏,𝑐|ėĘ¿
HÕ𝑎< 𝑏< 𝑐HÂ𝑎𝑐< 𝑏𝑐”|œ{#TƇċ
𝑎,𝑏,𝑐
#2‚ķZ      
.
13‡'2024·ĐÝįĩƈ·¼½(Õ¿
𝑥,𝑦,𝑧≥0HĆ𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 4,2𝑥−𝑦+ 𝑧= 5HÂ𝑀= 4𝑥+ 3𝑦+ 5𝑧#12
34|      
.
      
      
14‡'2024·Đ×·½ÈÉÊ(Vmax𝑀řŚ
Ɖ𝑀ÙƊ)#
‡Ø0 < 𝑎< 𝑏< 𝑐< 1H¾c𝑏≥2𝑎—
𝑎+ 𝑏≤1HÂmax{𝑏−𝑎,𝑐−𝑏,1−𝑐}#Ɗ*2Z      
‡
Ƌ:Gƌ
15‡'2024 T·ÆÇ·åæ(¾c-3<a<2H-4<b<-3HČ. 2a+3b < a-b #1234.
16‡'23-24 T·ÆÇ·åæ(Č%&ÃuƇ ƍ#)*
(1) 𝑥+ 1−𝑥< 𝑥−𝑥−1HÙ𝑥> 1\
(2)𝑀=
𝑎
1+𝑎+
𝑏
1+𝑏<𝑁=
𝑏
1+𝑎+
𝑎
1+𝑏HÙ𝑎> 0H𝑏> 0\
(3)𝑎2−𝑏2
𝑎2+𝑏2<
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏H𝑎> 𝑏> 0‡
17‡'2024·ÆÇ·½ÈÉÊ(¾c aHbHc Zäê€#äì‡
(1).+
 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎𝑏+
𝑏2 + 𝑐2 + 𝑏𝑐> 2𝑐\
(2)Õ𝑐≥𝑏≥𝑎H.+
3 𝑎3 + 𝑏3 +
3 𝑐3 + 𝑎3 < 𝑎+ 𝑏+ 𝑐‡
18‡'23-24 丷ƎƏƐÑ·óÙ(¾c𝑏Ŏ89Ùŏ§𝑎Ŏ8(𝑏> 𝑎> 0)HŐőŒ𝑚Ŏ8(𝑚> 0)'œØÆ
ŊŔG(H89ŕŖ.
(1)ùŗĝTŘ¿řŚZTF HI+,ĝF žŸ\
(2)wƑê △𝐴𝐵𝐶ÙHšƒ'1(Ù#vŷH+,
𝐴
𝐵+𝐶+
𝐵
𝐶+𝐴+
𝐶
𝐴+𝐵< 2.
      
      
19‡'2023·ƒƓíƔ·½ÈÉÊ(ƕƖƗ)ƘĀƙèHň¯eĴĖƖƕƗäƚ#ƛĠŇƜÚƝû~.ƞķû
~HƛĠŇÆƟ³>ŒEķƠHþĖơƠ#űŲ§ƢΧƣHƤƛĠҧEŭŒƠ“ƥHOTŭ“ƥ
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